సమాచారానికి వెళ్లండి

జ్యామితీయ సరిహద్దు షరతుల ప్రాసెసింగ్

Newton-Raphson పద్ధతి లో ప్రతి ఇటరేషన్‌కు పరిష్కరించే రేఖీయ సమీకరణం \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) లో ఇంకా జ్యామితీయ సరిహద్దు షరతులు (స్థానచలన నిరోధాలు) చేర్చబడలేదు. ఈ అధ్యాయంలో స్థానచలన నిరోధం \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) ఇచ్చిన స్వేచ్ఛా ప్రమాణాల కోసం, ఇటరేషన్ తరువాత స్థానచలనం నిరోధ విలువను చేరేలా దృఢత్వ మాత్రిక \(\boldsymbol{K}\) మరియు అవశేష సదిశం \(\boldsymbol{R}\) ను ఎలా సవరించాలో చూపిస్తాము. బహుబిందు నిరోధాలు (MPC) మరియు సంపర్కంతో కూడిన అరేఖీయ నిరోధాలు వేరే ప్రాసెసింగ్ వ్యవస్థకు చెందినవి; వాటి కోసం బహుబిందు నిరోధాలు మరియు సంపర్కం చూడండి.

స్థానచలన నిరోధాన్ని తెలియని చరంగా ఉంచే విధానం

జ్యామితీయ సరిహద్దు షరతు ఇచ్చిన నోడ్ స్థానచలనం ఇక తెలియని చరం కాదు; అది నిర్ణీత విలువ \(\bar{u}_i\) వద్ద స్థిరపడుతుంది. వీటిని స్థిరాంకాలుగా పరిగణించి రేఖీయ సమీకరణం \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) నుండి తొలగించవచ్చు. అయితే FrontISTR లో నిరోధిత స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలను కూడా ఇతర స్వేచ్ఛా ప్రమాణాల మాదిరిగానే సవరణ సదిశం \(d\boldsymbol{u}\) లో ఉంచి, \(\boldsymbol{K}\) మరియు \(\boldsymbol{R}\) వైపు మార్చడం ద్వారా నిరోధాన్ని అమలు చేస్తారు.

ఈ విధానంలో నిరోధం ఉన్నా లేకపోయినా గుణక మాత్రిక పరిమాణం మరియు స్వేచ్ఛా ప్రమాణాల క్రమం మారవు; కాబట్టి చరాలను తొలగించి ఖాళీ అయిన వరుసలు/నిలువు వరుసలను మళ్లీ కుదించాల్సిన అవసరం లేదు. స్పార్స్ మాత్రిక రూపంలో గుణక మాత్రికను ఉంచే అమలులో ఆ పునర్వ్యవస్థీకరణ క్లిష్టంగా ఉంటుంది; అందువల్ల FrontISTR గుణక మాత్రిక మరియు కుడి వైపు సదిశాన్ని మాత్రమే నవీకరించి నిరోధాన్ని సాధించే విధానాన్ని ఉపయోగిస్తుంది.

Newton-Raphson సవరణ పరిమాణం కోసం ప్రతిస్థాపన లక్ష్యం

స్థానచలనం నిరోధిత స్వేచ్ఛా ప్రమాణం \(i\) కోసం Newton-Raphson ఇటరేషన్‌లో పొందే సవరణ పరిమాణం \(du_i\)

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1వ ఇటరేషన్}) \\ 0 & (\text{2వ ఇటరేషన్ మరియు తరువాత}) \end{cases} \]

అయ్యేలా \(\boldsymbol{K}\) మరియు \(\boldsymbol{R}\) ను సవరించాలి. దీనివల్ల మొదటి ఇటరేషన్‌లో స్థానచలనం ఇంక్రిమెంట్ నిరోధ విలువ \(\bar{u}_i\) ను చేరుతుంది; రెండవ ఇటరేషన్ నుండి సవరణ \(0\) అయి నిరోధ విలువ నిలబడుతుంది.

మాత్రిక మరియు అవశేష సదిశ మార్పిడి విధానం

మునుపటి విభాగంలోని ప్రతిస్థాపన లక్ష్యాన్ని రేఖీయ సమీకరణం \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) రూపాన్ని ఉంచుతూ క్రింది రెండు మార్పులతో సాధిస్తారు.

  1. \(i\)వ వరుసను డయాగనల్ రూపంలోకి మార్చడం: \(du_i\) గుణకం అయిన డయాగనల్ పదం \(K_{ii}\) ను \(1\) తో, మిగతా గుణకాలు \(K_{ij}\ (j \not= i)\) అన్నింటినీ \(0\) తో మార్చి, కుడి వైపు \(R_i \to d\bar{u}_i\) చేస్తారు. అప్పుడు \(i\)వ వరుస సమీకరణం \(du_i = d\bar{u}_i\) అవుతుంది.
  2. \(j(\not= i)\)వ వరుస నుండి పదాన్ని కుడి వైపుకు తరలించడం: \(j(\not= i)\)వ వరుసలో \(K_{ji} \not= 0\) అయితే \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) పదాన్ని కుడి వైపుకు తరలిస్తారు. అంటే కుడి వైపు నుండి \(K_{ji} d\bar{u}_i\) తీసివేసి, \(du_i\) గుణకం \(K_{ji}\) ను \(0\) చేస్తారు.

భాగాల రూపంలో మార్పు ముందు మరియు తరువాత సమీకరణాలు ఇలా ఉంటాయి.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

మార్పు తరువాత గుణక మాత్రిక మరియు కుడి వైపును వరుసగా \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) గా వ్రాస్తే, చివరగా పరిష్కరించాల్సిన రేఖీయ సమీకరణం

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

అవుతుంది. అనేక నిరోధిత స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలు ఉంటే ప్రతి నిరోధిత స్వేచ్ఛా ప్రమాణం \(i\) కు పై 1, 2 మార్పులను వరుసగా వర్తింపజేస్తారు.

స్పార్స్ మాత్రిక అమలులో ప్రాసెసింగ్ పరిధి

అమలులో గుణక మాత్రిక \(\boldsymbol{K}\) స్పార్స్ మాత్రిక రూపంలో ఉంచబడుతుంది. పై విధానం 2 లోని \(j(\not= i)\)వ వరుస ప్రాసెసింగ్‌ను \(i\) నిలువు వరుసలో శూన్యంకాని భాగం ఉన్న వరుసలకే, అంటే నిరోధిత స్వేచ్ఛా ప్రమాణం \(i\) తో మూలకం ద్వారా అనుసంధానమైన నోడ్ స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలకే నిర్వహిస్తారు. అనుసంధానం లేని స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలకు \(K_{ji} = 0\), కాబట్టి పదాన్ని తరలించినా కుడి వైపు మారదు. ఈ పరిమితితో మొత్తం నోడ్‌ల సంఖ్యకు బదులు స్థానిక ఆపరేషన్‌లతోనే నిరోధ ప్రాసెసింగ్ పూర్తవుతుంది.

సంబంధిత అంశాలు