ข้ามไปที่เนื้อหา

ฟังก์ชันรูปร่างและการประมาณด้วยไฟไนต์เอลิเมนต์

เพื่อจัดการรูปแบบอ่อนของหลักงานเสมือนด้วยคอมพิวเตอร์ จะแบ่งโดเมนของวัตถุออกเป็นเอลิเมนต์จำนวนจำกัด และอินเตอร์โพเลตพิกัดจุดวัสดุ การกระจัด และฟังก์ชันทดสอบภายในเอลิเมนต์จากค่าที่โหนดและฟังก์ชันรูปร่าง อนุพันธ์เชิงพื้นที่ของฟังก์ชันรูปร่างอธิบายในอนุพันธ์เชิงพื้นที่ของฟังก์ชันรูปร่าง การดิสครีไทซ์รูปแบบอ่อนอธิบายในการดิสครีไทซ์งานเสมือนของแรงภายใน และรูปเฉพาะของฟังก์ชันรูปร่างสำหรับแต่ละชนิดเอลิเมนต์อธิบายในระบบหมายเลขเอลิเมนต์และไลบรารีฟังก์ชันรูปร่างและหัวข้อถัดไป

การแบ่งโดเมนและผลรวมอินทิกรัลตามเอลิเมนต์

โดเมน \(\Omega_0\) ในสภาพอ้างอิงและโดเมน \(\Omega\) ในสภาพปัจจุบัน ถูกประมาณด้วยยูเนียนของเอลิเมนต์ \(\Omega^e_0\) และ \(\Omega^e\) ตามลำดับ:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) คือหมายเลขเอลิเมนต์ และขอบเขตเอลิเมนต์ใช้ร่วมกันระหว่างเอลิเมนต์ที่ติดกัน) ดังนั้นอินทิกรัลปริมาตรและอินทิกรัลผิวในหลักงานเสมือนจึงแยกเป็นผลรวมของอินทิกรัลสำหรับแต่ละเอลิเมนต์:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(สำหรับสภาพปัจจุบันก็เช่นเดียวกัน โดยแทน \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), และ \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\)) ต่อจากนี้ การประเมินรูปแบบอ่อนจึงลดลงเป็นการสร้างอินทิกรัลในระดับเอลิเมนต์

การอินเตอร์โพเลตด้วยค่าที่โหนดและฟังก์ชันรูปร่าง (เอลิเมนต์ไอโซพาราเมตริก)

แต่ละเอลิเมนต์ \(\Omega^e_0\) มีโหนด \(n_e\) โหนด ให้พิกัดในสภาพอ้างอิงและการกระจัดที่โหนดของโหนดเอลิเมนต์ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) เป็น \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) เวกเตอร์โหนดของเอลิเมนต์ \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) และ \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) ซึ่งเรียงค่าดังกล่าว ประกอบด้วยเฉพาะองค์ประกอบของโหนดที่สร้างเอลิเมนต์ \(e\) ซึ่งดึงมาจากเวกเตอร์โหนดรวม \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) คือจำนวนโหนดทั้งหมด)

ใช้พิกัดธรรมชาติ \(\boldsymbol{r}\) ซึ่งเป็นพิกัดเฉพาะที่ภายในเอลิเมนต์เป็นพารามิเตอร์ของฟังก์ชันรูปร่าง \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) เพื่ออินเตอร์โพเลตพิกัดวัสดุ การกระจัด และฟังก์ชันทดสอบภายในเอลิเมนต์ด้วยฟังก์ชันรูปร่างชุดเดียวกัน (เอลิเมนต์ไอโซพาราเมตริกและวิธี Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

ฟังก์ชันรูปร่างถูกสร้างให้เป็นไปตามสมบัติ 2 ข้อต่อไปนี้ และเลือกรูปทรงเอลิเมนต์ให้แมปปิง \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) จากพิกัดธรรมชาติไปยังพิกัดวัสดุเป็นหนึ่งต่อหนึ่งภายในเอลิเมนต์:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) คือจุดในพิกัดธรรมชาติที่สอดคล้องกับโหนด \(\alpha\) และ \(\delta_{\alpha\beta}\) คือเดลตา Kronecker) สมการแรกรับประกันการสร้างซ้ำการเลื่อนตัวของวัตถุแข็ง และสมการที่สองรับประกันว่าค่าอินเตอร์โพเลตที่โหนดตรงกับค่าที่โหนด รูปเฉพาะของ \(n_e\) และ \(N_\alpha^e\) สำหรับแต่ละชนิดเอลิเมนต์แสดงในระบบหมายเลขเอลิเมนต์และไลบรารีฟังก์ชันรูปร่างและหัวข้อถัดไป เพื่อหลีกเลี่ยงสัญกรณ์ที่ซับซ้อน การขึ้นกับชนิดเอลิเมนต์จะแทนด้วยดัชนีบน \(e\) ของแต่ละเอลิเมนต์

ด้วยกฎการอินเตอร์โพเลตข้างต้น อินทิกรนด์ของรูปแบบอ่อนสามารถเขียนได้โดยใช้เพียงค่าที่โหนดของเอลิเมนต์ \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) และ \(N_\alpha^e\) ในทางกลับกัน ความเครียดได้มาจากการกระจัดที่อินเตอร์โพเลตและความสัมพันธ์ความเครียด-การกระจัด ส่วนความเค้นได้มาจากความเครียดดังกล่าวและกฎความสัมพันธ์เชิงสภาวะของวัสดุ ปริมาณเหล่านี้ไม่ได้ถูกอินเตอร์โพเลตโดยตรงจากค่าที่โหนด แต่ประเมินที่จุดอินทิเกรตภายในเอลิเมนต์ (การอินทิเกรตเชิงตัวเลข)

กฎการเรียงเวกเตอร์โหนดรวม

ปริมาณทางกายภาพที่กำหนดให้โหนดจะเรียงในเวกเตอร์โหนดรวมตามลำดับจากน้อยไปมากของ หมายเลขโหนด → องศาอิสระ หากองค์ประกอบขององศาอิสระ \(i\) ที่โหนด \(\alpha\) เขียนเป็น \(u_{i\alpha}\) สำหรับสามมิติ (\(i=1,2,3\)) และสองมิติ (\(i=1,2\)) จะได้ตามลำดับ

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

พิกัด \(\boldsymbol{X}^n\) และฟังก์ชันทดสอบ \(\delta\boldsymbol{u}^n\) ใช้ลำดับเดียวกัน ต่อจากนี้ การแปลงสมการในรูปเมทริกซ์และเวกเตอร์จะเขียนโดยใช้กรณีสามมิติเป็นตัวแทน

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง