ข้ามไปที่เนื้อหา

Translation update pending

The Thai translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

การอินทิเกรตเชิงตัวเลข

เวกเตอร์แรงภายในเอลิเมนต์ \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) และเมทริกซ์ความแข็งเอลิเมนต์ \(\boldsymbol{K}^e\) ที่ได้จากการทำให้เป็นดิสครีตของงานเสมือนภายในและงานเสมือนของแรงภายนอกและการประกอบสมการรวม อยู่ในรูปอินทิกรัลเหนือโดเมนเอลิเมนต์ \(\Omega^e\) หรือ \(\Omega^e_0\) FrontISTR ประเมินค่าเหล่านี้เชิงตัวเลขด้วยสูตรอินทิเกรต Gauss

สูตรอินทิเกรต Gauss และการเปลี่ยนตัวแปร

สูตรอินทิเกรต Gauss ประมาณอินทิกรัลเหนือโดเมนมาตรฐาน \(\Xi\) ด้วยผลรวมเชิงเส้นของค่าอินทิกรนด์ที่จุดอินทิเกรต \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) และน้ำหนัก \(w_i\) การนำไปใช้กับโดเมนเอลิเมนต์ \(\Omega^e\) ต้องมีการเปลี่ยนตัวแปรผ่านแมปปิง \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) จึงได้

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

โดย \(n_q\) คือจำนวนจุดอินทิเกรต และ \(J_{\xi_i}\) คือดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนการแปลง โดเมนมาตรฐาน \(\Xi\) กำหนดตามชนิดเอลิเมนต์ (ทรงหกหน้าใช้ \([-1,1]^3\) ส่วนสามเหลี่ยม ทรงสี่หน้า และลิ่มใช้รูปทรงอ้างอิงของแต่ละชนิด) จุดอินทิเกรต \(\boldsymbol{\xi}_i\) และน้ำหนัก \(w_i\) ให้มาเป็นตารางตัวเลข อินทิกรัลผิวก็จัดการในรูปเดียวกันโดยแมปหน้าของเอลิเมนต์จากโดเมนมาตรฐานสองมิติ

จำนวนจุดอินทิเกรตที่เป็นตัวแทนซึ่ง FrontISTR ใช้แสดงไว้ด้านล่าง (สำหรับความสอดคล้องกับชนิดเอลิเมนต์ ให้ดูระบบหมายเลขเอลิเมนต์และไลบรารีฟังก์ชันรูปร่าง)

ประเภทเอลิเมนต์ สูตรอินทิเกรต จำนวนจุดอินทิเกรต
ทรงสี่หน้า 4 โหนด (tet4n) สูตร 1 จุด 1
ทรงสี่หน้า 10 โหนด (tet10n) สูตร 4 จุด 4
ปริซึมสามเหลี่ยม 6 โหนด (prism6n) สูตร 2 จุด 2
ปริซึมสามเหลี่ยม 15 โหนด (prism15n) สูตร 9 จุด 9
ทรงหกหน้า 8 โหนด (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
ทรงหกหน้า 20 โหนด (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
สี่เหลี่ยม 4 โหนด (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
สี่เหลี่ยม 8 โหนด (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
สามเหลี่ยม 3 โหนด (tri3n) สูตร 1 จุด 1
สามเหลี่ยม 6 โหนด (tri6n) สูตร 3 จุด 3

สำหรับเอลิเมนต์ทรงหกหน้า สี่เหลี่ยม และเส้น ใช้ผลคูณเทนเซอร์ของสูตร Gauss-Legendre ในแต่ละทิศแกน ส่วนสามเหลี่ยม ทรงสี่หน้า และปริซึมสามเหลี่ยม ใช้สูตรเฉพาะที่เหมาะกับรูปทรงซิมเพล็กซ์ (การจัดวางจุดที่อินทิเกรตพหุนามได้อย่างแม่นยำบนรูปสามเหลี่ยมเอง)

การประยุกต์กับอินทิกรัลของเอลิเมนต์

ในการอินทิเกรตเอลิเมนต์ ใช้พิกัดธรรมชาติ \(\boldsymbol{r}\) เป็นพิกัดของโดเมนมาตรฐาน (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)) และแมปปิงไปยังพิกัดกายภาพกำหนดด้วยการอินเตอร์โพเลตพิกัดโหนดโดยฟังก์ชันรูปร่าง โดยเลือกใช้ดังต่อไปนี้ตามการเลือกสภาพอ้างอิง (กรอบการวิเคราะห์แบบเพิ่มค่า)

วิธี Total Lagrange (อินทิเกรตเหนือสภาพอ้างอิง \(\Omega^e_0\)): แมปปิงและจาโคเบียนเป็น

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

และประมาณแรงภายในเอลิเมนต์กับเมทริกซ์ความแข็งเป็น

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

โดย \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) ทั้งหมดประเมินที่จุดอินทิเกรต \(\boldsymbol{r}_i\)

วิธี Updated Lagrange (อินทิเกรตเหนือสภาพปัจจุบัน \(\Omega^e\)): แมปปิงและจาโคเบียนเป็น

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

และ

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

ใช้เป็นค่าประมาณ

ความแตกต่างเพียงข้อเดียวระหว่างสองรูปแบบคือ พิกัดโหนดที่ป้อนให้แมปปิงเป็น \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) หรือ \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) ส่วนจุดอินทิเกรต น้ำหนัก และโครงสร้างลูปจุดอินทิเกรตใช้ร่วมกัน

การอินทิเกรตเต็มและการอินทิเกรตแบบลดอันดับ

การอินทิเกรตที่ใช้จำนวนจุดอินทิเกรตเพียงพอสำหรับอินทิเกรตอันดับพหุนามของอินทิกรนด์ได้อย่างแม่นยำ เรียกว่า การอินทิเกรตเต็ม ส่วนการอินทิเกรตที่ใช้จำนวนจุดอินทิเกรตน้อยลงหนึ่งระดับเรียกว่า การอินทิเกรตแบบลดอันดับ การอินทิเกรตแบบลดอันดับใช้เพื่อลดการล็อกเฉือนและการล็อกเชิงปริมาตร แต่ต้องจัดการกับโหมดการเสียรูปเทียม เช่น โหมดนาฬิกาทราย จำนวนจุดอินทิเกรตสำหรับแต่ละชนิดเอลิเมนต์และการเลือกระหว่างการอินทิเกรตเต็ม/แบบลดอันดับกล่าวถึงในระบบหมายเลขเอลิเมนต์และไลบรารีฟังก์ชันรูปร่างและหัวข้อถัดไป รวมทั้งการกำหนดรูปแบบเอลิเมนต์ขั้นสูง

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง