ข้ามไปที่เนื้อหา

Translation update pending

The Thai translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

สูตรเอลิเมนต์สมรรถนะสูง

สูตรมาตรฐานแบบอาศัยการกระจัดที่แสดงใน สูตรเอลิเมนต์โซลิดสามมิติ เมื่อใช้กับวัสดุเกือบไม่อัดตัวหรือโครงสร้างผนังบางที่การดัดครอบงำ อาจเกิดความแข็งเกินจริงที่เรียกว่าล็อกกิง (volume locking และ shear locking) เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ FrontISTR มีวิธี B-bar และ F-bar ที่แทนเฉพาะส่วนปริมาตรของเมทริกซ์ B หรือเกรเดียนต์การเสียรูป เอลิเมนต์ไม่เข้ากันที่เพิ่มองศาอิสระภายใน เอลิเมนต์ผสม u-p ที่ให้ความดันเป็นสนามไม่ทราบค่าอิสระ รวมถึงเอลิเมนต์เชลล์ MITC และเอลิเมนต์คานสำหรับโครงสร้างแผ่นและคาน

บทนี้สรุปสูตรของเอลิเมนต์สมรรถนะสูงและเอลิเมนต์โครงสร้างเหล่านี้เป็นรายเอลิเมนต์

วิธี B-bar

เมื่อใช้เอลิเมนต์ทรงหกหน้าเชิงเส้น 8 โหนดกับวัสดุเกือบไม่อัดตัว ความเครียดภายในเอลิเมนต์อาจขัดกับข้อจำกัดปริมาตรคงที่และเกิดความแข็งเกินจริงที่เรียกว่า volume locking วิธี B-bar ลดข้อจำกัดที่มากเกินไปโดยแทนองค์ประกอบของเมทริกซ์ B ที่มีส่วนต่อการขยายปริมาตรด้วยค่าที่ประเมิน ณ ศูนย์กลางเอลิเมนต์ [Hughes1980]

ให้เมทริกซ์ B ที่คำนวณจากอนุพันธ์เชิงพื้นที่ของฟังก์ชันรูปร่าง ณ ศูนย์กลางเอลิเมนต์ \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) เป็น \(\bar{\boldsymbol{B}}\) และเมทริกซ์ B ปกติที่คำนวณ ณ จุดอินทิเกรต \(\boldsymbol{r}\) เป็น \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) ในความสัมพันธ์การกระจัด–ความเครียดสำหรับองศาอิสระ \(i\) ของโหนด \(\alpha\) สำหรับองค์ประกอบความเครียดเชิงปริมาตร \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) ให้เพิ่ม

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

และสำหรับองค์ประกอบเฉือน \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) ใช้ \(\boldsymbol{B}\) ปกติ จากนั้นประกอบความแข็งเอลิเมนต์และเวกเตอร์แรงภายในด้วยเมทริกซ์ B-bar ที่ได้

FrontISTR จัดให้สูตรนี้เฉพาะสำหรับเอลิเมนต์ทรงหกหน้าเชิงเส้น 8 โหนด (เอลิเมนต์ ID 361, ระบบหมายเลขเอลิเมนต์) และใช้ได้กับการเสียรูปเล็ก วิธี Total Lagrange และ Updated Lagrange

วิธี F-bar

ภายใต้การเสียรูปจำกัด การเปลี่ยนแปลงปริมาตรมีผลแบบไม่เชิงเส้นผ่านเกรเดียนต์การเสียรูป \(\boldsymbol{F}\) ดังนั้นวิธี F-bar [deSouzaNeto1996] จึงใช้มาตรการป้องกัน volume locking เทียบเท่าวิธี B-bar ในระดับเกรเดียนต์การเสียรูป

ให้อัตราส่วนปริมาตรของเกรเดียนต์การเสียรูปที่ประเมิน ณ ศูนย์กลางเอลิเมนต์ \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) เป็น \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) และอัตราส่วนปริมาตร ณ จุดอินทิเกรตเป็น \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) แล้วแทนเกรเดียนต์การเสียรูป ณ จุดอินทิเกรตด้วย

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

สมการดังกล่าว ทำให้ \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) และอัตราส่วนปริมาตรทั่วทั้งเอลิเมนต์เท่ากับค่าที่ศูนย์กลางเอลิเมนต์ ใช้ \(\bar{\boldsymbol{F}}\) หลังการแทนในการประเมินความเค้นและสร้างเมทริกซ์ความเครียด–การกระจัด และประกอบเมทริกซ์สัมผัสของความแข็งเอลิเมนต์โดยรวมพจน์เพิ่มเติมจากการแทนนี้

FrontISTR ใช้วิธี F-bar เฉพาะกับเอลิเมนต์ทรงหกหน้าเชิงเส้น 8 โหนด และใช้ได้กับการเสียรูปเล็กและเรขาคณิตไม่เชิงเส้นทั้ง Total Lagrange / Updated Lagrange

เอลิเมนต์ไม่เข้ากัน

เอลิเมนต์ทรงหกหน้าเชิงเส้น 8 โหนดไม่มีองศาอิสระความเครียดที่จำเป็นสำหรับโหมดดัด จึงเกิด bending locking ในปัญหาที่การดัดครอบงำ เอลิเมนต์ไม่เข้ากัน [Taylor1976] เพิ่มโหมดการกระจัดภายในเอลิเมนต์เพื่อชดเชยข้อบกพร่องนี้

นอกจากการกระจัดที่โหนดเอลิเมนต์ \(\boldsymbol{u}^e\) แล้ว ยังเพิ่มองศาอิสระโหมดไม่เข้ากัน \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) ที่มีอยู่เฉพาะภายในเอลิเมนต์ จำนวน 3 ทิศทาง × 3 โหมดต่อเอลิเมนต์ และประมาณสนามการกระจัดเป็น

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

ฟังก์ชันรูปร่างแบบไม่เข้ากันสำหรับพิกัดธรรมชาติ \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) ให้เป็น \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\) แม้ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่รับประกันความต่อเนื่องที่ขอบเขตเอลิเมนต์ แต่เพิ่มปริภูมิภายในเอลิเมนต์ที่สามารถสร้างความเครียดของโหมดดัดได้

ความแข็งเอลิเมนต์ถูกแบ่งบล็อกเป็นองศาอิสระภายนอก–ภายใน

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

หลังประกอบในรูปดังกล่าว ให้ทำ static condensation โดยกำจัดองศาอิสระภายในด้วย \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) เพื่อได้ความแข็งเอลิเมนต์ที่มีเฉพาะองศาอิสระภายนอก

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

แล้วส่งไปยังการประกอบรวม

FrontISTR ใช้เอลิเมนต์ไม่เข้ากันเฉพาะกับเอลิเมนต์ทรงหกหน้าเชิงเส้น 8 โหนด (C3D8IC) และใช้ได้กับการเสียรูปเล็ก วิธี Total Lagrange และ Updated Lagrange

เอลิเมนต์ผสม U-P

ขณะที่วิธี B-bar และ F-bar แก้ไของค์ประกอบเชิงปริมาตรภายในกรอบแบบอาศัยการกระจัด เอลิเมนต์ผสม u-p (U-P) เป็นสูตรผสม [Bathe1996] ที่นำความดัน \(\lambda\) มาเป็นสนามไม่ทราบค่าอิสระจากการกระจัด สำหรับวัสดุเกือบไม่อัดตัว (เช่น วัสดุคล้ายยางที่อัตราส่วน Poisson ใกล้ 0.5 มาก หรือโลหะหลังการเสียรูปพลาสติก) การพยายามบังคับเงื่อนไขปริมาตรคงที่ด้วยสนามการกระจัดเพียงอย่างเดียวทำให้เกิด volume locking แต่การให้ความดันเป็นตัวแปรอิสระช่วยผ่อนคลายข้อจำกัดนี้

แยกความเค้นเป็นองค์ประกอบเบี่ยงเบนและความดัน

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

โดย \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) คือเมทริกซ์ยืดหยุ่นเบี่ยงเบนซึ่งตัดส่วนปริมาตรที่แปรตาม bulk modulus \(K\) ออกจากเมทริกซ์ยืดหยุ่น ความดัน \(\lambda\) และความเครียดเชิงปริมาตร \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) เชื่อมกันด้วยเงื่อนไขข้อจำกัดผ่านค่าการอัดตัว \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

จากการดิสครีไทซ์ที่ให้การกระจัด \(\boldsymbol{u}\) และความดัน \(\lambda\) เป็นตัวไม่ทราบค่า จะได้ระบบสมการของเอลิเมนต์

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

โดย \(\mathbf{K}_{uu}\) ประกอบด้วยองค์ประกอบยืดหยุ่นเบี่ยงเบนและ (สำหรับการเสียรูปจำกัด) ความแข็งเชิงเรขาคณิต, \(\mathbf{K}_{up}\) คือเมทริกซ์ที่เชื่อมความเครียดเชิงปริมาตรกับความดัน และ \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) คือพจน์ทำให้เสถียรของความดัน (\(\boldsymbol{N}_p\) คือฟังก์ชันรูปร่างของความดัน) เนื่องจากองศาอิสระความดันปิดอยู่ภายในเอลิเมนต์ จึง

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

ทำ static condensation ในรูปดังกล่าว และส่งความแข็งยังผลที่มีเฉพาะองศาอิสระภายนอก (การกระจัด) ไปยังการประกอบรวม

FrontISTR ใช้เอลิเมนต์ U-P เฉพาะกับเอลิเมนต์ทรงหกหน้าเชิงเส้น 8 โหนด โดยมีองศาอิสระความดัน 1 ค่าในแต่ละเอลิเมนต์ (คงที่ภายในเอลิเมนต์) ใช้ได้กับการเสียรูปเล็ก วิธี Total Lagrange และ Updated Lagrange โดยใน Updated Lagrange จะอัปเดตความเค้นเบี่ยงเบนด้วยอัตราความเค้นเชิงวัตถุวิสัย (แบบ Jaumann/Hughes-Winget) แล้วกำหนดความดัน \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) จากค่าที่หาได้ด้วย static condensation

เอลิเมนต์เชลล์

สำหรับโครงสร้างแผ่นและเปลือกบาง ใช้เอลิเมนต์เชลล์ตามทฤษฎีแผ่นเปลือก Reissner-Mindlin เอลิเมนต์แผ่นเปลือกลำดับต่ำแบบอาศัยการกระจัดจะประเมินความเครียดเฉือนตามขวางสูงเกินไปเมื่อความหนาลดลง ด้วยกลไกคล้าย volume locking (shear locking) ทำให้ความแข็งต่อโหมดดัดเพิ่มขึ้นอย่างผิดปกติ วิธี MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] หลีกเลี่ยงปัญหานี้โดยสุ่มตัวอย่างใหม่เฉพาะองค์ประกอบความเครียดเฉือนที่จุด tying ที่กำหนดไว้ล่วงหน้าภายในเอลิเมนต์ แล้วอินเตอร์โพเลตค่าตัวอย่างกลับทั่วเอลิเมนต์

โหนดของเอลิเมนต์เชลล์ MITC เป็นโหนดผิวกลางบนพื้นผิวโค้ง แต่ละโหนดมี 6 องศาอิสระ ได้แก่ การเลื่อน 3 องค์ประกอบและการหมุนรอบแนวปกติของผิวกลาง 3 องค์ประกอบ ความแข็งเอลิเมนต์ประเมินด้วยการอินทิเกรต Gauss สามมิติรวมพิกัดธรรมชาติบนผิวกลางและทิศทางความหนา และกำหนดความหนาแผ่น \(h\) เป็นคุณสมบัติเอลิเมนต์ในการคำนวณสมการองค์ประกอบ

FrontISTR มี MITC3 (เอลิเมนต์ ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743) ที่ใช้ผิวกลางชั้นเดียว และเอลิเมนต์เชลล์แบบชั้น MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 โหนด, 3 องศาอิสระต่อโหนด) กับ MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 โหนด, 3 องศาอิสระต่อโหนด) ซึ่งวางโหนดสองชั้นในทิศทางผ่านความหนา สำหรับเอลิเมนต์เชลล์แบบชั้น องศาอิสระที่โหนดมีเฉพาะการเลื่อน 3 องค์ประกอบ และแสดงโหมดดัดที่เทียบเท่าองศาอิสระการหมุนด้วยการจัดวางสองชั้น

เอลิเมนต์คาน

สมาชิกเส้น เช่น คานหลักและโครงข้อแข็ง ถูกดิสครีไทซ์ด้วยเอลิเมนต์คาน เอลิเมนต์คานแทนการยืด การดัด และการบิดด้วยการเลื่อนและการหมุนของโหนดบนแกนคานเท่านั้น โดยแทนการเสียรูปภายในหน้าตัดด้วยค่าคงที่ของหน้าตัด

แต่ละโหนดของคานมี 6 องศาอิสระ ได้แก่ การเลื่อน 3 องค์ประกอบและการหมุน 3 องค์ประกอบ ความแข็งของเอลิเมนต์ได้จากการสร้างเมทริกซ์ความแข็งรูปปิดสำหรับการยืด การดัดสองทิศทาง และการบิด ในระบบพิกัดเฉพาะที่ซึ่งกำหนดจากแกนเอลิเมนต์และแกนอ้างอิงที่ระบุในข้อมูลหน้าตัด แล้วแปลงไปยังระบบพิกัดรวม พื้นที่หน้าตัด \(A\) โมเมนต์อันดับสองของพื้นที่ \(I_y\) และ \(I_z\) รอบแกนเฉพาะที่ \(y\) และ \(z\) และค่าคงที่การบิดกำหนดไว้ในข้อมูลหน้าตัด โดยร่วมกับมอดูลัสของยัง \(E\) ของวัสดุและมอดูลัสเฉือน \(G\) ที่คำนวณจากมอดูลัสของยังและอัตราส่วนปัวซอง เพื่อกำหนดสัมประสิทธิ์ความแข็งแต่ละรายการ

สำหรับการดัดมีสองสูตร ได้แก่ คาน Bernoulli-Euler ซึ่งสมมติว่าหน้าตัดยังคงตั้งฉากกับแกนคานหลังการเสียรูปและละเลยการเสียรูปเฉือน กับคาน Timoshenko ซึ่งคำนึงถึงการเสียรูปเฉือน สำหรับเอลิเมนต์คาน 2 โหนด 611 สามารถเลือกได้ทั้งสองแบบ โดยค่าเริ่มต้นเป็นคาน Bernoulli-Euler สำหรับคาน Timoshenko ที่มีความยาวเอลิเมนต์ \(L\) จะรวมสัมประสิทธิ์ที่แทนผลของการเสียรูปเฉือน

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

ไว้ในสัมประสิทธิ์ความแข็งของระนาบดัดแต่ละระนาบ ตัวอย่างเช่น สัมประสิทธิ์ความแข็งสำหรับการโก่งตัวในทิศ \(y\) เฉพาะที่คือ \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\) โดย \(A_s\) คือพื้นที่เฉือน เนื่องจากข้อมูลหน้าตัดของ FrontISTR ไม่ได้กำหนด \(A_s\) แยกต่างหาก จึงใช้ \(A_s = A\) ซึ่งเทียบเท่ากับการใช้ตัวประกอบแก้ไขการเฉือนเท่ากับ 1 เมื่อกำหนด \(\Phi_y = \Phi_z = 0\) จะได้ความแข็งของคาน Bernoulli-Euler

เอลิเมนต์ 641 เป็นเอลิเมนต์ที่มีองศาอิสระผสม โดยแทนคานด้วยโหนดสองโหนดที่มีองศาอิสระการเลื่อนและโหนดสองโหนดที่มีองศาอิสระการหมุน และใช้สูตรคาน Bernoulli-Euler

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง