ข้ามไปที่เนื้อหา

เกณฑ์การลู่เข้า

ในฐานะเงื่อนไขสำหรับยุติการวนซ้ำ Newton-Raphson (วิธี Newton-Raphson) FrontISTR ใช้ปริมาณไร้มิติ 2 ระบบ คือ เกณฑ์นอร์มเศษเหลือ และ เกณฑ์นอร์มส่วนแก้ไข ทั้งสองมีคำนิยามร่วมกันโดยไม่ขึ้นกับชนิดการวิเคราะห์ (การวิเคราะห์สถิต การวิเคราะห์พลวัตวิธีโดยนัย) และการมีหรือไม่มีสัมผัส

การแบ่งปริมาณตัดสิน

องศาอิสระของโหนดมีส่วนประกอบที่มีมิติทางกายภาพแตกต่างกันปะปนกัน สำหรับเอลิเมนต์ 6 องศาอิสระ เศษเหลือขององศาอิสระการเลื่อนมีมิติของแรง ส่วนเศษเหลือขององศาอิสระการหมุนมีมิติของโมเมนต์ นอกจากนี้ ในการวิเคราะห์การสัมผัส (การวิเคราะห์การสัมผัส) ด้วยวิธีตัวคูณ Lagrange เวกเตอร์เศษเหลือจะได้รับการเพิ่มแถวที่สอดคล้องกับช่องว่างสัมผัส (มิติของความยาว) เข้าไป

การรวมทั้งหมดนี้เข้าเป็นผลรวมกำลังสองเพียงตัวเดียว จะทำให้ค่าของนอร์มเปลี่ยนไปได้อย่างอิสระตามระบบหน่วยที่เลือกใช้ และความหมายของค่าขีดจำกัดจะไม่แน่นอน ดังนั้น FrontISTR จึงแยกปริมาณตัดสินตามมิติ แล้วทำให้ไร้มิติแต่ละส่วนด้วยปริมาณอ้างอิงที่สอดคล้องกันก่อนจึงตัดสิน

สัญลักษณ์ ส่วนประกอบ มิติ
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) เศษเหลือขององศาอิสระการเลื่อน (องศาอิสระโหนด 1–3) แรง
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) เศษเหลือขององศาอิสระการหมุน (องศาอิสระโหนด 4–6 เฉพาะเอลิเมนต์ 6 องศาอิสระ) โมเมนต์
\(d\boldsymbol{\lambda}\) ส่วนแก้ไขของตัวคูณ Lagrange แรง

ไม่รวมองศาอิสระความดันของเอลิเมนต์การเชื่อมโยงของไหล (องศาอิสระโหนด 4 ตัว, \(u,v,w,p\)) ในการตัดสิน

สำหรับเอลิเมนต์คานและเชลล์ 3 องศาอิสระต่อโหนด (641/761/781) การหมุนแทนด้วยองศาอิสระ 1–3 ของโหนดดัมมี่ที่จับคู่กับโหนดการเลื่อน การตัดสินไม่แยกแยะโหนดดัมมี่ ดังนั้นเศษเหลือของโหนดดัมมี่ (โมเมนต์) จึงถูกนับรวมในส่วนประกอบเลื่อน \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) เช่นเดียวกับเกณฑ์นอร์มส่วนแก้ไขและการตัดสินด้วยค่าสูงสุด

เศษเหลือ \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) คือค่าที่ตัดส่วนประกอบขององศาอิสระที่ถูกกำหนดข้อจำกัดการกระจัดออกแล้ว เนื่องจากเศษเหลือที่ปรากฏในองศาอิสระเหล่านี้สอดคล้องกับแรงปฏิกิริยาของข้อจำกัด ไม่ใช่ข้อผิดพลาดของสมดุล (วิธี Newton-Raphson)

เกณฑ์นอร์มเศษเหลือ

ทำให้เศษเหลือ \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) ของการวนซ้ำที่ \(i\) ไร้มิติด้วยขนาดของแรงที่เกิดขึ้นในระบบในขณะนั้น กำหนดให้แรงอ้างอิง \(F_\mathrm{ref}\) ของส่วนประกอบเลื่อน และโมเมนต์อ้างอิง \(M_\mathrm{ref}\) ของส่วนประกอบหมุนเป็น

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

โดย \(\boldsymbol{Q}\) คือเวกเตอร์แรงภายใน และ \(\boldsymbol{D}\)

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

คือผลรวมของแรงเฉื่อยและแรงหนืด (การวิเคราะห์พลวัต) และในการวิเคราะห์สถิต \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\) ดัชนี \(t, r\) แทนส่วนประกอบเลื่อนและส่วนประกอบหมุนตามหัวข้อก่อนหน้า ปริมาณตัดสินคือ

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

เหตุผลที่กำหนดให้แรงอ้างอิงเป็นค่าสูงสุดของนอร์มของแรงภายในและแรงเฉื่อย/แรงหนืด แทนที่จะเป็นผลบวกเวกเตอร์ \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\) ของทั้งสองนั้น คือในการสั่นอิสระที่ไม่มีแรงภายนอกกระทำ เมื่ออยู่ในสภาวะสมดุลจะได้ \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\) ทำให้ปริมาณอ้างอิงแบบผลบวกเวกเตอร์ลดเหลือ \(0\) หากใช้ค่าสูงสุดของนอร์ม การหักล้างลักษณะนี้จะไม่เกิดขึ้น

เมื่อปริมาณอ้างอิงต่ำกว่าค่าขีดจำกัดล่างที่กำหนดไว้ล่วงหน้า (\(10^{-8}\)) (เช่น การวนซ้ำครั้งแรกที่เริ่มจากสภาวะไม่มีภาระ) จะไม่หารด้วยปริมาณอ้างอิง แต่ใช้นอร์มเศษเหลือเองเป็นปริมาณตัดสิน ในกรณีนี้การตัดสินจะเป็นการตัดสินด้วยค่าสัมบูรณ์ของเศษเหลือ

เกณฑ์นอร์มส่วนแก้ไข

ทำให้ส่วนแก้ไข \(d\boldsymbol{u}_i\) ของการวนซ้ำที่ \(i\) ไร้มิติด้วยส่วนเพิ่มการกระจัด \(\Delta\boldsymbol{u}\) ที่สะสมมาแล้วภายในซับสเต็ปนั้น

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

เมื่อส่วนแก้ไขเล็กมากเมื่อเทียบกับส่วนเพิ่มที่สะสมแล้ว หมายความว่ากระบวนการวนซ้ำหยุดนิ่ง ใช้งานในฐานะเกณฑ์เสริมสำหรับปัญหาที่เศษเหลือลดลงช้า ๆ และกรณีตัวส่วนเป็น \(0\) ถือว่าเกณฑ์นี้ไม่เป็นจริง

เกณฑ์ตัวคูณ Lagrange

ในการวิเคราะห์การสัมผัสด้วยวิธีตัวคูณ Lagrange จะรวมเงื่อนไขต่อไปนี้เข้าในการตัดสิน โดยนำส่วนแก้ไขของตัวคูณทำให้ไร้มิติด้วยขนาดของตัวคูณเอง

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

เนื่องจากข้อจำกัดช่องว่างสัมผัสถูกรวมอยู่ในระบบสมการในฐานะสมการของตัวคูณ Lagrange จึงถือว่าการลู่เข้าของตัวคูณแสดงว่าข้อจำกัดถูกตอบสนอง ส่วนเศษเหลือของช่องว่างเองที่มีมิติของความยาวนั้น ไม่ถูกนับรวมในเกณฑ์นอร์มเศษเหลือ เพราะไม่สามารถบวกกับเศษเหลือของแรงได้

ตัวคูณ Lagrange คือแรงสัมผัส และมีมิติเดียวกับแรงอ้างอิง \(F_\mathrm{ref}\) จึงกำหนดให้ตัวส่วนมีค่าไม่น้อยกว่า \(F_\mathrm{ref}\) หากทำให้ไร้มิติด้วยเพียง \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\) การตัดสินจะเข้มงวดขึ้นไม่สิ้นสุดในสภาวะที่การสัมผัสรับภาระแทบไม่เลย และสำหรับโหนดที่เพิ่งเข้าสัมผัส \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) ในขณะที่ \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\) ทำให้การตัดสินไม่สามารถเป็นจริงได้ การจัดการกรณีที่ตัวส่วนต่ำกว่าค่าขีดจำกัดล่างมีลักษณะเดียวกับเกณฑ์นอร์มเศษเหลือ

การตัดสินด้วยค่าสูงสุด

เนื่องจากนอร์ม L2 เป็นผลรวมกำลังสองขององศาอิสระทั้งหมด เศษเหลือที่ตกค้างเฉพาะโหนดบางตัวจึงถูกเจือจางในภาพรวม และถูกประเมินว่าเล็กลงมากเมื่อจำนวนโหนดมากขึ้น เพื่อตรวจจับสภาวะที่สมดุลไม่สำเร็จเฉพาะที่ เช่น โหนดสัมผัส จึงสามารถใช้เกณฑ์ที่ได้จากการแทนที่นอร์ม L2 ในแต่ละเกณฑ์ตั้งแต่หัวข้อก่อนหน้าด้วยค่าสูงสุดของค่าสัมบูรณ์ขององค์ประกอบองศาอิสระควบคู่ไปด้วย

กำหนดให้ค่าสูงสุดของส่วนประกอบเลื่อนของเวกเตอร์ \(\boldsymbol{v}\) สำหรับโหนด \(I\) และองศาอิสระโหนด \(k\) เป็น

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

ส่วนประกอบหมุน \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) นิยามในทำนองเดียวกันสำหรับ \(k = 4,5,6\) และสำหรับตัวคูณ Lagrange ให้เป็นค่าสูงสุดของค่าสัมบูรณ์ของทุกองค์ประกอบ ปริมาณตัดสินคือค่าที่ได้จากการแทนที่นอร์ม L2 ในแต่ละเกณฑ์ด้วยค่าสูงสุดนี้ทั้งในเศษและส่วน

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

ส่วนประกอบหมุนก็เป็นในทำนองเดียวกัน การจัดการกรณีที่ปริมาณอ้างอิงต่ำกว่าค่าขีดจำกัดล่าง และกรณีที่ตัวส่วนเป็น \(0\) มีลักษณะเดียวกับเกณฑ์แบบนอร์ม L2

เหตุผลที่กำหนดให้ปริมาณอ้างอิงเป็นค่าสูงสุดรูปเดียวกันนั้น เพื่อให้ขนาดของปริมาณตัดสินมีระดับใกล้เคียงกับเกณฑ์แบบนอร์ม L2 และสามารถใช้ค่าขีดจำกัดในระดับเดียวกันได้ ไม่มีการหารด้วยปริมาณอ้างอิงที่ต่างกันรายองค์ประกอบองศาอิสระ เพราะในทิศที่ไม่ได้รับภาระ ปริมาณอ้างอิงจะเข้าใกล้ \(0\) ทำให้ปริมาณตัดสินสูญเสียความหมาย

ในการตัดสินด้วยค่าสูงสุด จะระบุโหนดและองศาอิสระที่ให้ค่าสูงสุดได้ FrontISTR จะส่งออกโหนดและองศาอิสระเหล่านี้ของเศษเหลือและส่วนแก้ไขลงในการบันทึกของแต่ละรอบการวนซ้ำ

การรวมเกณฑ์การตัดสิน

ปริมาณตัดสินแต่ละตัวตั้งแต่หัวข้อก่อนหน้า (ครอบคลุมเศษเหลือ ส่วนแก้ไข และตัวคูณ Lagrange แยกส่วนประกอบเลื่อน/ส่วนประกอบหมุน และแยกนอร์ม L2/ค่าสูงสุด) สามารถกำหนดได้ทีละรายการว่าจะใช้ในการตัดสิน (CHECK) หรือไม่ (SKIP) โดยค่าเริ่มต้น การตัดสินด้วยนอร์ม L2 ทั้งหมดเป็น CHECK และการตัดสินด้วยค่าสูงสุดทั้งหมดเป็น SKIP

เกณฑ์นอร์มเศษเหลือและเกณฑ์นอร์มส่วนแก้ไข ถือว่าลู่เข้าเมื่อตอบสนองข้อใดข้อหนึ่ง ส่วนเกณฑ์ตัวคูณ Lagrange เป็นการยืนยันว่าข้อจำกัดการสัมผัสถูกตอบสนอง จึงต้องตอบสนองเสมอในการวิเคราะห์ที่มีตัวคูณ Lagrange อยู่ และภายในเกณฑ์เดียวกันจะต้องตอบสนองทุกตัวที่เป็น CHECK ทั้งในส่วนประกอบเลื่อน/ส่วนประกอบหมุน และนอร์ม L2/ค่าสูงสุด

เพื่อเขียนเป็นสูตร กำหนดนิยาม 2 ข้อต่อไปนี้สำหรับกลุ่มของปริมาณตัดสิน \(G\)

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ ถูกตอบสนอง} \ \vee\ m \text{ เป็น SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ เป็น CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) เป็นจริงเมื่อไม่มีปริมาณตัดสินที่เป็น CHECK ใน \(G\) เลย เงื่อนไขการลู่เข้าคือ

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{เกณฑ์ตัวคูณ Lagrange}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{เกณฑ์นอร์มส่วนแก้ไข}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{เกณฑ์นอร์มส่วนแก้ไข}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{เกณฑ์นอร์มเศษเหลือ}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{เกณฑ์นอร์มเศษเหลือ}) \right) \right\} \]

การติด \(\mathrm{any\_check}\) ให้กลุ่มทั้งสองที่เชื่อมด้วย "หรือ" นั้น เพื่อไม่ให้กลุ่มที่ไม่มีปริมาณตัดสินเป็น CHECK เลยหลุดพ้นจากการตัดสิน ส่วนประกอบหมุนของการวิเคราะห์ที่ไม่มีองศาอิสระการหมุน และเกณฑ์ตัวคูณ Lagrange ของการวิเคราะห์ที่ไม่มีตัวคูณ Lagrange จะไม่ถูกใช้ในการตัดสินแม้จะกำหนดเป็น CHECK ไว้ก็ตาม ในการตั้งค่าเริ่มต้น เงื่อนไขการลู่เข้าคือ

\[ \left( \text{เกณฑ์ตัวคูณ Lagrange} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{เกณฑ์นอร์มส่วนแก้ไข} \right) \ \vee\ \left( \text{เกณฑ์นอร์มเศษเหลือ} \right) \right\} \]

สำหรับการวิเคราะห์ที่มีองศาอิสระการหมุน จะประเมินทั้งส่วนประกอบเลื่อนและส่วนประกอบหมุน ส่วนการวิเคราะห์ที่ไม่มีตัวคูณ Lagrange จะประเมินเงื่อนไขที่ไม่รวมเกณฑ์ตัวคูณ Lagrange

วิธีกำหนดและค่าเริ่มต้นของค่าขีดจำกัด \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) สำหรับการตัดสินด้วยนอร์ม L2 ดูที่ !STEP ส่วนค่าขีดจำกัดสำหรับ CHECK／SKIP และการตัดสินด้วยค่าสูงสุด ดูที่ !CONVERG_PARAM และแนวทางในการเลือกใช้ดูที่ การทำซ้ำไม่เชิงเส้นและการอินทิเกรตตามเวลา

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง