การวิเคราะห์โหมด¶

ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะทั่วไป¶

เมื่อวิเคราะห์การสั่นอิสระของตัวกลางต่อเนื่อง จะทำการดิสครีไทซ์เชิงพื้นที่และสร้างแบบจำลองเป็นระบบหลายองศาอิสระที่มีมวลรวมศูนย์ดังแสดงในรูป 2.3.1 สำหรับปัญหาการสั่นอิสระที่ไม่มีการหน่วง สมการกำกับ (สมการการเคลื่อนที่) เป็นดังนี้

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

โดยที่ $u$ คือเวกเตอร์การกระจัดทั่วไป $M$ คือเมทริกซ์มวล และ $K$ คือเมทริกซ์ความแข็ง ให้ $\omega$ เป็นความถี่เชิงมุมธรรมชาติ ให้ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และให้ $x$ เป็นเวกเตอร์ กำหนดฟังก์ชัน

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

ดังกล่าว เมื่อพิจารณาสมการนี้และอนุพันธ์อันดับสองของมัน กล่าวคือ

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

เมื่อนำสมการ $\eqref{eq:2.3.2}$ และสมการ $\eqref{eq:2.3.3}$ ไปแทนในสมการ $\eqref{eq:2.3.1}$ จะได้

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

จึงได้สมการข้างต้น

สำหรับการสั่นที่ไม่เป็นคำตอบเชิงศูนย์ $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ จะไม่เป็นศูนย์โดยเอกลักษณ์

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

ดังนั้นจึงได้ความสัมพันธ์ข้างต้น และเมื่อกำหนด $\lambda=\omega^2$ จะได้

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

จึงได้สมการข้างต้น

สเกลาร์ $\lambda$ เรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะ เวกเตอร์ $x$ เรียกว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ และปัญหาที่แสดงด้วยสมการ $\eqref{eq:2.3.5}$ เรียกว่าปัญหาค่าลักษณะเฉพาะทั่วไป

ความถี่เชิงมุมธรรมชาติ $\omega$ หาได้จากค่าลักษณะเฉพาะ $\lambda=\omega^2$ และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ $x$ ที่สอดคล้องกันแสดงรูปร่างโหมด

ตัวอย่างระบบหลายองศาอิสระของการสั่นอิสระที่ไม่มีการหน่วง

รูป 2.3.1　ตัวอย่างระบบหลายองศาอิสระของการสั่นอิสระที่ไม่มีการหน่วง

คุณสมบัติและสมมติฐานของเมทริกซ์¶

สำหรับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะทั่วไป $Kx=\lambda Mx$ ที่ได้ในหัวข้อก่อน คู่มือนี้สมมติว่าเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์สมมาตร สำหรับเมทริกซ์เชิงซ้อน สมบัตินี้สอดคล้องกับเมทริกซ์เฮอร์มิเทียน ส่วนเมทริกซ์จริงสอดคล้องกับเมทริกซ์สมมาตร

ให้ $k_{ij}$ เป็นสมาชิกตำแหน่ง $ij$ ของเมทริกซ์ $K$ สมบัติเฮอร์มิเทียนเขียนได้เป็น

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

สมการข้างต้น โดย $\bar{k}_{ji}$ คือสังยุคเชิงซ้อนของ $k_{ji}$ สำหรับเมทริกซ์จริง ความสัมพันธ์นี้จะเป็น $k_{ij}=k_{ji}$

เมทริกซ์จริงสมมาตร $H$ เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน หากสำหรับเวกเตอร์ $x$ ที่ไม่เป็นศูนย์ทุกเวกเตอร์

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

อสมการข้างต้นเป็นจริง ในกรณีนี้ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของ $H$ เป็นบวก

ในปัญหาค่าลักษณะเฉพาะเชิงโครงสร้าง โดยทั่วไปถือว่าเมทริกซ์มวล $M$ เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน อย่างไรก็ตาม เมทริกซ์ความแข็ง $K$ อาจเป็นเมทริกซ์กึ่งบวกแน่นอนขึ้นอยู่กับเงื่อนไขบังคับ และอาจมีค่าลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ที่สอดคล้องกับโหมดวัตถุแข็งเกร็ง

วิธีวนซ้ำผกผันแบบมีชิฟต์¶

ในการวิเคราะห์โครงสร้างด้วยวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ ในทางปฏิบัติมักไม่จำเป็นต้องใช้ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมด และค่าลักษณะเฉพาะลำดับต่ำเพียงไม่กี่ค่าก็มักเพียงพอ HEC-MW ถูกออกแบบให้รองรับปัญหาขนาดใหญ่ ดังนั้นเมทริกซ์จึงมีขนาดใหญ่และเบาบางมาก (มีองค์ประกอบศูนย์จำนวนมาก) ดังนั้นจึงสำคัญที่จะต้องหาค่าลักษณะเฉพาะของโหมดลำดับต่ำอย่างมีประสิทธิภาพโดยคำนึงถึงคุณสมบัตินี้

สำหรับชิฟต์ $\sigma$ หาก $-\sigma$ ไม่ใช่ค่าลักษณะเฉพาะ และ $K+\sigma M$ ไม่เป็นเอกฐาน สมการ $\eqref{eq:2.3.5}$ สามารถแปลงได้ดังนี้

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

การแปลงนี้ไม่เปลี่ยนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ $x$ และแมปค่าลักษณะเฉพาะ $\lambda$ ไปเป็น $1/(\lambda+\sigma)$

ดังนั้น ยิ่ง $\lambda$ อยู่ใกล้ $-\sigma$ มากเท่าใด ค่าสัมบูรณ์ของค่าลักษณะเฉพาะหลังการแปลงก็ยิ่งมากขึ้น สำหรับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะเชิงโครงสร้าง $\lambda \geq 0$ และ $\sigma \geq 0$ ดังนั้นค่าลักษณะเฉพาะต่ำสุดจึงถูกแมปไปเป็นค่าลักษณะเฉพาะที่มีค่าสัมบูรณ์มากที่สุด เมื่อใช้สมบัตินี้ โดยนำวิธีวนซ้ำที่มีแนวโน้มลู่เข้าสู่ค่าลักษณะเฉพาะที่มีค่าสัมบูรณ์มากก่อนมาใช้กับสมการ $\eqref{eq:2.3.8}$ จะสามารถหาค่าลักษณะเฉพาะลำดับต่ำได้อย่างมีประสิทธิภาพตามลำดับจากน้อยไปมาก

วิธีนี้เรียกว่าวิธีวนซ้ำผกผันแบบมีชิฟต์

สำหรับการวิเคราะห์ที่มีเงื่อนไขบังคับ FrontISTR กำหนด $\sigma = 0$ และสมการ $\eqref{eq:2.3.8}$ จะเป็น $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$ กล่าวคือ วิธีวนซ้ำผกผันแบบไม่มีชิฟต์ ในการวิเคราะห์อิสระ-อิสระที่ไม่มีเงื่อนไขบังคับ $K$ เป็นเอกฐานเนื่องจากมีค่าลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ที่สอดคล้องกับโหมดวัตถุแข็งเกร็ง การกำหนดค่า $\sigma$ เป็นบวกจะทำให้ $K+\sigma M$ ไม่เป็นเอกฐาน ค่าของ $\sigma$ ระบุด้วย SIGMA ใน !EIGEN

วิธี Lanczos¶

เหตุผลที่เลือกใช้ (เปรียบเทียบกับวิธี Jacobi)¶

ในบรรดาวิธีแบบดั้งเดิม วิธี Jacobi เป็นที่รู้จักกันดี

วิธีนี้มีประสิทธิภาพเมื่อเมทริกซ์มีขนาดเล็กและเป็นเมทริกซ์หนาแน่น อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเมทริกซ์ที่ HEC-MW จัดการมีขนาดใหญ่และเบาบาง จึงไม่ใช้วิธีนี้ แต่ใช้วิธีวนซ้ำ Lanczos

อัลกอริทึมและคุณลักษณะ¶

วิธีนี้เสนอโดย C. Lanczos ในทศวรรษ 1950 เป็นอัลกอริทึมสำหรับทำเมทริกซ์ให้เป็นสามแนวทแยง และมีคุณลักษณะดังต่อไปนี้

เป็นวิธีวนซ้ำและสามารถคำนวณโดยคงเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปเบาบาง
การดำเนินการส่วนใหญ่เป็นการคูณเมทริกซ์กับเวกเตอร์ จึงเหมาะกับการทำงานแบบขนาน
เหมาะกับการแบ่งโดเมนเชิงเรขาคณิตที่สัมพันธ์กับเมชไฟไนต์เอลิเมนต์
สามารถคำนวณอย่างมีประสิทธิภาพโดยจำกัดจำนวนค่าลักษณะเฉพาะหรือช่วงโหมดที่ต้องการหา

วิธี Lanczos เริ่มจากเวกเตอร์เริ่มต้น สร้างเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกันตามลำดับ และได้ฐานของปริภูมิย่อย Krylov

ในการคำนวณเลขคณิตที่มีความแม่นยำจำกัด ความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษอาจทำให้เวกเตอร์สูญเสียความตั้งฉาก เพื่อลดผลกระทบนี้ FrontISTR จะทำให้เวกเตอร์แต่ละตัวตั้งฉากซ้ำกับเวกเตอร์ฐาน Lanczos ที่หาได้ก่อนหน้า

ความหมายเชิงเรขาคณิต (ปริภูมิย่อย Krylov)¶

เมื่อแปลงตัวแปรในสมการ $\eqref{eq:2.3.8}$ ดังต่อไปนี้

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

เมื่อเขียนปัญหาใหม่ จะได้

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

จึงได้สมการข้างต้น

สำหรับเวกเตอร์ $q_0$ ใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

ปริภูมิที่สร้างโดยเวกเตอร์เหล่านี้

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

เรียกว่าปริภูมิย่อย Krylov

วิธี Lanczos สร้างฐานของปริภูมิย่อย Krylov นี้ตามลำดับ

FrontISTR ใช้ผลคูณภายในต่อไปนี้ซึ่งสัมพันธ์กับเมทริกซ์มวล $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

เพื่อทำให้ฐานเป็นออร์โทนอร์มอล ผลคูณภายใน $\langle x,y\rangle$ และนอร์ม $\|x\|$ ที่แสดงในรูปต่อไปนี้ ในการคำนวณของ FrontISTR จะตีความเป็นผลคูณภายในแบบ $M$ นี้และนอร์มแบบ $M$ ที่สอดคล้องกัน

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

ตามลำดับ

ใช้การแปลงเชิงเส้นที่กำหนดด้วยเมทริกซ์ $A$ กับเวกเตอร์ $q_0$ ใด ๆ ดังแสดงในรูป 2.3.2

$การแปลงเชิงเส้นของ $q_0$ ด้วยเมทริกซ์ $A$$

รูป 2.3.2　การแปลงเชิงเส้นของ $q_0$ ด้วยเมทริกซ์ $A$

เวกเตอร์ที่แปลงแล้วจะถูกทำให้ตั้งฉากภายในปริภูมิที่สร้างโดยเวกเตอร์นั้นและเวกเตอร์เดิม กล่าวโดยเฉพาะ จะทำการตั้งฉากแบบ Gram-Schmidt ดังแสดงในรูป 2.3.3 ให้เวกเตอร์ที่ได้เป็น $r_1$ เมื่อนอร์มัลไลซ์จะได้ $q_1$

$เวกเตอร์ $q_1$ ที่ตั้งฉากกับ $q_0$$

รูป 2.3.3　 เวกเตอร์ $q_1$ ที่ตั้งฉากกับ $q_0$

ใช้ขั้นตอนเดียวกันเพื่อหา $q_2$ จาก $q_1$ ในที่นี้ $q_2$ ตั้งฉากกับทั้ง $q_1$ และ $q_0$ ดังแสดงในรูป 2.3.4

$เวกเตอร์ $q_2$ ที่ตั้งฉากกับ $q_1$ และ $q_0$$

รูป 2.3.4　 เวกเตอร์ $q_2$ ที่ตั้งฉากกับ $q_1$ และ $q_0$

ด้วยวิธีนี้ วิธี Lanczos จะสร้างฐานออร์โทนอร์มอลของปริภูมิย่อย Krylov ตามลำดับ ในทางทฤษฎี ความสมมาตรของปัญหาค่าลักษณะเฉพาะทำให้สามารถเขียนการวนซ้ำนี้เป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดสามพจน์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ฐานล่าสุดได้

อย่างไรก็ตาม FrontISTR จะทำให้เวกเตอร์แต่ละตัวตั้งฉากซ้ำกับเวกเตอร์ฐาน Lanczos ที่หาได้ก่อนหน้าโดยใช้ผลคูณภายในแบบ $M$ เพื่อลดการสูญเสียความตั้งฉากที่เกิดจากเลขคณิตความแม่นยำจำกัด

การทำให้เป็นสามแนวทแยง¶

ในการวนซ้ำ Lanczos ของ FrontISTR เวกเตอร์ฐานจะถูกทำให้เป็นออร์โทนอร์มอลเมื่อเทียบกับผลคูณภายในแบบ $M$ ที่อธิบายในหัวข้อก่อน ดังนั้น

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

ความสัมพันธ์ข้างต้นจึงเป็นจริง

เมื่อใช้เมทริกซ์ $A$ จากสมการ $\eqref{eq:2.3.10}$ การวนซ้ำ Lanczos ในทางทฤษฎีเขียนได้เป็น

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

ความสัมพันธ์เวียนเกิดสามพจน์ข้างต้น

ก่อนอื่น กำหนด $\alpha_i$ ดังนี้

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

จากนั้นกำหนดเศษเหลือชั่วคราวเป็น

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

ดังแสดงข้างต้น

เพื่อลดการสูญเสียความตั้งฉากที่เกิดจากเลขคณิตความแม่นยำจำกัด FrontISTR จะทำให้ $\tilde{r}_{i+1}$ ตั้งฉากซ้ำกับเวกเตอร์ฐาน Lanczos ที่หาได้ก่อนหน้าโดยใช้ผลคูณภายในแบบ $M$ หาก $r_{i+1}$ คือเศษเหลือหลังการทำให้ตั้งฉากซ้ำ จะได้

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

ความสัมพันธ์ข้างต้นจึงเป็นจริง

รวบรวมเวกเตอร์ฐาน $m$ ตัวที่ได้จากการวนซ้ำ Lanczos เป็น

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

จากนั้น หลังจากวนซ้ำ Lanczos จำนวนจำกัดครั้ง

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

ความสัมพันธ์ข้างต้นจึงเป็นจริง

โดย $e_m$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย $m$ มิติ ซึ่งองค์ประกอบที่ $m$ มีค่าเป็น 1 และองค์ประกอบอื่นเป็นศูนย์ และ

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

เป็นเมทริกซ์สมมาตรสามแนวทแยง

ดังนั้นจึงประมาณค่าลักษณะเฉพาะของปัญหาค่าลักษณะเฉพาะขนาดใหญ่เดิมได้โดยคำนวณค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สามแนวทแยง $T_m$

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง¶

การวิเคราะห์การตอบสนองความถี่ — การตอบสนองความถี่โดยใช้ผลการวิเคราะห์โหมด
ชนิดการวิเคราะห์ — ภาพรวมฟังก์ชันการวิเคราะห์โหมด