Ana içeriğe geç

Yakınsama Ölçütleri

Newton-Raphson yinelemesini (Newton-Raphson Yöntemi) sonlandırmak için FrontISTR, artık normu ölçütü ve düzeltme miktarı normu ölçütü olmak üzere iki boyutsuz nicelik kullanır. Her ikisinin tanımı da analiz türünden (statik analiz, örtük dinamik analiz) ve temasın varlığından bağımsız olarak ortaktır.

Ölçüt Büyüklüklerinin Bölünmesi

Düğüm serbestlik dereceleri, fiziksel boyutları farklı bileşenlerin bir arada bulunmasını içerir. 6 serbestlik dereceli elemanlarda, öteleme serbestlik dereceleri için artık kuvvet boyutuna sahipken, dönme serbestlik dereceleri için artık moment boyutuna sahiptir. Ayrıca Lagrange çarpanı yöntemiyle yapılan temas analizinde (Temas Analizi), artık vektörüne temas boşluğuna (uzunluk boyutu) karşılık gelen satırlar eklenir.

Bunlar tek bir kareler toplamında birleştirilirse, norm değeri birim sistemin seçimine bağlı olarak keyfi biçimde değişir ve eşik değerinin anlamı belirlenemez. Bu nedenle FrontISTR, ölçüt büyüklüğünü boyut bazında böler ve her birini ilgili referans büyüklükle boyutsuzlaştırarak karar verir.

Sembol Bileşen Boyut
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) Öteleme serbestlik derecelerinin (düğüm serbestlik dereceleri 1–3) artıkı Kuvvet
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) Dönme serbestlik derecelerinin (düğüm serbestlik dereceleri 4–6, yalnız 6 serbestlik dereceli elemanlarda) artıkı Moment
\(d\boldsymbol{\lambda}\) Lagrange çarpanının düzeltme miktarı Kuvvet

Akışkan eşlenimli elemanların (4 düğüm serbestlik derecesi, \(u,v,w,p\)) basınç serbestlik derecesi karara dahil edilmez.

Düğüm başına 3 serbestlik dereceli kiriş ve kabuk elemanlarında (641/761/781), dönüş, öteleme düğümüyle eşleşen sahte düğümün 1–3 serbestlik dereceleriyle temsil edilir. Karar, sahte düğümü ayırt etmediğinden, sahte düğümün artıkı (moment) da öteleme bileşeni \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) içinde yer alır. Düzeltme miktarı normu ölçütü ve maksimum değer kararı için de durum aynıdır.

Artık \(\tilde{\boldsymbol{R}}\), yer değiştirme kısıtlaması konulmuş serbestlik derecelerine ait bileşenleri hariç tutar. Bu serbestlik derecelerinde görülen artık, kısıt tepki kuvvetine karşılık gelir ve denge hatası olmadığından böyledir (Newton-Raphson Yöntemi).

Artık Normu Ölçütü

\(i\). yinelemedeki artık \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\), o anda sistemde oluşan kuvvetin büyüklüğüyle boyutsuzlaştırılır. Öteleme bileşeni için referans kuvvet \(F_\mathrm{ref}\) ve dönme bileşeni için referans moment \(M_\mathrm{ref}\) şu şekilde tanımlanır:

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

Burada \(\boldsymbol{Q}\) iç kuvvet vektörü, \(\boldsymbol{D}\) ise atalet kuvveti ile sönüm kuvvetinin toplamıdır:

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

(Dinamik Analiz); statik analizde \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\)'dır. \(t, r\) alt yazıları önceki bölümdeki öteleme ve dönme bileşenlerini belirtir. Ölçüt büyüklüğü

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

şeklindedir.

Referans kuvvetin, iç kuvvet ile atalet ve sönüm kuvvetlerinin normlarının en büyük değeri olarak alınmasının ve bu kuvvetlerin vektörel toplamı \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\) olarak alınmamasının nedeni şudur: dış kuvvetin etkisi olmayan serbest titreşimde denge durumunda \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\) olur ve vektörel toplam referans büyüklüğü \(0\)'a düşer. Normların en büyük değeri alındığında bu karşılıklı sıfırlanma gerçekleşmez.

Referans büyüklüğün, önceden belirlenmiş alt sınır değerinin (\(10^{-8}\)) altına düştüğü durumlarda (örneğin yüksüz durumdan başlatılan ilk yineleme), referans büyüklükle bölme yapılmaz ve artık normunun kendisi ölçüt büyüklüğü olarak kullanılır. Bu durumda karar, artıkın mutlak değerine dayalı bir karar olur.

Düzeltme Miktarı Normu Ölçütü

\(i\). yinelemede elde edilen düzeltme miktarı \(d\boldsymbol{u}_i\), o alt adımda o ana kadar birikmiş yer değiştirme artışı \(\Delta\boldsymbol{u}\) ile boyutsuzlaştırılır.

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

Düzeltme miktarının birikmiş artışa göre yeterince küçük olması, yinelemenin sabitlenip yerleştiğini gösterir. Artıkın yalnızca yavaşça azaldığı problemler için yardımcı bir karar olarak kullanılır. Payda \(0\) olduğunda ölçüt sağlanmamış sayılır.

Lagrange Çarpanı Ölçütü

Lagrange çarpanı yöntemiyle yapılan temas analizinde, çarpanın düzeltme miktarını çarpanın kendi büyüklüğüyle boyutsuzlaştıran

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

ifadesi karara eklenir. Temas boşluğu kısıtlamaları, Lagrange çarpanlarına ilişkin denklemler olarak eşzamanlı denklem sistemine dahil edildiğinden, çarpanların yakınsamış olması kısıtlamanın sağlandığı sayılır. Uzunluk boyutuna sahip boşluk artıkının kendisi, kuvvet artıkılarıyla toplanamadığından artık normu ölçütüne dahil edilmez.

Lagrange çarpanı bir temas kuvveti olduğundan ve referans kuvvet \(F_\mathrm{ref}\) ile aynı boyuta sahip olduğundan, payda \(F_\mathrm{ref}\) ile aşağıdan sınırlanır. Yalnız \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\) ile boyutsuzlaştırılırsa, temasın yükü neredeyse taşımadığı durumda karar ölçütü sınırsız biçimde sıkılaşır; ayrıca temasa girdiği anda \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) iken \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\) olan düğümlerde karar ölçütü sağlanamaz. Paydanın alt sınır değerinin altına düştüğü durumların işlenmesi, artık normu ölçütüyle aynıdır.

Maksimum Değer Kararı

L2 normu tüm serbestlik derecelerinin kareler toplamı olduğundan, yalnızca bazı düğümlerde kalan artık, düğüm sayısı arttıkça bütün içinde dağılarak daha küçük değerlendirilir. Temas düğümü gibi yerel düzeyde denge sağlanmamış durumları yakalayabilmek için, önceki bölümlerdeki her ölçütte L2 normu, serbestlik derecesi bileşenlerinin mutlak değerlerinin en büyüğüyle değiştirilmiş karar ölçütü de birlikte kullanılabilir.

Bir \(\boldsymbol{v}\) vektörünün öteleme bileşeninin en büyük değeri, \(I\) düğümü ve \(k\) düğüm serbestlik derecesi için

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

şeklinde tanımlanır. Dönme bileşeni \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\), \(k = 4,5,6\) için benzer biçimde tanımlanır; Lagrange çarpanları için tüm bileşenlerin mutlak değerlerinin en büyüğü alınır. Ölçüt büyüklüğü, her ölçütteki L2 normunun hem payında hem paydasında bu en büyük değerle değiştirilmiş halidir.

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

Dönme bileşeni için de durum aynıdır. Referans büyüklüğün alt sınır değerinin altına düştüğü ve paydanın \(0\) olduğu durumların işlenmesi, L2 normu ölçütleriyle aynıdır.

Referans büyüklüklerin de aynı biçimde en büyük değerler olarak alınmasının nedeni, ölçüt büyüklüğünün büyüklüğünü L2 normu ölçütleriyle aynı düzeye yakın tutarak benzer eşik değerleriyle kullanılabilir kılmaktır. Serbestlik derecesi bileşeni başına ayrı referans büyüklüklerle bölme yapılmaz. Yük uygulanmamış yönlerde referans büyüklük \(0\)'a yaklaşır ve ölçüt büyüklüğü anlamını yitirir.

Maksimum değer kararında, en büyük değeri veren düğüm ve serbestlik derecesi belirlenir. FrontISTR, artık ve düzeltme miktarı için bu bilgiyi her yineleme için günlük çıktısına yazar.

Ölçütlerin Bileşimi

Önceki bölümlerdeki her ölçüt büyüklüğü (artık, düzeltme miktarı ve Lagrange çarpanları için; öteleme bileşeni ve dönme bileşeni, L2 normu ve maksimum değer ayrımına göre), karar için kullanılıp (CHECK) kullanılmayacağına (SKIP) ayrı ayrı karar verilebilir. Varsayılan olarak L2 normuna dayalı tüm kararlar CHECK, maksimum değere dayalı tüm kararlar SKIP'tır.

Artık normu ölçütü ile düzeltme miktarı normu ölçütü, bunlardan yalnız biri sağlandığında yakınsama olarak kabul edilir. Lagrange çarpanı ölçütü ise temas kısıtlamalarının sağlandığının doğrulanması olduğundan, Lagrange çarpanı bulunan analizlerde her zaman aranır. Tek bir ölçüt içinde, öteleme ve dönme bileşenleri ile L2 normu ve maksimum değer arasındaki CHECK işaretli olanların tümünün sağlanması gerekir.

Bunu denklemle ifade etmek için, \(G\) ölçüt büyüklüğü kümesi için aşağıdaki iki tanım verilir:

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ sağlanmış} \ \vee\ m \text{ SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\), \(G\) içinde hiçbir CHECK işaretli ölçüt büyüklüğü yoksa doğrudur. Yakınsama koşulu

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{Lagrange çarpanı ölçütü}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{düzeltme miktarı normu ölçütü}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{düzeltme miktarı normu ölçütü}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{artık normu ölçütü}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{artık normu ölçütü}) \right) \right\} \]

şeklindedir. "Veya" ile bağlanan iki kümeye \(\mathrm{any\_check}\) eklenmesinin nedeni, hiçbir CHECK işaretli ölçüt içermeyen bir kümenin kararı doğrudan geçirmesini önlemektir. Dönme serbestlik derecesi içermeyen analizlerdeki dönme bileşeni ve Lagrange çarpanı içermeyen analizlerdeki Lagrange çarpanı ölçütü, CHECK belirtilse bile kararda kullanılmaz. Varsayılan ayarlarda yakınsama koşulu

\[ \left( \text{Lagrange çarpanı ölçütü} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{düzeltme miktarı normu ölçütü} \right) \ \vee\ \left( \text{artık normu ölçütü} \right) \right\} \]

biçimini alır; dönme serbestlik derecesi içeren analizlerde hem öteleme hem dönme bileşenleri, Lagrange çarpanı içermeyen analizlerde ise Lagrange çarpanı ölçütü hariç koşul değerlendirilir.

L2 normuna dayalı kararlar için eşik değerleri \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\)'nin belirtme yöntemi ve varsayılan değerleri için !STEP, CHECK/SKIP ve maksimum değere dayalı kararların eşik değerleri için !CONVERG_PARAM, ölçütlerin seçimiyle ilgili ilkeler için Doğrusal Olmayan Yineleme ve Zaman İntegrasyonu (İşlev) başlığına bakınız.

İlgili Konular