Ana içeriğe geç

Dinamik Analiz Yöntemleri

Bu bölümde, doğrudan zaman integrasyonu yöntemi uygulanan dinamik problemlerin çözüm yöntemleri gösterilmektedir. Örtük ve açık yöntemlerin formülasyonları aşağıda verilmiştir.

Hareket Denkleminin Ayrıklaştırılması (Ortak Çerçeve)

TBD (bir sonraki aşamada tamamlanacaktır).

Örtük Yöntem (Newmark-β Yöntemi)

Dinamik problemler için, aşağıda verilen hareket denkleminin çözümüne doğrudan zaman integrasyonu yöntemi uygulanmıştır.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Burada \(M\) kütle matrisi, \(C\) sönüm matrisi, \(Q\) iç kuvvet vektörü ve \(F\) dış kuvvet vektörüdür. Kütle matrisi, doğrusal olmayan analizlerde de deformasyondan bağımsız olarak sabit kabul edilir.

Zaman artımı \(\Delta t\) içindeki yer değiştirme, hız ve ivmedeki değişimler, Newmark-\(\beta\) yöntemi kullanılarak Denklem \(\eqref{eq:2.5.2}\) ve Denklem \(\eqref{eq:2.5.3}\) içinde gösterildiği gibi yaklaşık olarak ifade edilir.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Burada \(\gamma\) ve \(\beta\), Newmark-\(\beta\) yönteminin parametreleridir.

Bilindiği gibi, \(\gamma\) ve \(\beta\) aşağıdaki değerler alındığında yöntem, doğrusal ivme yöntemiyle ya da trapez kuralıyla örtüşür.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (doğrusal ivme yöntemi)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapez kuralı)

Denklem \(\eqref{eq:2.5.2}\) ve Denklem \(\eqref{eq:2.5.3}\), Denklem \(\eqref{eq:2.5.1}\) içinde yerine konduğunda aşağıdaki denklem elde edilir.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Özellikle doğrusal problemler için \(K_L\), doğrusal rijitlik matrisi olarak alınır ve \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) olur. Bu bağıntı yukarıdaki denklemde yerine konduğunda aşağıdaki denklem elde edilir.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Geometrik sınır koşulu olarak ivmenin verildiği konumlarda, Denklem \(\eqref{eq:2.5.2}\) kullanılarak aşağıdaki yer değiştirme elde edilir.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Benzer şekilde, hızın verildiği konumlarda Denklem \(\eqref{eq:2.5.6}\) kullanılarak aşağıdaki yer değiştirme elde edilir.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Burada \(u_{is}(t+\Delta{t})\), \(t+\Delta{t}\) anındaki düğüm yer değiştirmesi, \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\), \(t+\Delta{t}\) anındaki düğüm hızı, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\), \(t+\Delta{t}\) anındaki düğüm ivmesi, \(i\), düğüm serbestlik derecesi numarası, \(s\), düğüm numarasıdır. Ayrıca, kütle ve sönüm terimlerinin ele alınışı aşağıdaki gibidir.

Kütle Teriminin Ele Alınması

Kütle matrisi, varsayılan olarak yığılmış kütle matrisi olarak ele alınır. Örtük yöntemde !DYNAMIC kartındaki idx_mas ile tutarlı kütle matrisi seçilebilir. Açık yöntem, yığılmış kütle matrisini öngörür.

Sönüm Teriminin Ele Alınması

Sönüm terimi, Denklem \(\eqref{eq:2.5.8}\) ile ifade edilen Rayleigh sönümü olarak ele alınır.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Burada \(R_m\) ve \(R_k\), Rayleigh sönüm parametreleridir.

!DYNAMIC kartında belirtilen \(R_m\) ve \(R_k\), modelin tamamına aynı biçimde uygulanır. Malzemeye göre farklı \(R_m\) ve \(R_k\) değerleri vermek isteniyorsa, ilgili malzemenin !MATERIAL bloğu içinde !DAMPING kartı belirtilmelidir. !DAMPING kartı belirtilmiş bir malzemeye ait elemanlarda, eleman kütle matrisi \(M_i\) ve teğet rijitlik matrisi \(K_i\) kullanılarak \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) biçiminde eleman sönüm matrisi hesaplanır ve global sönüm matrisine dahil edilir. Bu özellik yalnızca örtük yöntemde geçerlidir.

Açık Yöntem (Merkezi Fark Yöntemi)

Açık yöntem, aşağıda verilen t anındaki hareket denklemine dayanır.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Burada, \(t + \Delta t\) ve \(t - \Delta t\) anlarındaki yer değiştirmeler, \(t\) anındaki Taylor açılımıyla ifade edilip \(\Delta t\) bakımından ikinci mertebe terimlere kadar alınırsa, aşağıdaki denklemler elde edilir.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Denklem \(\eqref{eq:2.5.3}\) ile Denklem \(\eqref{eq:2.5.4}\) arasındaki fark ve toplamından aşağıdaki denklemler elde edilir.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Denklem \(\eqref{eq:2.5.12}\) ve Denklem \(\eqref{eq:2.5.13}\), Denklem \(\eqref{eq:2.5.9}\) içinde yerine konduğunda aşağıdaki denklem elde edilir.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Özellikle doğrusal problemler için \(Q(t) = K_L U(t)\) olur ve yukarıdaki denklem şu hale gelir

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Kütle matrisi \(M\) yığılmış kütle matrisi ve sönüm matrisi oransal sönüm matrisi \(C = R_m M\) biçiminde alınırsa, Denklem \(\eqref{eq:2.5.15}\) için eşzamanlı denklemlerin çözümü gerekmez.

Buna göre, Denklem \(\eqref{eq:2.5.15}\) kullanılarak \(U(t+\Delta t)\) aşağıdaki denklemle bulunabilir.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

İlgili Konular