Modal Analiz¶

Genelleştirilmiş Özdeğer Problemi¶

Bir sürekli ortamın serbest titreşim analizi için yapı uzamsal olarak ayrıklaştırılır ve Şekil 2.3.1'de gösterildiği gibi toplu kütleli çok serbestlik dereceli bir sistem olarak modellenir. Sönümsüz serbest titreşim probleminde yönetici denklem (hareket denklemi) aşağıdaki gibidir.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Burada $u$ genelleştirilmiş yer değiştirme vektörü, $M$ kütle matrisi ve $K$ rijitlik matrisidir. $\omega$ doğal açısal frekans, $a$ ve $b$ aynı anda sıfır olmayan keyfî sabitler ve $x$ bir vektör olsun. Şu fonksiyonu tanımlayalım:

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Bunun ikinci türevi

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Denklem $\eqref{eq:2.3.2}$ ve Denklem $\eqref{eq:2.3.3}$, Denklem $\eqref{eq:2.3.1}$'de yerine konulduğunda

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

yukarıdaki denklem elde edilir.

Sıfırdan farklı bir titreşim için $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ özdeş olarak sıfır değildir.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Dolayısıyla yukarıdaki bağıntı elde edilir. $\lambda=\omega^2$ alınırsa

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

yukarıdaki denklem elde edilir.

$\lambda$ skalerine özdeğer, $x$ vektörüne özvektör denir; Denklem $\eqref{eq:2.3.5}$ ile ifade edilen probleme ise genelleştirilmiş özdeğer problemi denir.

Doğal açısal frekans $\omega$, $\lambda=\omega^2$ özdeğerinden elde edilir ve karşılık gelen $x$ özvektörü bir mod şeklini temsil eder.

Sönümsüz serbest titreşim için çok serbestlik dereceli sistem örneği

Şekil 2.3.1 Sönümsüz Serbest Titreşim için Çok Serbestlik Dereceli Sistem Örneği

Matris Özellikleri ve Varsayımlar¶

Önceki bölümde elde edilen $Kx=\lambda Mx$ genelleştirilmiş özdeğer problemi için bu kılavuz matrislerin simetrik olduğunu varsayar. Karmaşık matrislerde bu, Hermit matrislere; gerçek matrislerde ise simetrik matrislere karşılık gelir.

$k_{ij}$, $K$ matrisinin $ij$ elemanı olsun. Hermitlik özelliği

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

yukarıdaki denklemle ifade edilir; burada $\bar{k}_{ji}$, $k_{ji}$'nin karmaşık eşleniğidir. Gerçek matrisler için bu bağıntı $k_{ij}=k_{ji}$ olur.

Gerçek simetrik bir $H$ matrisi, sıfırdan farklı her $x$ vektörü için

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

yukarıdaki eşitsizlik sağlanıyorsa pozitif tanımlıdır. Bu durumda $H$'nin tüm özdeğerleri pozitiftir.

Yapısal bir özdeğer probleminde kütle matrisi $M$ genellikle pozitif tanımlı kabul edilir. Buna karşılık rijitlik matrisi $K$, kısıt koşullarına bağlı olarak pozitif yarı tanımlı olabilir ve rijit cisim modlarına karşılık gelen sıfır özdeğerlere sahip olabilir.

Kaydırmalı Ters İterasyon¶

Uygulamalı sonlu eleman yapısal analizinde genellikle tüm özdeğerlere gerek yoktur; çoğu kez en fazla birkaç düşük mertebeli özdeğer yeterlidir. HEC-MW, matrislerin büyük ve çok seyrek, yani çok sayıda sıfır eleman içeren, büyük ölçekli problemler için tasarlanmıştır. Bu özellikler göz önünde bulundurularak düşük mertebeli modların özdeğerlerinin verimli biçimde hesaplanması önemlidir.

$\sigma$ kaydırması için $-\sigma$ bir özdeğer değilse ve $K+\sigma M$ tekil değilse, Denklem $\eqref{eq:2.3.5}$ aşağıdaki biçime dönüştürülebilir.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Bu dönüşüm $x$ özvektörünü değiştirmez ve $\lambda$ özdeğerini $1/(\lambda+\sigma)$'ya dönüştürür.

Buna göre $\lambda$, $-\sigma$'ya ne kadar yakınsa dönüştürülmüş özdeğerin mutlak değeri o kadar büyük olur. Yapısal özdeğer probleminde $\lambda \geq 0$ ve $\sigma \geq 0$ olduğundan, en düşük özdeğer mutlak değeri en büyük özdeğere dönüştürülür. Bu özellik kullanılarak, mutlak değeri büyük özdeğerlere önce yakınsama eğilimindeki yinelemeli bir yöntemin Denklem $\eqref{eq:2.3.8}$'e uygulanmasıyla düşük mertebeli özdeğerler artan sırada verimli biçimde elde edilebilir.

Bu yönteme kaydırmalı ters iterasyon denir.

Kısıtlı analizlerde FrontISTR $\sigma = 0$ alır ve Denklem $\eqref{eq:2.3.8}$, $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$ olur; yani kaydırmasız ters iterasyona dönüşür. Kısıtsız serbest-serbest analizde $K$, rijit cisim modlarına karşılık gelen sıfır özdeğerlere sahip olduğu için tekildir; $\sigma$'ya pozitif bir değer verilmesi $K+\sigma M$'yi düzenlileştirir. $\sigma$ değeri !EIGEN içindeki SIGMA ile belirtilir.

Lanczos Yöntemi¶

Kullanım Gerekçesi (Jacobi Yöntemiyle Karşılaştırma)¶

Jacobi yöntemi iyi bilinen klasik bir yöntemdir.

Matris küçük ve yoğun olduğunda etkilidir. Ancak HEC-MW'nin işlediği matrisler büyük ve seyrek olduğundan Jacobi yöntemi kullanılmaz; bunun yerine yinelemeli Lanczos yöntemi kullanılır.

Algoritma ve Özellikler¶

C. Lanczos tarafından 1950'lerde önerilen bu yöntem, bir matrisi üç köşegenli hâle getiren bir algoritmadır ve aşağıdaki özelliklere sahiptir.

Yinelemeli bir yöntemdir ve matrisi seyrek tutarak hesaplamayı sürdürebilir.
İşlemlerinin temelini matris-vektör çarpımları oluşturur; bu nedenle paralelleştirmeye uygundur.
Sonlu eleman ağlarıyla ilişkili geometrik alan ayrıştırmasına uygundur.
Elde edilecek özdeğer sayısı veya mod aralığı sınırlandırılarak verimli hesaplama yapılabilir.

Lanczos yöntemi bir başlangıç vektöründen başlar, ardışık olarak ortogonal vektörler oluşturur ve bir Krylov alt uzayının tabanını elde eder.

Sonlu duyarlıklı aritmetikte yuvarlama hataları vektörlerin ortogonalliğini kaybetmesine neden olabilir. Bu etkiyi azaltmak için FrontISTR uygulaması her vektörü daha önce elde edilmiş Lanczos taban vektörlerine göre yeniden ortogonalleştirir.

Geometrik Yorum (Krylov Alt Uzayı)¶

Denklem $\eqref{eq:2.3.8}$'e aşağıdaki değişken dönüşümleri uygulanırsa

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

problem şu biçimde yeniden yazılabilir:

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Yukarıdaki denklem elde edilir.

Sıfırdan farklı keyfî bir $q_0$ vektörü için

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

bu vektörlerin gerdiği uzaya

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

Krylov alt uzayı denir.

Lanczos yöntemi bu Krylov alt uzayının tabanını ardışık olarak oluşturur.

FrontISTR, kütle matrisi $M$ ile ilişkili aşağıdaki iç çarpımı

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

tabanı ortonormalleştirmek için kullanır. Aşağıdaki şekillerde gösterilen $\langle x,y\rangle$ iç çarpımı ve $\|x\|$ normu, FrontISTR hesaplarında sırasıyla bu $M$-iç çarpımı ve buna karşılık gelen $M$-normu olarak

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

yorumlanır.

Şekil 2.3.2'de gösterildiği gibi, $A$ matrisiyle tanımlanan doğrusal dönüşümü keyfî bir $q_0$ vektörüne uygulayın.

$$A$ matrisiyle $q_0$'ın doğrusal dönüşümü$

Şekil 2.3.2 $A$ Matrisiyle $q_0$'ın Doğrusal Dönüşümü

Dönüştürülmüş vektör, kendisiyle özgün vektörün gerdiği uzay içinde ortogonalleştirilir. Özellikle, Şekil 2.3.3'te gösterildiği gibi Gram-Schmidt ortogonalleştirmesi uygulanır. Elde edilen vektör $r_1$ olsun; normalleştirilmesiyle $q_1$ elde edilir.

$$q_0$'a ortogonal $q_1$ vektörü$

Şekil 2.3.3 $q_0$'a Ortogonal $q_1$ Vektörü

Aynı işlemle $q_1$'den $q_2$ elde edilir. Burada $q_2$, Şekil 2.3.4'te gösterildiği gibi hem $q_1$'e hem de $q_0$'a ortogonaldir.

$$q_1$ ve $q_0$'a ortogonal $q_2$ vektörü$

Şekil 2.3.4 $q_1$ ve $q_0$'a Ortogonal $q_2$ Vektörü

Bu şekilde Lanczos yöntemi Krylov alt uzayı için ortonormal bir tabanı ardışık olarak oluşturur. Kuramsal olarak özdeğer probleminin simetrisi, bu iterasyonun en yeni taban vektörlerini kullanan üç terimli bir yineleme bağıntısı olarak ifade edilmesini sağlar.

Bununla birlikte FrontISTR uygulaması, sonlu duyarlıklı aritmetiğin yol açtığı ortogonallik kaybını azaltmak için her vektörü $M$-iç çarpımını kullanarak daha önce elde edilmiş Lanczos taban vektörlerine göre yeniden ortogonalleştirir.

Üç Köşegenleştirme¶

FrontISTR'nin Lanczos iterasyonunda taban vektörleri önceki bölümde açıklanan $M$-iç çarpımına göre ortonormalleştirildiğinden

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

yukarıdaki bağıntı sağlanır.

Denklem $\eqref{eq:2.3.10}$'daki $A$ matrisi kullanıldığında kuramsal Lanczos iterasyonu

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

yukarıdaki üç terimli yineleme bağıntısıyla ifade edilir.

Önce $\alpha_i$ aşağıdaki gibi tanımlanır.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Ardından geçici artık aşağıdaki gibi tanımlanır.

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

Yukarıdaki ifade elde edilir.

Sonlu duyarlıklı aritmetiğin yol açtığı ortogonallik kaybını azaltmak için FrontISTR uygulaması $\tilde{r}_{i+1}$'i $M$-iç çarpımını kullanarak daha önce elde edilmiş Lanczos taban vektörlerine göre yeniden ortogonalleştirir. Yeniden ortogonalleştirme sonrasındaki artık $r_{i+1}$ ise

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

yukarıdaki bağıntılar sağlanır.

Lanczos iterasyonuyla elde edilen $m$ taban vektörünü şu matriste toplayalım:

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Böylece sonlu sayıda Lanczos iterasyonundan sonra

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

yukarıdaki bağıntı sağlanır.

Burada $e_m$, yalnızca $m$'inci bileşeni 1, diğer bileşenleri sıfır olan $m$ boyutlu birim vektördür ve

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

simetrik üç köşegenli bir matristir.

Böylece özgün büyük ölçekli özdeğer probleminin özdeğerleri, üç köşegenli $T_m$ matrisinin özdeğerleri hesaplanarak yaklaştırılabilir.

İlgili Konular¶

Frekans Cevabı Analizi — Modal analiz sonuçlarını kullanan frekans cevabı
Analiz Türleri — Modal analize işlevsel genel bakış