Ana içeriğe geç

Basit Şekilli Model ile Doğrulama

Elastik statik analiz

Bu doğrulamada, Şekil 9.1.1'de gösterildiği gibi ağ oluşturulmuş bir ankastre kiriş kullanılır. exA'dan exG'ye kadar yedi durum için, Şekil 9.1.2'de gösterildiği üzere yükleme koşulları değiştirilerek analizler gerçekleştirilmiştir. exG durumu, exA ile aynı yükleme koşullarına sahiptir ancak doğrudan bir çözücü kullanır.

Her bir durumun doğrulama sonuçları Tablo 9.1.1–9.1.7'de gösterilmiştir.

Ankastre kiriş ağ örneği (altı yüzlü elemanlar) Şekil 9.1.1 Ankastre kiriş ağ örneği (altı yüzlü elemanlar)
(a) exA, G: Tekil yük
(b) exD: Yerçekimi
(c) exB: Yüzeye dağıtılmış yük
(d) exE: Merkezkaç kuvveti
(e) exC: Hacim yükü
(f) exF : Isıl yük
Öğe Değer
Young modülü \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Uzunluk \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Poisson oranı \(\nu = 0.3\)
Kesit alanı \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Kütle yoğunluğu \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Alanın ikinci momenti \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Yerçekimi ivmesi \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Doğrusal ısıl genleşme katsayısı \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Şekil 9.1.2 Ankastre kiriş modeli için doğrulama koşulları

Tablo 9.1.1 : exA: Tekil yük probleminin doğrulama sonuçları

Durum adı Eleman sayısı Öngörülen Değer : \(\delta_{max}= -1.000\) Açıklamalar
NASTRAN Ticari yazılım FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 düğüm
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 düğüm
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 düğüm
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 düğüm
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 düğüm
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 düğüm
A731 40 - - -0.991 33 düğüm / doğrudan yöntem
A741 20 - - -0.996 33 düğüm / doğrudan yöntem

Tablo 9.1.2 : exB: Yüzeye dağıtılmış yük probleminin doğrulama sonuçları

Durum adı Eleman sayısı Öngörülen değer : \(\delta_{max}= -3.750\) Açıklamalar
NASTRAN Ticari yazılım FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 düğüm
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 düğüm
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 düğüm
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 düğüm
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 düğüm
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 düğüm
B731 40 - - -3.722 33 düğüm / doğrudan yöntem
B741 20 - - -3.743 33 düğüm / doğrudan yöntem

Tablo 9.1.3 : exC: Hacim yükü probleminin doğrulama sonuçları

Durum adı Eleman sayısı Öngörülen Değer : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Açıklamalar
NASTRAN Ticari yazılım FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 düğüm / düzlem gerilme problemi
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 düğüm / düzlem gerilme problemi
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 düğüm / düzlem gerilme problemi
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 düğüm / düzlem gerilme problemi
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 düğüm
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 düğüm
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 düğüm
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 düğüm
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 düğüm
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 düğüm
C731 40 - - -2.922e-5 33 düğüm / doğrudan yöntem
C741 20 - - -2.938e-5 33 düğüm / doğrudan yöntem

Tablo 9.1.4 : exD: Yerçekimi probleminin doğrulama sonuçları

Durum adı Eleman sayısı Öngörülen Değer : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Açıklamalar
NASTRAN Ticari yazılım FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 düğüm
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 düğüm
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 düğüm
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 düğüm
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 düğüm
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 düğüm
D731 40 - - -2.922e-5 33 düğüm / doğrudan yöntem
D741 20 - - -2.938e-5 33 düğüm / doğrudan yöntem

Tablo 9.1.5 : exE: Merkezkaç kuvveti probleminin doğrulama sonuçları

Durum adı Eleman sayısı Öngörülen değer : \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) Açıklamalar
NASTRAN Ticari yazılım FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 düğüm
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 düğüm
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 düğüm
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 düğüm
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 düğüm
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 düğüm
E731 40 - - 2.619e-3 33 düğüm / doğrudan yöntem
E741 20 - - 2.622e-3 33 düğüm / doğrudan yöntem

Tablo 9.1.6 : exF: Isıl gerilme yükü probleminin doğrulama sonuçları

Durum adı Eleman sayısı Öngörülen Değer : \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) Açıklamalar
NASTRAN Ticari yazılım FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 düğüm
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 düğüm
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 düğüm
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 düğüm
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 düğüm
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 düğüm

Tablo 9.1.7 : exG: Doğrudan yöntem doğrulama sonuçları (tekil yük problemi)

Durum adı Eleman sayısı Öngörülen değer: δmax= -1.000 Açıklamalar
NASTRAN Ticari yazılım FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 düğüm
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 düğüm
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 düğüm
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 düğüm
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 düğüm
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 düğüm
G731 40 - - -0.991 33 düğüm / doğrudan yöntem
G741 20 - - -0.996 33 düğüm / doğrudan yöntem

Doğrusal olmayan statik analiz

(2-1) exnl1: Geometrik doğrusal olmayan analiz

exI durumu için doğrulama modeli, exA'dan exG'ye kadar olan durumların modelleriyle aynıdır. Şekil 9.1.3 doğrulama modelinin şematik gösterimini verir. Bu model üzerinde geometrik doğrusal olmayan analiz gerçekleştirilir. Doğrulama sonuçları Tablo 9.1.8’de gösterilmiştir.

Doğrusal olmayan hesapta \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\) referans yükü kullanılır, ve \(0.1P\) yük artımıyla 10 yük adımında hesaplama yapılır.

Doğrulama modeli Şekil 9.1.3 Doğrulama modeli

Tablo 9.1.8 exI: Doğrulama sonuçları (maksimum sehim geçmişi)

Durum adı 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Doğrusal çözüm
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: Elastoplastik deformasyon analizi

Bu doğrulama problemi, National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) tarafından yayımlanan NAFEMS NL1 testini temel alır, ve geometrik doğrusal olmamayı ve birden fazla pekleşme kuralını içeren elastoplastik deformasyon analizi gerçekleştirir. Şekil 9.1.4 analiz modelini gösterir.

Elastoplastik deformasyon analiz modeli

Şekil 9.1.4 Elastoplastik deformasyon analiz modeli

(1) Doğrulama koşulları

Öğe Değer
Malzeme Mises elastoplastik malzemesi
Young modülü \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Poisson oranı \(\nu=0.25\)
İlk akma gerilmesi \(5\ \mathrm{MPa}\)
İlk akma gerinimi \(0.25\times10^{-4}\)
İzotropik pekleşme katsayısı \(H_i = 0\) veya \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) Sınır koşulları

Öğe Sınır koşulu Değer
Adım 1 2 ve 3 numaralı düğümlerde tanımlı yer değiştirme \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Adım 2 2 ve 3 numaralı düğümlerde tanımlı yer değiştirme \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Adım 3 3 ve 4 numaralı düğümlerde tanımlı yer değiştirme \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Adım 4 3 ve 4 numaralı düğümlerde tanımlı yer değiştirme \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Adım 5 2 ve 3 numaralı düğümlerde tanımlı yer değiştirme \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Adım 6 2 ve 3 numaralı düğümlerde tanımlı yer değiştirme \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Adım 7 3 ve 4 numaralı düğümlerde tanımlı yer değiştirme \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Adım 8 3 ve 4 numaralı düğümlerde tanımlı yer değiştirme \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Burada listelenmeyen tüm düğümler tamamen kısıtlanmıştır. Bu problemin teorik çözümü aşağıdaki gibidir.

Gerinim (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Eşdeğer Gerilme (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

Buna karşılık, hesaplama sonuçları aşağıdaki gibidir.

Gerinim (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Eşdeğer gerilme (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Temas Analizi (1)

Bu doğrulama problemi, National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) temas yama testi problemi CGS-4'ü referans alır, ve sürtünmeli sonlu kaymalı temas yeteneğini test eder. Şekil 9.1.5 analiz modelini gösterir.

Temas analiz modeli

Şekil 9.1.5 Temas analiz modeli

Bu problemin denge koşulu aşağıdaki gibidir.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

Yapışmalı sürtünme aşamasında sürtünme kuvveti

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

ve kaymalı sürtünme aşamasında

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

olur.

Hesaplama sonuçları ile analitik çözüm arasındaki karşılaştırma aşağıdaki gibidir.

\(\mu\) \(F/G\) Analitik Çözüm \(F/G\) Hesaplama Sonuçları
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

Temas analizi (2): Hertz temas problemi

Bu doğrulamada, sonsuz uzunlukta bir silindir ile sonsuz bir düzlem arasındaki Hertz temas problemi analiz edilir. Silindirin yarıçapı \(R = 8\ \mathrm{mm}\) olup, deforme olabilen cismin Young modülü \(E\) ve Poisson oranı \(\mu\) sırasıyla \(1100\ \mathrm{MPa}\) ve \(0.0\)'dır. Temas alanının silindir yarıçapına kıyasla yeterince küçük olduğu varsayılır ve problemin simetrisi dikkate alınarak çeyrek silindir modeli analiz edilir.

Hertz temas problemi için analiz modeli Şekil 9.1.6 Hertz temas problemi için analiz modeli

(1) Temas yarıçapının doğrulama sonuçları

Temas yarıçapını hesaplamak için teorik formül aşağıdaki gibidir:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

burada

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

olur. Mevcut hesaplama koşullarında basınç \(F=100\) olduğunda temas yarıçapı \(a=1.36\) olur.

Şekil 9.1.7 temas noktalarındaki eşdeğer düğüm kuvvetlerini gösterir. Temas yarıçapı, bu düğüm kuvveti dağılımının dışa ekstrapolasyonu ile elde edilir.

Temas noktalarındaki eşdeğer düğüm kuvveti dağılımı

Şekil 9.1.7 Temas noktalarındaki eşdeğer düğüm kuvveti dağılımı

(2) Maksimum Kayma Gerilmesi Doğrulama Sonuçları

Teorik çözümde, temas konumunda

\[ z = 0.78a \]

maksimum kayma gerilmesi

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

olur. Mevcut hesaplama koşullarında,

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

olur. Buna karşılık hesaplama sonucu

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

elde edilir.

Kayma gerilmesi dağılımı (maksimum değer = 15.6 Şekil 9.1.8 Kayma gerilmesi dağılımı (maksimum değer = 15.6)

(3) Modal Analiz

exJ ve exK durumlarının doğrulama modelleri, exA'dan exG'ye kadar olan durumların modelleriyle aynıdır. Şekil 9.1.9 doğrulama modelinin şematik gösterimini verir. Bu model üzerinde modal analiz gerçekleştirilir. İlk üç doğal frekans hesaplanır. exJ durumunda yinelemeli bir çözücü, exK durumunda ise doğrudan bir çözücü kullanılır. Doğrulama sonuçları Tablo 9.1.9–9.1.12’de gösterilmiştir.

Doğrulama modeli Şekil 9.1.9 Doğrulama modeli

Ankastre kirişin doğal frekansları aşağıdaki denklemlerden elde edilir.

Birinci mod

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

İkinci mod

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Üçüncü mod

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Doğrulama modelinin özellik değerleri şöyledir:

Öğe Değer
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Buna göre, ilk üç doğal frekans aşağıdaki gibidir:

Mod numarası Değer
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

Tablo 9.1.9 : exJ: Birinci doğal frekans için yinelemeli yöntem doğrulama sonuçları

Durum adı Eleman sayısı Öngörülen değer : n1=3.609e3 Açıklamalar
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 düğüm
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 düğüm
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 düğüm
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 düğüm
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 düğüm
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 düğüm

Tablo 9.1.10 : exJ’nin ikinci doğal frekans için yinelemeli yöntem doğrulama sonuçları

Durum adı Eleman sayısı Öngörülen değer : n2=2.262e4 Açıklamalar
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 düğüm
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 düğüm
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 düğüm
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 düğüm
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 düğüm
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 düğüm

Not) Üç boyutlu modellerde ilk iki mod dejeneredir. Bu nedenle hesaplanan üçüncü doğal frekans tabloda ikinci doğal frekans olarak verilir.

Tablo 9.1.11 : exK’nin birinci doğal frekans için doğrudan yöntem doğrulama sonuçları

Durum adı Eleman sayısı Öngörülen Değer : n1=3.609e3 Açıklamalar
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 düğüm
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 düğüm
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 düğüm
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 düğüm
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 düğüm
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 düğüm
J731 40 - 3.606e3 220 düğüm
J741 20 - 3.594e3 220 düğüm

Tablo 9.1.12 : exK’nin ikinci doğal frekans için doğrudan yöntem doğrulama sonuçları

Durum adı Eleman sayısı Öngörülen değer : n2=2.262e4 Açıklamalar
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 düğüm
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 düğüm
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 düğüm
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 düğüm
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 düğüm
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 düğüm
J731 40 - 2.156e4 220 düğüm
J741 20 - 2.153e4 220 düğüm

Not) Üç boyutlu modellerde ilk iki mod dejeneredir. Bu nedenle hesaplanan üçüncü doğal frekans tabloda ikinci doğal frekans olarak verilir.

(4) Isı iletimi analizi

Kararlı durum ısı iletimi analizlerinin ortak koşulları Şekil 9.1.10’da gösterilmiştir. exM’den exT’ye kadar olan doğrulama durumlarının ayrı koşulları Şekil 9.1.11’de gösterilmiştir. Ağ bölümlendirmesi exA için kullanılanla eşdeğerdir.

Her bir durumun sıcaklık dağılımı biçimindeki doğrulama sonuçları Tablo 9.1.13–9.1.20'de gösterilmiştir.

Isı iletimi analizi
AB arası uzunluk \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Kesit alanı \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Isı iletkenliğinin sıcaklığa bağımlılığı

Isı iletkenliği \(\lambda\) (W/(m·K)) Sıcaklık (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

Şekil 9.1.10 : Kararlı durum ısı iletimi analizinin doğrulama koşulları
exM: Doğrusal malzeme
exN: Tanımlı sıcaklık problemi
exO: Tekil ısı akısı problemi
exP: Dağıtılmış ısı akısı problemi
exQ: Konvektif ısı transferi problemi
exR: Işınımla ısı transferi problemi
exS: Hacimsel ısı üretimi problemi
exT: İç boşluk problemi

Şekil 9.1.11 : Her doğrulama durumu için analiz koşulları

Tablo 9.1.13 : exM doğrulama sonuçları (doğrusal malzemenin kararlı durum hesabı)

Durum adı Eleman tipi Eleman/düğüm A ucundan uzaklık (m)
A ucu 2.0 4.0 6.0 8,0 B ucu
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

Tablo 9.1.14 : exN doğrulama sonuçları (tanımlı sıcaklık problemi)

Durum adı Eleman tipi Eleman/düğüm A ucundan uzaklık (m)
A ucu 2.0 4.0 6.0 8,0 B ucu
Ticari yazılım 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

Tablo 9.1.15 : exO doğrulama sonuçları (tekil ısı akısı problemi)

Durum adı Eleman tipi Eleman/düğüm A ucundan uzaklık (m)
A ucu 2.0 4.0 6.0 8,0 B ucu
Ticari yazılım 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tablo 9.1.16 : exP doğrulama sonuçları (dağıtılmış ısı akısı problemi)

Durum adı Eleman tipi Eleman/düğüm A ucundan uzaklık (m)
A ucu 2.0 4.0 6.0 8,0 B ucu
Ticari yazılım 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tablo 9.1.17 : exQ doğrulama sonuçları (konvektif ısı transferi problemi)

Durum adı Eleman tipi Eleman/düğüm A ucundan uzaklık (m)
A ucu 2.0 4.0 6.0 8,0 B ucu
Ticari yazılım 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

Tablo 9.1.18 : exR doğrulama sonuçları (ışınımla ısı transferi problemi)

Durum adı Eleman tipi Eleman/düğüm A ucundan uzaklık (m)
A ucu 2.0 4.0 6.0 8,0 B ucu
Ticari yazılım 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

Tablo 9.1.19 : exS doğrulama sonuçları (hacimsel ısı üretimi problemi)

Durum adı Eleman tipi Eleman/düğüm A ucundan uzaklık (m)
A ucu 2.0 4.0 6.0 8,0 B ucu
Ticari yazılım 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tablo 9.1.20 : exT doğrulama sonuçları (iç boşluk problemi)

Durum adı Eleman tipi Eleman/düğüm A ucundan uzaklık (m)
A ucu 2.0 4.0 6.0 8,0 B ucu
Ticari yazılım 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

Doğrusal dinamik analiz

exW’de, madde (1)’dekiyle aynı ankastre kiriş üzerinde doğrusal dinamik analiz gerçekleştirilir. Şekil 9.1.12 doğrulama koşullarını gösterir. Aynı ağ bölümlendirmesi için zaman artımının sonuçlar üzerindeki etkisi doğrulanır. 361 ve 342 eleman tipleriyle hem örtük hem de açık zaman integrasyonu yöntemleri kullanılır. Doğrulama sonuçları Tablo 9.1.22 ve Şekil 9.1.13–9.1.15'te gösterilmiştir.

Analiz modeli Analiz Modeli

Dış kuvvet F’nin zaman geçmişi Dış kuvvet F’nin zaman geçmişi

Uyarım noktasındaki yer değiştirmenin teorik çözümü aşağıdaki gibidir:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

burada

\[ \(F_0:\ \text{Sabit vektör}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Şekil 9.1.12 : Doğrusal dinamik analizin doğrulama koşulları

Doğrulama koşulları:
Uzunluk \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
Kesit genişliği \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Kesit yüksekliği \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Young modülü \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Poisson oranı \(\nu\) \(0.3\)
Yoğunluk \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Yerçekimi ivmesi \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Dış kuvvet \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
Eleman Altı yüzlü birinci dereceden eleman
İkinci dereceden dört yüzlü eleman
Yöntem Örtük yöntem
Newmark-\(\beta\) yöntemi parametresi \(\gamma\) 1/2
Newmark-\(\beta\) yönteminin \(\beta\) parametresi 1/4
Açık yöntem
Sönüm Yok

Tablo 9.1.21 : Doğrusal dinamik analizin doğrulama koşulları (devam)

Durum adı Eleman Tipi Düğüm Sayısı Eleman Sayısı Yöntem Zaman artımı \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Örtük yöntem 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Örtük yöntem 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Örtük yöntem 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Örtük yöntem 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Örtük yöntem 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Örtük yöntem 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Açık yöntem 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Açık yöntem 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Açık yöntem 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Açık yöntem 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Açık yöntem 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Açık yöntem 1.0E-07

Tablo 9.1.22 : exW doğrusal dinamik analiz doğrulama sonuçları (ankastre kiriş)

Durum adı Eleman tipi Düğüm sayısı Eleman sayısı Yöntem \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) anındaki z yönü yer değiştirmesi (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Örtük yöntem 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Örtük yöntem 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Örtük yöntem 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Örtük yöntem 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Örtük yöntem 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Örtük yöntem 1.9753 Iraksadı
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Açık yöntem 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Açık yöntem 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Açık yöntem 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Açık yöntem 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Açık yöntem 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Açık yöntem 1.9753 Iraksadı

Ankastre kirişin deformasyon diyagramı ve eşdeğer gerilme dağılımı Şekil 9.1.13 : Ankastre kirişin deformasyon diyagramı ve eşdeğer gerilme dağılımı

(a) Eleman Tipi 361 : Örtük yöntem (a) Eleman Tipi 361 : Örtük yöntem

(b) Eleman Tipi 361 : Açık yöntem (b) Eleman tipi 361: Açık yöntem

Şekil 9.1.14 Uyarım noktasındaki yer değiştirme \(u_z\) için zaman geçmişi

(a) Eleman tipi 342: Örtük yöntem (a) Eleman tipi 342: Örtük yöntem

(b) Eleman tipi 342: Açık yöntem (b) Eleman tipi 342: Açık yöntem

Şekil 9.1.15 Uyarım noktasındaki yer değiştirme \(u_z\) için zaman geçmişi

Frekans Cevabı Analizi

Bu doğrulamada bir ankastre kiriş üzerinde frekans cevabı analizi gerçekleştirilir ve genel amaçlı ticari bir çözücünün sonuçlarıyla karşılaştırılarak doğrulanır. Analiz modeli ve doğrulama koşulları aşağıda gösterilmiştir.

Analiz koşulları:
Young modülü \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Poisson oranı \(\nu\) \(0.3\)
Yoğunluk \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Yerçekimi ivmesi \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Yük \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Rayleigh sönüm parametresi \(R_m\) \(0.0\)
Rayleigh sönüm parametresi \(R_k\) \(7.2E-07\)

Şekil 9.1.16 : Analiz modeli (dört yüzlü birinci dereceden eleman (126 eleman ve 55 düğüm))

Modal analizden elde edilen ilk beş doğal frekans ve uyarım noktasındaki frekans cevabı aşağıda gösterilmiştir.

mod FrontISTR Ticari yazılım
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

Uyarım noktasındaki yer değiştirme genliğinin frekansa bağımlılığı Şekil 9.1.17 Uyarım noktasındaki yer değiştirme genliğinin frekansa bağımlılığı