Перейти до змісту

Лінійний пружний статичний аналіз (вступ)

Тут наведено формулювання пружного статичного аналізу на основі теорії малих деформацій. Для зв’язку між напруженнями та деформаціями припускається лінійна пружність. Цей розділ має вступний характер і призначений для розуміння загальної картини структурного аналізу методом скінченних елементів; його можна читати як самодостатній розділ.

Загальний виклад принципу віртуальної роботи (поточна конфігурація, початкова конфігурація та зведення до малих деформацій) див. у розділі Принцип віртуальної роботи, подробиці лінійного пружного визначального закону — у розділі Лінійна пружність, правила тензорних позначень і позначень Фойгта — у розділі Тензорні позначення та математичні основи, загальне формулювання скінченних деформацій — у розділі Рух, деформування та деформація, а метод розв’язання нелінійних задач — у розділі Дотична матриця жорсткості.

Основні рівняння

За припущень малих деформацій і лінійної пружності крайова задача механіки твердого тіла складається з рівняння рівноваги, механічної крайової умови та геометричної (основної) крайової умови (див. рис. 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{у} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{на} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{на} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Тут \(\boldsymbol{\sigma}\) — напруження Коші, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) — об’ємна сила на одиницю об’єму, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) — поверхнева сила (задане значення), \(\overline{\boldsymbol{u}}\) — задане переміщення, а \(S_t, S_u\) — механічна та геометрична границі.

Крайова задача механіки твердого тіла (задача малих деформацій)

Рис. 2.1.1. Крайова задача механіки твердого тіла (задача малих деформацій)

Співвідношення деформація–переміщення з використанням оператора симетричного градієнта має вигляд

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Лінійне пружне визначальне рівняння має вигляд

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

де \(\boldsymbol{C}\) — тензор пружності четвертого рангу.

Принцип віртуальної роботи

Загальну форму принципу віртуальних робіт (подання в поточній конфігурації, подання в початковій конфігурації та зведення до малих деформацій) зібрано в розділі Принцип віртуальної роботи. За припущень малих деформацій і лінійної пружності слабка форма має вигляд

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{на} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Підставивши визначальне рівняння \eqref{eq:2.1.5} і записавши \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) у позначеннях Фойгта, одержуємо форму, що безпосередньо використовується для дискретизації:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

де \(D\) — матриця пружності з розділу Лінійна пружність. Рівняння \eqref{eq:2.1.10} та \eqref{eq:2.1.7} є принципом віртуальних робіт, який дискретизується нижче.

Дискретизація та складання глобального рівняння

Дискретизуючи рівняння принципу віртуальних робіт \( \eqref{eq:2.1.10} \) для кожного скінченного елемента, одержуємо

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Для кожного елемента поле переміщень інтерполюється за переміщеннями вузлів, що утворюють елемент, таким чином:

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Тоді деформація з використанням рівняння \(\eqref{eq:2.1.4}\) визначається як

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Підставивши рівняння \(\eqref{eq:2.1.12}\) і \(\eqref{eq:2.1.13}\) у рівняння \(\eqref{eq:2.1.11}\), одержуємо

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Рівняння \(\eqref{eq:2.1.14}\) можна звести до такого вигляду:

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Тут Компоненти матриці та вектора, визначені рівняннями \(\eqref{eq:2.1.16}\) і \(\eqref{eq:2.1.17}\), можна обчислити для кожного скінченного елемента та скласти.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Оскільки рівняння \(\eqref{eq:2.1.15}\) виконується для довільного віртуального переміщення \(\delta \boldsymbol{U}\), одержуємо

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

З іншого боку, крайову умову переміщення \(\eqref{eq:2.1.3}\) можна записати як

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Розв’язуючи рівняння \(\eqref{eq:2.1.18}\) за умови обмеження \(\eqref{eq:2.1.19}\), можна визначити вузлові переміщення \(\boldsymbol{U}\).

Пов’язані теми