Перейти до змісту

Гіперпружність

У цьому розділі розглядаються гіперпружні визначальні співвідношення, підтримувані FrontISTR. Докладніше про вибір моделі та специфікації введення див. у розділі функцій 03_material.

Явище (оборотна реакція за великих деформацій)

TBD (буде розгорнуто в повний текст на наступному етапі).

Схема визначального співвідношення

Для ізотропного гіперпружного матеріалу пружна потенціальна енергія визначається ізотропною реакцією від початкового ненапруженого стану й може бути виражена як функція головних інваріантів \((I_1, I_2, I_3)\) правого тензора деформації Коші—Гріна \(C\) або головних інваріантів \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) тензора деформації з вилученою об’ємною зміною, тобто як \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) або \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

Визначальне рівняння гіперпружного матеріалу задається співвідношенням між другим напруженням Піоли—Кірхгофа та деформацією Гріна—Лагранжа, а для аналізу його деформування застосовується повне лагранжеве формулювання.

Якщо пружна потенціальна енергія \(W\) відома, друге напруження Піоли—Кірхгофа та співвідношення напруження–деформація можна обчислити так.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]
\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

Нижче наведено пружні потенціальні енергії \(W\) гіперпружних моделей, прийнятих у FrontISTR.

Гіперпружна модель Нео—Гука

Гіперпружна модель Нео—Гука розширює ізотропний лінійний закон (закон Гука), щоб його можна було застосовувати до задач великих деформацій. Її пружний потенціал має такий вигляд.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Тут \(C_{10}\) і \(D\) — матеріальні константи.

Гіперпружна модель Муні—Рівліна

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Тут \(C_{10}\), \(C_{01}\) і \(D\) — матеріальні константи.

Анізотропна гіперпружна модель Муні—Рівліна

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Тут \(C_{10}\), \(C_{01}\) і \(D\) — матеріальні константи, спільні з ізотропною моделлю, а \(C_{42}\) і \(C_{43}\) — матеріальні константи, характерні для анізотропії.

Гіперпружна модель Арруди—Бойса

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]
\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Тут \(\mu_0\), \(\lambda_m\) і \(D\) — матеріальні константи.

Пов’язані теми