Перейти до змісту

Функції форми та скінченно-елементна апроксимація

Щоб обчислювально опрацьовувати слабку форму, викладену в розділі Принцип віртуальної роботи, область тіла поділяється на скінченну кількість елементів, а координати матеріальних точок, переміщення та тестова функція всередині кожного елемента інтерполюються з вузлових значень і функцій форми. Просторові похідні функцій форми розглядаються в розділі Просторові похідні функцій форми, дискретизація слабкої форми — у розділі Дискретизація віртуальної роботи внутрішніх сил, а конкретні форми функцій форми для кожного типу елемента — у розділі Система нумерації елементів і бібліотека функцій форми та наступних розділах.

Розбиття області та поелементні суми інтегралів

Область \(\Omega_0\) у початковій конфігурації та область \(\Omega\) у поточній конфігурації апроксимуються відповідно об’єднаннями елементів \(\Omega^e_0\) і \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) — номер елемента, а границі елементів є спільними для сусідніх елементів.) Це розкладає об’ємні та поверхневі інтеграли у формулюванні з розділу Принцип віртуальної роботи на суми інтегралів за окремими елементами:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Те саме застосовується до поточної конфігурації із замінами \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) і \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Надалі обчислення слабкої форми зводиться до побудови інтегралів поелементно.

Інтерполяція за вузловими значеннями та функціями форми (ізопараметричні елементи)

Кожному елементу \(\Omega^e_0\) призначено \(n_e\) вузлів. Нехай координати в початковій конфігурації та вузлові переміщення вузла \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) елемента дорівнюють \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Вузлові вектори елемента \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) і \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) утворюються впорядкуванням цих значень; для елемента \(e\) вони містять лише компоненти вузлів, що утворюють цей елемент, вилучені з глобальних вузлових векторів \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) — загальна кількість вузлів).

Використовуючи як параметри природні координати \(\boldsymbol{r}\), які є локальними координатами всередині елемента, функції форми \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) інтерполюють матеріальні координати, переміщення та тестову функцію всередині елемента за допомогою тих самих функцій форми (ізопараметричний елемент і метод Гальоркіна):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Функції форми будуються так, щоб задовольняти дві наведені нижче властивості, а геометрія елемента вибирається так, щоб відображення \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) з природних координат у матеріальні координати було взаємно однозначним усередині елемента:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) — точка в природних координатах, що відповідає вузлу \(\alpha\), а \(\delta_{\alpha\beta}\) — дельта Кронекера.) Перше рівняння гарантує відтворення жорсткого поступального переміщення, а друге — збіг інтерпольованого значення з вузловим значенням у кожному вузлі. Конкретні форми \(n_e\) і \(N_\alpha^e\) для кожного типу елемента наведено в розділі Система нумерації елементів і бібліотека функцій форми та наступних розділах. Щоб уникнути громіздкого запису, залежність від типу елемента позначається поелементним верхнім індексом \(e\).

За наведеними вище правилами інтерполяції підінтегральний вираз слабкої форми можна записати лише через вузлові значення елемента \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) і \(N_\alpha^e\). Деформація, натомість, визначається з інтерпольованого переміщення та співвідношення деформація—переміщення, а напруження — з цієї деформації та конститутивного закону матеріалу; ці величини не інтерполюються безпосередньо з вузлових значень. Вони обчислюються в точках інтегрування всередині елемента (Чисельне інтегрування).

Правило впорядкування глобальних вузлових векторів

Фізичні величини, призначені вузлам, розміщуються в глобальному вузловому векторі в порядку зростання номер вузла → ступінь свободи. Якщо в вузлі \(\alpha\) компоненту ступеня свободи \(i\) позначено \(u_{i\alpha}\), то відповідно у тривимірному (\(i=1,2,3\)) і двовимірному (\(i=1,2\)) випадках

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Координати \(\boldsymbol{X}^n\) і тестова функція \(\delta\boldsymbol{u}^n\) мають той самий порядок. Надалі виведення в матричній і векторній формі записуються на прикладі тривимірного випадку.

Пов’язані теми