Рух, деформування та деформація¶

Опорна та поточна конфігурації¶

Визначення конфігурацій¶

Щоб розрізняти, відносно якої форми в часі описуються фізичні величини, у цьому посібнику використовуються два типи конфігурацій.

Опорна конфігурація: недеформована форма на початку аналізу (у момент часу \(0\); також називається початковою конфігурацією). Точка в опорній конфігурації задається матеріальною координатою \(\boldsymbol{X}\), об’єм позначається \(V\), а поверхня — \(S\).
Поточна конфігурація: деформована форма в момент часу \(t\). Точка в поточній конфігурації задається просторовою координатою \(\boldsymbol{x}\), об’єм позначається \(v\), а поверхня — \(s\).

Рух описується як відображення між цими двома конфігураціями \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), а переміщення визначається як \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Позначення, що залежать від конфігурації (великі/малі літери)¶

Належність фізичної величини до певної конфігурації розрізняється регістром символів.

Величини, що належать до опорної конфігурації, записуються великими літерами (наприклад, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Величини, що належать до поточної конфігурації, записуються малими літерами (наприклад, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Для величин, що пов’язують обидві конфігурації, як-от перший тензор напружень Піоли—Кірхгофа \(\boldsymbol{P}\), використовуються усталені позначення, які щоразу уточнюються в тексті.
У теорії малих деформацій відмінність між двома конфігураціями зникає, тому використовуються лише малі літери (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Градієнт в опорній та поточній конфігураціях¶

Позначення та зміст просторової похідної залежать від того, відносно якої конфігурації її беруть.

Градієнт в опорній конфігурації \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): градієнт за матеріальними координатами. Наприклад, \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Градієнт у поточній конфігурації \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): градієнт за просторовими координатами. Наприклад, \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Вони пов’язані співвідношенням \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Правила для похідних за часом (матеріальна похідна за часом \(\dot{(\cdot)}\)) див. у розділі Тензорні позначення та математичні основи.

Опис руху¶

Відображення руху та матеріальний/просторовий описи¶

Якщо континуум розглядати як сукупність матеріальних точок, позначених їхніми положеннями в момент часу \(0\), тобто \(\boldsymbol{X}\), то рух задається відображенням, яке матеріальній точці \(\boldsymbol{X}\) у момент часу \(t\) ставить у відповідність положення \(\boldsymbol{x}\); це відображення позначимо \(\phi\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

За прийнятої домовленості, що опорна конфігурація є початковою конфігурацією, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Залежно від вибору незалежних змінних розрізняють два типи опису.

Матеріальний опис (опис Лагранжа): фізичні величини подаються як функції \((\boldsymbol{X}, t)\). У механіці твердого тіла це природний вибір, оскільки опорна конфігурація задається як фіксована форма.
Просторовий опис (опис Ейлера): фізичні величини подаються як функції \((\boldsymbol{x}, t)\). Цей опис стандартно використовується в механіці рідини.

Структурний аналіз FrontISTR в основному ґрунтується на матеріальному описі, але в оновленому методі Лагранжа поточна конфігурація використовується як нова опорна конфігурація, тому також застосовуються величини просторового опису.

Переміщення, швидкість і прискорення¶

Переміщення \(\boldsymbol{u}\) визначається, як у попередньому розділі, співвідношенням \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Припущення щодо його величини не вводяться, тому розглядаються й скінченні деформації. Вектор швидкості та вектор прискорення визначаються як матеріальні похідні за часом від \(\boldsymbol{u}\) за фіксованої матеріальної точки:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

де цими співвідношеннями визначаються відповідні величини.

Градієнт деформації та тензори деформації¶

Тензор градієнта деформації¶

Основною величиною в механіці суцільного середовища зі скінченними деформаціями є тензор градієнта деформації \(\boldsymbol{F}\). Це лінійне відображення, що переводить нескінченно малий відрізок \(d\boldsymbol{X}\) в опорній конфігурації в нескінченно малий відрізок \(d\boldsymbol{x}\) у поточній конфігурації, і визначається як градієнт відображення руху за матеріальними координатами:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

тобто \(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\). У недеформованому стані \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). Тензор \(\boldsymbol{F}\) широко використовується для визначення деформацій і напружень та для перетворення фізичних величин між конфігураціями.

Відношення об’ємів¶

Відношення нескінченно малого об’єму \(dV\) в опорній конфігурації до відповідного нескінченно малого об’єму \(dv\) у поточній конфігурації описується відношенням об’ємів \(J\), яке задається як

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

З умови оборотності континууму припускається \(J > 0\). Закон збереження маси записується як \(\rho_0 = J\rho\).

Правий і лівий тензори деформації Коші—Гріна¶

Оскільки градієнт деформації \(\boldsymbol{F}\) містить жорстке обертання, для міри власне деформації використовуються величини, з яких жорстке обертання виключено. Правий тензор деформації Коші—Гріна \(\boldsymbol{C}\) (опорна конфігурація) та лівий тензор деформації Коші—Гріна \(\boldsymbol{b}\) (поточна конфігурація) визначаються як

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Обидва є симетричними тензорами та мають однакові власні значення (квадрати головних коефіцієнтів розтягнення). Головні інваріанти функції енергії деформації для гіперпружності задаються через ці тензори.

Тензори деформацій¶

Тензор деформації Гріна—Лагранжа¶

Як міру деформації відносно опорної конфігурації тензор деформації Гріна—Лагранжа \(\boldsymbol{E}\) визначають як

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Це симетричний тензор, що описує зміну скалярного добутку нескінченно малих векторів в опорній конфігурації; він інваріантний відносно жорсткого обертання і в недеформованому стані задовольняє \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). Якщо використати \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\), то

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

він виражається як сума членів першого і другого порядків за градієнтом переміщень; член другого порядку описує геометричну нелінійність. У методі повного Лагранжа він використовується як енергетично спряжена пара напруження-деформації \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Тензор деформації Альмансі¶

Як міру деформації відносно поточної конфігурації тензор деформації Альмансі \(\boldsymbol{e}\) визначають як

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Він пов’язаний із деформацією Гріна—Лагранжа співвідношенням \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (обернене відображення).

Тензор малих деформацій¶

Якщо градієнт переміщень малий (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), член другого порядку в деформації Гріна—Лагранжа можна знехтувати. Крім того, відмінність між двома конфігураціями зникає, тому отримується тензор малих деформацій \(\boldsymbol{\varepsilon}\), градієнт у якому записано за просторовими координатами:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

У лінійному статичному аналізі, модальному аналізі, аналізі частотної характеристики та лінійному динамічному аналізі FrontISTR використовується ця міра деформації. В аналізі скінченних деформацій у методі повного Лагранжа використовується \(\boldsymbol{E}\), а в оновленому методі Лагранжа — тензор швидкості деформації \(\boldsymbol{D}\) відносно поточної конфігурації.