Напруження та закони збереження¶
У цьому розділі систематизовано визначення та взаємозв’язки тензорів напружень, а також рівняння рівноваги й симетрію напружень, що випливають із законів збереження маси, кількості руху та моменту кількості руху. Три тензори напружень — напруження Коші \(\boldsymbol{\sigma}\), перше напруження Піоли—Кірхгофа \(\boldsymbol{P}\) і друге напруження Піоли—Кірхгофа \(\boldsymbol{S}\) — вводяться залежно від того, яку конфігурацію використовують для опорної поверхні та вектора сили. Визначення конфігурації, руху й градієнта деформації див. у Рух, деформування та деформація, а перелік позначень — у розділі Перелік позначень фізичних величин.
Тензор напружень Коші¶
У точці \(\boldsymbol{x}\) поточної конфігурації розглянемо нескінченно малу поверхню площею \(d\Gamma\) із зовнішньою одиничною нормаллю \(\boldsymbol{n}\), на яку діє сила \(d\boldsymbol{f}\). Вектор напруження \(\boldsymbol{t}\) визначимо як силу на одиницю площі: \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) залежить і від положення \(\boldsymbol{x}\), і від нормалі \(\boldsymbol{n}\). Із застосування закону збереження кількості руху до нескінченно малого тетраедра випливає, що \(\boldsymbol{t}\) лінійно залежить від \(\boldsymbol{n}\), тому існує тензор другого порядку \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) такий, що
виконується для довільного \(\boldsymbol{n}\) (теорема Коші про напруження). Цей тензор \(\boldsymbol{\sigma}\) називають тензором напружень Коші, а також істинним напруженням, оскільки він є силою на одиницю площі, виміряною відносно геометрії поточної конфігурації. Компонента \(\sigma_{ij}\) для нескінченно малої поверхні, нормальної до координатної осі \(x_j\) у поточній конфігурації, описує компоненту сили в напрямку \(x_i\) на одиницю площі.
Як показано нижче із закону збереження моменту кількості руху, напруження Коші є симетричним тензором
і в тривимірному випадку має шість незалежних компонент (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Подання напруження вектором у позначенні Фойгта ґрунтується на цій симетрії (див. Тензорні позначення та математичні основи). Напруження Коші використовується для виведення напружень у геометрично нелінійному аналізі FrontISTR в оновленому лагранжевому формулюванні та в аналізі малих деформацій.
Перше та друге напруження Піоли—Кірхгофа¶
Для скінченних деформацій часто зручно подавати напруження відносно поверхонь і векторів опорної конфігурації, тому вводяться два тензори напружень Піоли—Кірхгофа. Нехай площа нескінченно малої поверхні в опорній конфігурації дорівнює \(d\Gamma_0\), а її зовнішня одинична нормаль — \(\boldsymbol{N}\).
Перше напруження Піоли—Кірхгофа (перше PK-напруження, номінальне напруження) \(\boldsymbol{P}\) визначається як тензор напружень, отриманий при прикладанні сили \(d\boldsymbol{f}\) поточної конфігурації до нескінченно малої поверхні в опорній конфігурації:
Використання формули Нансона \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) разом із теоремою Коші про напруження дає співвідношення з напруженням Коші
Перше PK-напруження загалом є несиметричним тензором.
Друге напруження Піоли—Кірхгофа (друге PK-напруження) \(\boldsymbol{S}\) визначається як тензор напружень, отриманий шляхом перенесення сили поточної конфігурації \(d\boldsymbol{f}\) в опорну конфігурацію за допомогою \(\boldsymbol{F}^{-1}\) і прикладання її до нескінченно малої поверхні в опорній конфігурації:
І вектор сили, і поверхня її дії виражаються величинами опорної конфігурації, тому цей тензор інваріантний відносно жорсткого обертання і є симетричним. Його зв’язок із першим PK-напруженням та перетворення з напруження Коші мають вигляд
Друге PK-напруження виводиться з функції енергії деформації гіперпружного матеріалу \(W(\boldsymbol{C})\) як \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) і у повному лагранжевому формулюванні використовується разом із деформацією Гріна—Лагранжа \(\boldsymbol{E}\) як енергетично спряжена пара \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).
Опорні конфігурації та властивості симетрії наведено в таблиці нижче. У границі малих деформацій (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) усі три напруження збігаються.
| Тензор напружень | Опорна поверхня | Вектор сили | Симетрія | Застосування |
|---|---|---|---|---|
| Напруження Коші \(\boldsymbol{\sigma}\) | Поточна конфігурація \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) | Поточна конфігурація \(d\boldsymbol{f}\) | Симетричне | Оновлене лагранжеве формулювання / аналіз малих деформацій |
| Перше PK-напруження \(\boldsymbol{P}\) | Опорна конфігурація \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Поточна конфігурація \(d\boldsymbol{f}\) | Загалом несиметричне | Рівняння рівноваги в опорній конфігурації |
| Друге PK-напруження \(\boldsymbol{S}\) | Опорна конфігурація \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Опорна конфігурація \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) | Симетричне | Повне лагранжеве формулювання / гіперпружність |
Закони збереження маси та кількості руху і рівняння рівноваги¶
Нехай \(\rho\) — густина маси в поточній конфігурації, а \(\rho_0\) — густина маси в опорній конфігурації. Закон збереження маси \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) разом із перетворенням елемента об’єму \(dv = J\, dV\) зводиться до локальної форми
Це локальне співвідношення закону збереження маси.
Нехай \(\boldsymbol{g}\) — об’ємна сила на одиницю маси, а \(\boldsymbol{a}\) — прискорення. Застосування теореми Коші про напруження та теореми Гаусса про дивергенцію до закону збереження кількості руху (першого закону руху Ейлера) дає локальне рівняння рівноваги (рівняння руху) в поточній конфігурації:
Переписування інтеграла в опорній конфігурації за допомогою формули Нансона і \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) дає локальну форму в опорній конфігурації:
Обидві форми еквівалентні завдяки правилу перетворення напружень і \(\rho_0 = J\rho\). Якщо знехтувати інерційним членом, маємо
це рівняння статичної рівноваги, яке є вихідним рівнянням статичного аналізу FrontISTR (лінійного та нелінійного).
Закон збереження моменту кількості руху та симетрія напружень¶
Поєднання закону збереження моменту кількості руху (другого закону руху Ейлера) із рівнянням рівноваги, отриманим із закону збереження кількості руху, приводить до симетрії тензора напружень Коші:
Отже, у тривимірному випадку він має шість незалежних компонент. Транспонування обох частин перетворення \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) та використання невиродженості \(\boldsymbol{F}\) показує, що друге PK-напруження також симетричне:
і тому також має шість незалежних компонент. На відміну від нього, перше PK-напруження \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) загалом не є симетричним; виконується лише співвідношення \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (тобто \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) є симетричним), а число незалежних компонент дорівнює дев’яти.
Ці властивості симетрії є основою для подання напруження шестикомпонентним вектором у позначенні Фойгта. Правила позначення Фойгта та побудову матриць матеріалу див. у Тензорні позначення та математичні основи і Лінійна пружність.