Перейти до змісту

Схема інкрементного аналізу

Необхідність інкрементного аналізу

Як зазначалося вище, для аналізу задач малих деформацій можна застосувати принцип віртуальних робіт, еквівалентний основним рівнянням, таким як рівняння рівноваги, а потім дискретизувати його скінченними елементами. В аналізі задач скінченних деформацій, де розглядаються великі деформації конструкції, базовим підходом так само є принцип віртуальних робіт.

Однак у задачах скінченних деформацій рівняння принципу віртуальних робіт є нелінійним відносно переміщень навіть за припущення лінійності матеріалу. Для розв’язання нелінійних рівнянь зазвичай застосовують ітераційні обчислення.

У таких ітераційних обчисленнях застосовують інкрементний аналіз: розрахунок виконують послідовно для малих приростів навантаження, накопичуючи їх до досягнення кінцевого деформованого стану. У разі припущення малих деформацій конфігурацію, в якій визначають деформації та напруження, спеціально не розрізняли до і після деформування. Тобто за припущення малих деформацій не має істотного значення, чи основні рівняння записані у конфігурації до деформування, чи після нього.

У задачах скінченних деформацій формулювання інкрементного аналізу залежить від того, чи береться за опорну конфігурацію початкова конфігурація, чи конфігурація на початку приросту. Перший підхід називається повним лагранжевим формулюванням, другий — оновленим лагранжевим формулюванням. Докладніше див. літературу наприкінці розділу.

Вихідне рівняння: принцип віртуальних робіт у момент часу \(t'\)

Розглянемо інкрементний аналіз, у якому стан до моменту часу \(t\) відомий, а стан у момент \(t' = t + \Delta t\) невідомий (див. рис. 2.2.1). Рівняння рівноваги, граничні умови та принцип віртуальних робіт у момент \(t'\) — у поданні поточної конфігурації з напруженням Коші \(^{t'}\sigma\) та лінійною частиною деформації Альмансі \(^{t'} A_{(L)}\) — наведено в розділі Принцип віртуальної роботи.

Концепція інкрементного аналізу

Рис. 2.2.1 Концепція інкрементного аналізу

Оскільки це вихідне рівняння записане в (невідомій) конфігурації моменту \(t'\), у практичному розв’язанні як опорну конфігурацію повторно вибирають початкову конфігурацію \(V\) у момент \(0\) або поточну конфігурацію \(^{t'} v\) у момент \(t\), після чого рівняння переписують у приростовій формі та розв’язують:

  • Повне лагранжеве формулювання — використовує початкову конфігурацію \(V\) як опорну. Застосовуються друге напруження PK \(\boldsymbol{S}\) і деформація Гріна—Лагранжа \(\boldsymbol{E}\).
  • Оновлене лагранжеве формулювання — використовує поточну конфігурацію \(^{t}v\) на початку приросту як опорну. Застосовуються напруження Коші \(\boldsymbol{\sigma}\) і лінійна частина деформації Альмансі \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Просторову дискретизацію обох формулювань (матриця B та вектор внутрішніх сил) див. у Дискретизація віртуальної роботи внутрішніх сил, а лінеаризацію й побудову дотичної матриці жорсткості — у Дотична матриця жорсткості.

Пов’язані теми