Перейти до змісту

Рівняння теплопровідності

У цьому розділі узагальнено рівняння теплопровідності, які розглядає FrontISTR на рівні суцільного середовища, та відповідні граничні умови. Дискретизація за часом і FEM-дискретизація розглядаються в розділі про дискретизацію (L3d) та в розділі про алгоритми розв’язання (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Рівняння теплопровідності

Рівняння теплопровідності в суцільному середовищі має такий вигляд.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Тут \(\rho=\rho(x)\) — густина маси, \(c=c(x,T)\) — питома теплоємність, \(T=T(x,t)\) — температура, \(k=k(x,T)\) — коефіцієнт теплопровідності, \(Q=Q(x,T,t)\) — тепловиділення, \(x\) — положення, а \(t\) — час. \(k_x, k_y, k_z\) — коефіцієнти теплопровідності у відповідних напрямках для анізотропної теплопровідності.

Конкретні теплофізичні властивості, зокрема температурну залежність і анізотропію, див. у розділі Теплофізичні властивості.

Граничні умови

Нехай область, що розглядається, позначена \(S\), а її межа — \(\Gamma\). Якщо припустити, що в кожній точці \(\Gamma\) задано граничну умову або типу Діріхле, або типу Неймана, граничні умови мають такий вигляд.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

При цьому функціональні форми \(T_1\) і \(q\) вважаються відомими. \(q\) — тепловий потік, що виходить через межу. Граничний тепловий потік \(q\) складається з трьох наведених нижче компонентів.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Тут \(q_s\) — розподілений тепловий потік, \(q_c\) — тепловий потік унаслідок конвективної теплопередачі, а \(q_r\) — тепловий потік унаслідок променевої теплопередачі.

Тут \(Tc=Tc(x,t)\) — температура навколишнього середовища для конвективної теплопередачі, \(hc=hc(x,t)\) — коефіцієнт конвективної теплопередачі, \(Tr=Tr(x,t)\) — температура навколишнього середовища для променевої теплопередачі, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) — коефіцієнт променевої теплопередачі, \(\varepsilon\) — коефіцієнт випромінювання, \(\sigma\) — стала Стефана—Больцмана, а \(F\) — кутовий коефіцієнт.

Спосіб задавання цих умов у вхідному файлі див. у розділі функціонального довідника Граничні умови та навантаження.

Слабка форма

Зв’язок зі структурним аналізом

Пов’язані теми