Перейти до змісту

Тензорні позначення та математичні основи

У цьому розділі узагальнено правила тензорних, індексних і позначень Фойгта, що використовуються в наступних розділах теоретичного посібника FrontISTR. Тут описано лише чисті правила позначень, які не залежать від визначень фізичних величин. Позначення, що залежать від конфігурації, пов’язаної з рухом суцільного середовища (початкова/поточна конфігурація), такі як розрізнення великих і малих літер та матеріальних і просторових похідних, наведено в розділі Рух, деформування та деформація, де вводиться поняття конфігурації.

Тензорні позначення

Жирне написання векторів і тензорів

Як типографічне правило, скалярні величини та компоненти векторів і тензорів записуються звичайним шрифтом (наприклад, \(\rho\) і \(x_i\)), тоді як самі векторні та тензорні величини записуються жирним шрифтом (наприклад, \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) і \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Правило сумування Ейнштейна

Якщо не зазначено інше, використовується правило сумування Ейнштейна: коли той самий індекс двічі з’являється в одному члені, виконується сумування за цим індексом. Наприклад,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

і для тензорів \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\) компонента їхнього добутку \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) з індексами \(i,j\) дорівнює

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Як правило індексів, коли \(i, j, k, l, \ldots\) використовуються як індекси без додаткового уточнення, вони позначають індекси, пов’язані зі ступенями свободи (\(1, 2, 3\) у тривимірному випадку), а малі грецькі літери \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\), що використовуються як індекси, позначають індекси вузлів, які утворюють елемент.

Скалярний добуток, транспонування та тензорний добуток

Транспонований тензор \(\boldsymbol{A}\) позначається \(\boldsymbol{A}^T\). Скалярний добуток (подвійна згортка) тензорів другого порядку \(\boldsymbol{A}\) і \(\boldsymbol{B}\) записується як

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Скалярний добуток векторів \(\boldsymbol{a}\) і \(\boldsymbol{b}\) дорівнює \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), а їхній тензорний добуток — \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Позначення Фойгта

Напруження та деформації є симетричними тензорами другого порядку відносно ступенів свободи, а коефіцієнти, що описують лінійний зв’язок між ними, утворюють тензор четвертого порядку. Безпосередня робота з ними в програмі невигідна з погляду обчислювальних витрат і програмування (багатовимірні масиви та глибоко вкладені цикли). Тому в загальних програмах скінченних елементів використовується симетрія: напруження і деформації стискаються у вектори-стовпці, а тензор пружності четвертого порядку — у двовимірну матрицю. Це називається позначенням Фойгта.

Надалі матричне або векторне представлення тензорної величини \(\boldsymbol{A}\) позначається \(\hat{A}\), щоб відрізняти його від початкового тензора.

Векторне представлення напружень і деформацій

Для симетричного тензора напружень \(\boldsymbol{\sigma}\) і тензора деформацій \(\boldsymbol{\varepsilon}\) у двовимірному випадку

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

у тривимірному випадку

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

вони обробляються як вектори-стовпці, як показано вище. Те саме правило застосовується до похідних величин, таких як варіації та диференціали. Зверніть увагу, що зсувні компоненти на стороні деформацій мають множник 2 (на стороні напружень його немає). Завдяки цій асиметрії тензорний скалярний добуток можна компактно записати як векторний скалярний добуток

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

У реалізації множник 2 для зсувних компонент деформації легко обробити неправильно, тому завжди слід пам’ятати правило «відсутній для напруження / присутній для деформації». Точно таке саме позначення Фойгта застосовується до величин у початковій конфігурації (другого тензора напружень Піоли—Кірхгофа \(\boldsymbol{S}\) і деформації Гріна—Лагранжа \(\boldsymbol{E}\)).

Матричне представлення тензора четвертого порядку

Для лінійного зв’язку між напруженням і деформацією \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (у компонентній формі \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), використання симетрії \(\boldsymbol{\varepsilon}\) дає

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

У тривимірному випадку, якщо організувати \(\tilde{C}\) як матеріальну матрицю 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\), початковий тензорний зв’язок можна подати як

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Надалі в цьому посібнику, якщо не зазначено інше, матеріальна матриця позначається \(D\) (або \(\hat{C}\)). Конкретні компоненти для ізотропної лінійної пружності див. у Лінійна пружність.

Правила для диференціальних операторів

Оператор симетричного градієнта

Для векторного поля \(\boldsymbol{u}\) оператор симетричного градієнта \(\nabla_S\) визначається як

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

У компонентній формі \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Малу деформацію \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) можна компактно подати цим оператором. Розрізнення конфігурацій (початкової/поточної), відносно яких беруться градієнти при скінченних деформаціях, розглянуто в розділі Рух, деформування та деформація.

Матеріальна похідна за часом

Матеріальна похідна за часом величини \(A\) (похідна за часом уздовж тієї самої матеріальної точки) позначається крапкою зверху, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Швидкість і прискорення дотримуються цього правила.

Пов’язані теми