Перейти до змісту

Translation update pending

The Ukrainian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Перелік позначень фізичних величин

На цій сторінці наведено позначення фізичних величин, що використовуються в теоретичному посібнику FrontISTR. Правила позначень (жирне накреслення для векторів і тензорів, правило підсумовування Ейнштейна та позначення Фойгта) див. у розділі Тензорні позначення та математичні основи.

Конфігурації та системи координат

Позначення Опис
\(\boldsymbol{X}\) Вектор положення матеріальної точки у відліковій (початковій) конфігурації (матеріальні координати)
\(\boldsymbol{x}\) Вектор положення матеріальної точки в поточній конфігурації (просторові координати)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Відображення руху: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Область, яку займає тіло у відліковій конфігурації
\(\Omega\) Область, яку займає тіло в поточній конфігурації
\(\Gamma_0\) Межа області \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Межа області \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Геометрична (за переміщенням) межа: межа в поточній/відліковій конфігурації, на якій задано \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Механічна межа: межа в поточній/відліковій конфігурації, на якій задано \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (або \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\) Зовнішній одиничний вектор нормалі до поверхні в поточній конфігурації
\(\boldsymbol{N}\) Зовнішній одиничний вектор нормалі до поверхні у відліковій конфігурації
\(t\) Час

Умова позначень: фізичні величини у відліковій конфігурації позначаються великими літерами або нижнім індексом \(0\), а величини в поточній конфігурації — малими літерами.

Час і прирости (інкрементний аналіз)

Позначення Опис
\(\Delta t\) Приріст часу: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Фізична величина в момент часу \(t\) (лівий верхній індекс). Приклад: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) — напруження Коші в момент часу \(t\)
\(^{t}\Omega\) Область поточної конфігурації в момент часу \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Межа поточної конфігурації в момент часу \(t\)

Умова позначень: в інкрементному аналізі стан до моменту часу \(t\) вважається відомим, а стан у момент \(t + \Delta t\) визначається як невідомий. Лівий верхній індекс опускається, якщо час не потрібно вказувати явно. Формулювання, що використовує відлікову конфігурацію \(\Omega_0\) як базову, називається повним лагранжевим формулюванням, а формулювання, що використовує поточну конфігурацію \(^{t}\Omega\) на початку приросту як базову, — оновленим лагранжевим формулюванням.

Переміщення, швидкість, прискорення та об’ємна сила

Позначення Опис
\(\boldsymbol{u}\) Вектор переміщення: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Переміщення, задане на геометричній межі \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Віртуальне переміщення (пробна функція): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) на \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Вектор швидкості: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Вектор прискорення: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Об’ємна сила (на одиницю маси)
\(\boldsymbol{t}\) Вектор поверхневої сили (на одиницю площі): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Поверхнева сила, задана на механічній межі \(\Gamma_t\) (дані Неймана)

Диференціальні оператори

Позначення Опис
\(\dot{(\cdot)}\) Матеріальна похідна за часом (похідна за часом уздовж тієї самої матеріальної точки): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Градієнт у відліковій конфігурації (градієнт за матеріальними координатами \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Градієнт у поточній конфігурації (градієнт за просторовими координатами \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Оператор симетричного градієнта: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Примітка: \(\nabla_X\) і \(\nabla_x\) пов’язані співвідношенням \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Градієнт без нижнього індексу, \(\nabla\), використовується, коли конфігурація зрозуміла з контексту або коли відмінність зникає, як у задачах малих деформацій.

Тензори деформації

Позначення Опис
\(\boldsymbol{F}\) Тензор градієнта деформації: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Відношення об’ємів: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Правий тензор деформації Коші—Гріна: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Лівий тензор деформації Коші—Гріна: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Тензор градієнта швидкості: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Тензор швидкості деформації (симетрична частина \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Тензор спіну (кососиметрична частина \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Тензори деформацій

Позначення Опис
\(\boldsymbol{E}\) Тензор деформації Гріна—Лагранжа (відлікова конфігурація): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Тензор деформації Альмансі (поточна конфігурація): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Лінійна частина тензора деформації Альмансі (симетричний градієнт переміщення в поточній конфігурації): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Тензор малих деформацій (лінійне наближення): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Примітка: \(\boldsymbol{E}\) переважно використовується у повному лагранжевому формулюванні, а \(\boldsymbol{D}\) — в оновленому лагранжевому формулюванні.

Тензори напружень

Позначення Опис
\(\boldsymbol{\sigma}\) Тензор напружень Коші (істинне напруження, поточна конфігурація): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Перший тензор напружень Піоли—Кірхгофа (номінальне напруження): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Другий тензор напружень Піоли—Кірхгофа (відлікова конфігурація, симетричний): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Співвідношення перетворення між тензорами напружень:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Умова позначень: у повному лагранжевому формулюванні використовується пара \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), а в оновленому лагранжевому формулюванні — пара \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Густина та маса

Позначення Опис
\(\rho\) Масова густина в поточній конфігурації
\(\rho_0\) Масова густина у відліковій конфігурації

Закон збереження маси: \(\rho_0 = J\rho\).

Константи матеріалу (лінійна пружність)

Позначення Опис
\(E\) Модуль Юнга
\(\nu\) Коефіцієнт Пуассона
\(\lambda\) Перша константа Ламе: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Друга константа Ламе (модуль зсуву): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Тензор пружності (четвертого рангу): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), компоненти \(C_{ijkl}\)
\(D\) (або \(\hat{\tilde{C}}\)) Матриця матеріалу (позначення Фойгта, \(6\times6\) у 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Компоненти тензора пружності для ізотропного лінійно-пружного матеріалу:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Гіперпружні матеріали

Позначення Опис
\(W(\boldsymbol{C})\) Функція пружного потенціалу (функція густини енергії деформації)
\(I_1, I_2, I_3\) Головні інваріанти правого тензора Коші—Гріна \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Зведені інваріанти \(\boldsymbol{C}\) (із відокремленою об’ємною зміною)
\(C_1, C_2\) Константи матеріалу моделі Муні—Рівліна
\(D\) Константа матеріалу, пов’язана з об’ємною пружністю

Пружнопластичні матеріали

Позначення Опис
\(\boldsymbol{D}^e\) Пружна складова тензора швидкості деформації
\(\boldsymbol{D}^p\) Пластична складова тензора швидкості деформації
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Функція текучості
\(\kappa\) Внутрішня змінна, що характеризує пластичний стан (змінна ізотропного зміцнення)
\(\lambda^p\) Пластичний множник (множник швидкості пластичної деформації): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Пластичний потенціал (\(\Theta = F\) для асоційованого закону течії)
\(\bar{\sigma}\) Еквівалентне напруження (наприклад, напруження Мізеса)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Еквівалентна пластична деформація
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Функція ізотропного зміцнення

Умова доповнювальності: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Метод скінченних елементів

Позначення Опис
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Області в поточній та відліковій конфігураціях, апроксимовані скінченно-елементною дискретизацією: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Область елемента в поточній та відліковій конфігураціях
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Частина межі елемента, що належить механічній межі
\(\boldsymbol{r}\) Природні координати (локальні координати елемента)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Точка в природних координатах, що відповідає вузлу \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Функція форми, що відповідає вузлу \(\alpha\) елемента \(e\)
\(n_e\) Кількість вузлів, що утворюють елемент
\(n_g\) Загальна кількість глобальних вузлів
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Координати та переміщення вузла елемента \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Вектори координат і переміщень вузлів елемента: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) тощо
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Глобальні вектори вузлових координат і переміщень (упорядковані спочатку за номером вузла, потім за ступенем свободи)
\(\boldsymbol{B}\) Матриця зв’язку деформацій і переміщень (B-матриця)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Матриця функцій форми: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) — блок \(d \times d\) із функцією форми \(N_\alpha^e\) для вузла \(\alpha\) на діагоналі, а \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Матриця жорсткості елемента
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Підінтегральні вирази матриці жорсткості елемента (подані у відліковій та поточній конфігураціях): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (формулювання TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (формулювання UL) Вектор внутрішніх сил елемента
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Вузлова зовнішня сила, що діє на вузол елемента \(\alpha\), і вектор зовнішніх сил у вузлах елемента: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Глобальний вектор внутрішніх сил і глобальний вектор зовнішніх сил: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); аналогічно для \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Вузлова внутрішня сила та вузлова зовнішня сила в глобальному вузлі \(i_g\) (вузлові блоки \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Глобальна матриця дотичної жорсткості: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Матриця, утворена розміщенням блока \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) у рядку \(i_g\), стовпці \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Вектор нев’язки в ітерації Ньютона—Рафсона: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Поправка в ітерації Ньютона—Рафсона (отримується розв’язанням лінійного рівняння \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) на ітерації \(i\))
\(i_g\) Номер глобального вузла (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Номер глобального вузла, що відповідає локальному номеру вузла \(\alpha\) елемента \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Множина пар \((e, \alpha)\), що відповідають номеру глобального вузла \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Використовується під час складання
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Множина трійок \((e, \alpha, \beta)\), що відповідають парі номерів глобальних вузлів \((i_g, i_h)\); використовується для складання матриці жорсткості
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Індекси вузлів, що утворюють елемент
\(i, j, k, l, \ldots\) Індекси ступенів свободи (\(1, 2, 3\) у 3D)

Вдосконалені та структурні елементи

Позначення Опис
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Матриця зв’язку деформацій і переміщень з об’ємною частиною, модифікованою методом B-bar (об’ємна компонента замінюється B-матрицею, обчисленою в центрі елемента)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Градієнт деформації з об’ємною частиною, модифікованою методом F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Відношення об’ємів градієнта деформації, обчисленого в центрі елемента \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Вектор внутрішніх ступенів свободи для елемента з несумісними модами (коефіцієнти додаткових мод переміщення, що не забезпечують неперервність на межі елемента)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Функції форми для несумісних мод: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Товщина оболонкового елемента
\(A\) Площа поперечного перерізу балкового елемента
\(I\) Другий момент площі поперечного перерізу балкового елемента (відносно локальних осей \(y\) і \(z\) позначається \(I_y\) та \(I_z\))
\(G\) Модуль зсуву: \(G = E/[2(1+\nu)]\)
\(L\) Довжина балкового елемента
\(A_s\) Площа зсуву поперечного перерізу балкового елемента (у FrontISTR приймається \(A_s = A\))
\(\Phi_y, \Phi_z\) Коефіцієнти, що описують внесок зсувної деформації в балці Тимошенка: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\), \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\)

Пов’язані теми