Перелік позначень фізичних величин
На цій сторінці наведено позначення фізичних величин, що використовуються в теоретичному посібнику FrontISTR. Правила позначень (жирне накреслення для векторів і тензорів, правило підсумовування Ейнштейна та позначення Фойгта) див. у розділі Тензорні позначення та математичні основи.
Конфігурації та системи координат
| Позначення | Опис |
| \(\boldsymbol{X}\) | Вектор положення матеріальної точки у відліковій (початковій) конфігурації (матеріальні координати) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Вектор положення матеріальної точки в поточній конфігурації (просторові координати) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Відображення руху: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Область, яку займає тіло у відліковій конфігурації |
| \(\Omega\) | Область, яку займає тіло в поточній конфігурації |
| \(\Gamma_0\) | Межа області \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Межа області \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Геометрична (за переміщенням) межа: межа в поточній/відліковій конфігурації, на якій задано \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Механічна межа: межа в поточній/відліковій конфігурації, на якій задано \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (або \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) |
| \(\boldsymbol{n}\) | Зовнішній одиничний вектор нормалі до поверхні в поточній конфігурації |
| \(\boldsymbol{N}\) | Зовнішній одиничний вектор нормалі до поверхні у відліковій конфігурації |
| \(t\) | Час |
Умова позначень: фізичні величини у відліковій конфігурації позначаються великими літерами або нижнім індексом \(0\), а величини в поточній конфігурації — малими літерами.
Час і прирости (інкрементний аналіз)
| Позначення | Опис |
| \(\Delta t\) | Приріст часу: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Фізична величина в момент часу \(t\) (лівий верхній індекс). Приклад: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) — напруження Коші в момент часу \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Область поточної конфігурації в момент часу \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Межа поточної конфігурації в момент часу \(t\) |
Умова позначень: в інкрементному аналізі стан до моменту часу \(t\) вважається відомим, а стан у момент \(t + \Delta t\) визначається як невідомий. Лівий верхній індекс опускається, якщо час не потрібно вказувати явно. Формулювання, що використовує відлікову конфігурацію \(\Omega_0\) як базову, називається повним лагранжевим формулюванням, а формулювання, що використовує поточну конфігурацію \(^{t}\Omega\) на початку приросту як базову, — оновленим лагранжевим формулюванням.
Переміщення, швидкість, прискорення та об’ємна сила
| Позначення | Опис |
| \(\boldsymbol{u}\) | Вектор переміщення: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Переміщення, задане на геометричній межі \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Віртуальне переміщення (пробна функція): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) на \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Вектор швидкості: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Вектор прискорення: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Об’ємна сила (на одиницю маси) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Вектор поверхневої сили (на одиницю площі): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Поверхнева сила, задана на механічній межі \(\Gamma_t\) (дані Неймана) |
Диференціальні оператори
| Позначення | Опис |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Матеріальна похідна за часом (похідна за часом уздовж тієї самої матеріальної точки): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Градієнт у відліковій конфігурації (градієнт за матеріальними координатами \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Градієнт у поточній конфігурації (градієнт за просторовими координатами \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Оператор симетричного градієнта: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Примітка: \(\nabla_X\) і \(\nabla_x\) пов’язані співвідношенням \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Градієнт без нижнього індексу, \(\nabla\), використовується, коли конфігурація зрозуміла з контексту або коли відмінність зникає, як у задачах малих деформацій.
Тензори деформації
| Позначення | Опис |
| \(\boldsymbol{F}\) | Тензор градієнта деформації: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Відношення об’ємів: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Правий тензор деформації Коші—Гріна: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Лівий тензор деформації Коші—Гріна: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Тензор градієнта швидкості: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Тензор швидкості деформації (симетрична частина \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Тензор спіну (кососиметрична частина \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Тензори деформацій
| Позначення | Опис |
| \(\boldsymbol{E}\) | Тензор деформації Гріна—Лагранжа (відлікова конфігурація): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Тензор деформації Альмансі (поточна конфігурація): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Лінійна частина тензора деформації Альмансі (симетричний градієнт переміщення в поточній конфігурації): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Тензор малих деформацій (лінійне наближення): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Примітка: \(\boldsymbol{E}\) переважно використовується у повному лагранжевому формулюванні, а \(\boldsymbol{D}\) — в оновленому лагранжевому формулюванні.
Тензори напружень
| Позначення | Опис |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Тензор напружень Коші (істинне напруження, поточна конфігурація): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Перший тензор напружень Піоли—Кірхгофа (номінальне напруження): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Другий тензор напружень Піоли—Кірхгофа (відлікова конфігурація, симетричний): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Співвідношення перетворення між тензорами напружень:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Умова позначень: у повному лагранжевому формулюванні використовується пара \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), а в оновленому лагранжевому формулюванні — пара \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Густина та маса
| Позначення | Опис |
| \(\rho\) | Масова густина в поточній конфігурації |
| \(\rho_0\) | Масова густина у відліковій конфігурації |
Закон збереження маси: \(\rho_0 = J\rho\).
Константи матеріалу (лінійна пружність)
| Позначення | Опис |
| \(E\) | Модуль Юнга |
| \(\nu\) | Коефіцієнт Пуассона |
| \(\lambda\) | Перша константа Ламе: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Друга константа Ламе (модуль зсуву): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Тензор пружності (четвертого рангу): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), компоненти \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (або \(\hat{\tilde{C}}\)) | Матриця матеріалу (позначення Фойгта, \(6\times6\) у 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Компоненти тензора пружності для ізотропного лінійно-пружного матеріалу:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Гіперпружні матеріали
| Позначення | Опис |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Функція пружного потенціалу (функція густини енергії деформації) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Головні інваріанти правого тензора Коші—Гріна \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Зведені інваріанти \(\boldsymbol{C}\) (із відокремленою об’ємною зміною) |
| \(C_1, C_2\) | Константи матеріалу моделі Муні—Рівліна |
| \(D\) | Константа матеріалу, пов’язана з об’ємною пружністю |
Пружнопластичні матеріали
| Позначення | Опис |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Пружна складова тензора швидкості деформації |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Пластична складова тензора швидкості деформації |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Функція текучості |
| \(\kappa\) | Внутрішня змінна, що характеризує пластичний стан (змінна ізотропного зміцнення) |
| \(\lambda^p\) | Пластичний множник (множник швидкості пластичної деформації): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Пластичний потенціал (\(\Theta = F\) для асоційованого закону течії) |
| \(\bar{\sigma}\) | Еквівалентне напруження (наприклад, напруження Мізеса) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Еквівалентна пластична деформація |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Функція ізотропного зміцнення |
Умова доповнювальності: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Метод скінченних елементів
| Позначення | Опис |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Області в поточній та відліковій конфігураціях, апроксимовані скінченно-елементною дискретизацією: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Область елемента в поточній та відліковій конфігураціях |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Частина межі елемента, що належить механічній межі |
| \(\boldsymbol{r}\) | Природні координати (локальні координати елемента) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Точка в природних координатах, що відповідає вузлу \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Функція форми, що відповідає вузлу \(\alpha\) елемента \(e\) |
| \(n_e\) | Кількість вузлів, що утворюють елемент |
| \(n_g\) | Загальна кількість глобальних вузлів |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Координати та переміщення вузла елемента \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Вектори координат і переміщень вузлів елемента: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) тощо |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Глобальні вектори вузлових координат і переміщень (упорядковані спочатку за номером вузла, потім за ступенем свободи) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Матриця зв’язку деформацій і переміщень (B-матриця) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Матриця функцій форми: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) — блок \(d \times d\) із функцією форми \(N_\alpha^e\) для вузла \(\alpha\) на діагоналі, а \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Матриця жорсткості елемента |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Підінтегральні вирази матриці жорсткості елемента (подані у відліковій та поточній конфігураціях): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (формулювання TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (формулювання UL) | Вектор внутрішніх сил елемента |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Вузлова зовнішня сила, що діє на вузол елемента \(\alpha\), і вектор зовнішніх сил у вузлах елемента: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Глобальний вектор внутрішніх сил і глобальний вектор зовнішніх сил: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); аналогічно для \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Вузлова внутрішня сила та вузлова зовнішня сила в глобальному вузлі \(i_g\) (вузлові блоки \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Глобальна матриця дотичної жорсткості: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Матриця, утворена розміщенням блока \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) у рядку \(i_g\), стовпці \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Вектор нев’язки в ітерації Ньютона—Рафсона: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Поправка в ітерації Ньютона—Рафсона (отримується розв’язанням лінійного рівняння \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) на ітерації \(i\)) |
| \(i_g\) | Номер глобального вузла (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Номер глобального вузла, що відповідає локальному номеру вузла \(\alpha\) елемента \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Множина пар \((e, \alpha)\), що відповідають номеру глобального вузла \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Використовується під час складання |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Множина трійок \((e, \alpha, \beta)\), що відповідають парі номерів глобальних вузлів \((i_g, i_h)\); використовується для складання матриці жорсткості |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Індекси вузлів, що утворюють елемент |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Індекси ступенів свободи (\(1, 2, 3\) у 3D) |
Вдосконалені та структурні елементи
| Позначення | Опис |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Матриця зв’язку деформацій і переміщень з об’ємною частиною, модифікованою методом B-bar (об’ємна компонента замінюється B-матрицею, обчисленою в центрі елемента) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Градієнт деформації з об’ємною частиною, модифікованою методом F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Відношення об’ємів градієнта деформації, обчисленого в центрі елемента \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Вектор внутрішніх ступенів свободи для елемента з несумісними модами (коефіцієнти додаткових мод переміщення, що не забезпечують неперервність на межі елемента) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Функції форми для несумісних мод: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Товщина оболонкового елемента |
| \(A\) | Площа поперечного перерізу балкового елемента |
| \(I\) | Другий момент площі поперечного перерізу балкового елемента |
| \(G\) | Модуль зсуву: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Пов’язані теми