Перейти до змісту

Методи динамічного аналізу

У цьому розділі описано методи аналізу динамічних задач із використанням прямого інтегрування за часом. Нижче наведено формулювання неявного та явного методів.

Дискретизація рівняння руху (спільна схема)

TBD (буде доповнено на наступному етапі).

Неявний метод (метод Ньюмарка-β)

Для динамічних задач для розв’язання наведеного нижче рівняння руху застосовується метод прямого інтегрування за часом.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Тут \(M\) — матриця мас, \(C\) — матриця демпфування, \(Q\) — вектор внутрішніх сил, а \(F\) — вектор зовнішніх сил. Припускається, що матриця мас залишається сталою незалежно від деформації навіть у нелінійному аналізі.

Зміни переміщення, швидкості та прискорення протягом кроку часу \(\Delta t\) апроксимуються методом Ньюмарка-\(\beta\), як показано в рівнянні \(\eqref{eq:2.5.2}\) та рівнянні \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Тут \(\gamma\) і \(\beta\) — параметри методу Ньюмарка-\(\beta\).

Як відомо, наведені нижче значення \(\gamma\) і \(\beta\) відповідають відповідно методу лінійного прискорення та правилу трапецій.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (метод лінійного прискорення)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (правило трапецій)

Підстановка рівняння \(\eqref{eq:2.5.2}\) та рівняння \(\eqref{eq:2.5.3}\) у рівняння \(\eqref{eq:2.5.1}\) дає таке рівняння.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Зокрема, для лінійної задачі \(K_L\) є лінійною матрицею жорсткості, а \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Підстановка цього співвідношення у наведене вище рівняння дає таке рівняння.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

У точках, де прискорення задано як геометричну граничну умову, переміщення отримується з рівняння \(\eqref{eq:2.5.2}\) так:

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Аналогічно, у точках, де задано швидкість, переміщення отримується з рівняння \(\eqref{eq:2.5.6}\) так:

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Тут \(u_{is}(t+\Delta{t})\) — вузлове переміщення в момент часу \(t+\Delta{t}\), а \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) — вузлова швидкість в момент часу \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) — вузлове прискорення в момент часу \(t+\Delta{t}\), \(i\) — номер ступеня свободи вузла, а \(s\) — номер вузла. Члени маси та демпфування обробляються таким чином.

Обробка члена маси

Зазвичай матриця мас розглядається як зосереджена матриця мас.

Обробка члена демпфування

Член демпфування розглядається як демпфування Релея, виражене рівнянням \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Тут \(R_m\) і \(R_k\) — параметри демпфування Релея.

Значення, задані в картці !DYNAMIC, а саме \(R_m\) і \(R_k\), однаково застосовуються до всієї моделі. Щоб призначити різні значення \(R_m\) і \(R_k\) для кожного матеріалу, у блоці !MATERIAL цього матеріалу задайте картку !DAMPING. Для елементів, що належать матеріалу, для якого задано !DAMPING, матриця демпфування елемента обчислюється з матриці мас елемента \(M_i\) і дотичної матриці жорсткості \(K_i\) як \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) та збирається у глобальну матрицю демпфування. Ця функція діє лише для неявного методу.

Явний метод (метод центральних різниць)

Явний метод ґрунтується на наведеному нижче рівнянні руху в момент часу t.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Якщо подати переміщення в моменти часу \(t + \Delta t\) і \(t - \Delta t\) рядами Тейлора відносно моменту \(t\) та залишити члени до другого порядку за \(\Delta t\), отримаємо такі рівняння.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Віднімання та додавання рівняння \(\eqref{eq:2.5.3}\) і рівняння \(\eqref{eq:2.5.4}\) дає такі рівняння.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Підстановка рівняння \(\eqref{eq:2.5.12}\) та рівняння \(\eqref{eq:2.5.13}\) у рівняння \(\eqref{eq:2.5.9}\) дає таке рівняння.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Зокрема, для лінійної задачі \(Q(t) = K_L U(t)\), і наведене вище рівняння набуває вигляду

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Якщо матрицю мас \(M\) прийняти зосередженою, а матрицю демпфування — пропорційною матрицею демпфування \(C = R_m M\), рівняння \(\eqref{eq:2.5.15}\) не потребує розв’язання системи одночасних рівнянь.

Тому з рівняння \(\eqref{eq:2.5.15}\) значення \(U(t+\Delta t)\) можна отримати за таким рівнянням.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Пов’язані теми