Перейти до змісту

Аналіз частотної характеристики

Постановка задачі

Аналіз частотної характеристики оцінює амплітуду та фазу усталеного відгуку системи в частотній області, коли зовнішня сила гармонічно змінюється з часом. Оскільки рівняння руху розглядається в різних постановках з урахуванням демпфування та без нього, у цьому розділі спочатку виводяться власні форми з вільних коливань без демпфування, а потім вони використовуються як модальний базис для розкладу гармонічного відгуку з демпфуванням.

Вільні коливання без демпфування та власні форми

Якщо демпфування не враховується, рівняння руху має такий вигляд.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Розкладаючи це за власними формами, одержуємо

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Підставляючи це в рівняння \(\eqref{eq:2.6.1}\), одержуємо

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Одержуємо узагальнену задачу на власні значення. Чисельні методи її розв’язання (обернені ітерації зі зсувом і метод Ланцоша) розглядаються в модальному аналізі. У цьому розділі узагальнюються властивості отриманих власних частот і власних форм, що використовуються в подальшому розкладі гармонічного відгуку.

Дійсність власних частот

Дійсність цієї власної частоти можна довести так. Покладемо \(\omega_j^2 = \lambda_j\) і візьмемо комплексно спряжене до рівняння \(\eqref{eq:2.6.3}\), одержуючи рівняння \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Помноживши це на \(\overline{U}_J^T\), одержуємо

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

З рівняння \(\eqref{eq:2.6.5}\) маємо

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Оскільки матриця мас симетрична додатно визначена, для ненульового власного вектора виконується

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Отже,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

і тому \(\omega_j^2 = \lambda_j\) є дійсним числом.

Ортогональність і нормування власних форм

Розглянемо дві різні форми.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Звідси випливає

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

і, якщо власні значення різні,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Отже, різні власні форми ортогональні відносно матриці мас. Для тієї самої форми нормування відносно матриці мас (рівняння \(\eqref{eq:2.6.12}\)) спрощує подальші операції.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Гармонічний відгук з демпфуванням

Далі наведено формулювання аналізу частотної характеристики з урахуванням демпфування. Рівняння руху, що розглядається, наведено в рівнянні \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Припускається, що член демпфування має тип Релея і може бути поданий у вигляді рівняння \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

За допомогою власних векторів, отриманих під час модального аналізу, вектор переміщень у момент часу t можна розкласти у вигляді рівняння \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Нехай при цьому член зовнішньої сили має гармонічну форму

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

У цьому випадку визначимо \(b_{j}(t)\). Оскільки рівняння руху \(\eqref{eq:2.6.13}\) набуває форми вимушених коливань,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

виконується. Дійсна та уявна частини коефіцієнта розкладу \(b_{j}(t)\) мають вигляд рівнянь \(\eqref{eq:2.6.18}i\) та \(\eqref{eq:2.6.19}\) відповідно.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Одержуємо шукані коефіцієнти гармонічного відгуку.

Пов’язані теми