Перевірка на моделях простої форми¶

Пружний статичний аналіз¶

У цій перевірці використовується консольна балка з сіткою, показаною на рис. 9.1.1. Для умов перевірки виконано аналіз семи випадків exA–exG зі зміненими умовами навантаження, показаними на рис. 9.1.2. Випадок exG має ті самі умови навантаження, що й exA, але використовується прямий розв’язувач.

Результати перевірки для кожного випадку наведено в таблицях 9.1.1–9.1.7.

Рис. 9.1.1 Приклад сітки консольної балки (гексаедральні елементи)

	(a) exA,G: зосереджене навантаження
	(b) exD: гравітація
	(c) exB: поверхнево-розподілене навантаження
	(d) exE: відцентрова сила
	(e) exC: об’ємне навантаження
	(f) exF: теплове навантаження

Рис. 9.1.2 Умови перевірки моделі консольної балки

Таблиця 9.1.1 exA: результати перевірки задачі із зосередженим навантаженням

Таблиця 9.1.2 exB: результати перевірки задачі з поверхнево-розподіленим навантаженням

Таблиця 9.1.3 exC: результати перевірки задачі з об’ємним навантаженням

Таблиця 9.1.4 exD: результати перевірки задачі з гравітаційним навантаженням

Таблиця 9.1.5 exE: результати перевірки задачі з відцентровою силою

Таблиця 9.1.6 exF: результати перевірки задачі з термонапруженим навантаженням

Таблиця 9.1.7 exG: результати перевірки прямого методу (задача із зосередженим навантаженням)

Нелінійний статичний аналіз¶

(2-1) exnl1: Геометрично нелінійний аналіз¶

Модель перевірки для випадку exI ідентична моделям для випадків exA–G. Рис. 9.1.3 показано схему моделі перевірки. Для цієї моделі виконується геометрично нелінійний аналіз. Результати перевірки наведено в табл. 9.1.8.

У нелінійному розрахунку використовується опорне навантаження \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), із приростом навантаження \(0.1P\) протягом 10 кроків навантаження.

Рис. 9.1.3 Модель перевірки

Таблиця 9.1.8 exI: результати перевірки (історія максимального прогину)

(2-2) exnl2: Пружнопластичний деформаційний аналіз¶

Ця перевірочна задача базується на тесті NL1 від NAFEMS (National Agency for Finite Element Methods and Standards, U.K.), і виконує пружнопластичний деформаційний аналіз з урахуванням геометричної нелінійності та кількох законів зміцнення. Розрахункову модель показано на рис. 9.1.4.

Рис. 9.1.4 Модель пружнопластичного деформаційного аналізу

(1) Умови перевірки

(2) Граничні умови

Усі вузли, не наведені тут, повністю закріплені. Теоретичний розв’язок цієї задачі такий.

Для порівняння результати розрахунку такі.

Контактний аналіз (1)¶

Ця перевірочна задача базується на контактному патч-тесті CGS-4 від National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), і перевіряє функцію контакту з тертям і кінцевим ковзанням. На рис. 9.1.5 показано модель аналізу.

Рис. 9.1.5 Модель контактного аналізу

Умова рівноваги для цієї задачі має такий вигляд.

На стадії зчеплення сила тертя визначається таким співвідношенням:

На стадії ковзання вона визначається так:

Порівняння результатів розрахунку з аналітичним розв’язком наведено нижче.

Контактний аналіз (2): контактна задача Герца¶

У цій перевірці аналізується контактна задача Герца для нескінченно довгого циліндра та нескінченної площини. Радіус циліндра становить \(R = 8\ \mathrm{mm}\), а модуль Юнга \(E\) і коефіцієнт Пуассона \(\mu\) деформівного тіла дорівнюють відповідно \(1100\ \mathrm{MPa}\) і \(0.0\). Крім того, припускається, що площа контакту достатньо мала порівняно з радіусом циліндра; з урахуванням симетрії задачі аналіз виконується на чверті моделі циліндра.

Рис. 9.1.6 Розрахункова модель контактної задачі Герца

(1) Результати перевірки радіуса контакту¶

Теоретична формула для обчислення радіуса контакту має такий вигляд:

де використовується співвідношення:

За цих умов розрахунку, коли тиск \(F=100\), радіус контакту становить \(a=1.36\).

Рис. 9.1.7 показано еквівалентні вузлові сили в контактних точках. Радіус контакту отримують екстраполяцією цього розподілу вузлових сил.

Рис. 9.1.7 Розподіл еквівалентних вузлових сил у контактних точках

(2) Результати перевірки максимального дотичного напруження¶

У теоретичному розв’язку в положенні контакту

максимальне дотичне напруження визначається співвідношенням:

За цих умов розрахунку маємо:

Для порівняння результат розрахунку становить:

Рис. 9.1.8 Розподіл дотичного напруження (максимальне значення=15.6)

(3) Модальний аналіз¶

Моделі перевірки для випадків exJ–K ідентичні моделям для випадків exA–G. Рис. 9.1.9 показано схему моделі перевірки. Для цієї моделі виконується модальний аналіз. Обчислюються перші три власні частоти. У випадку exJ використовується ітераційний розв’язувач, а у випадку exK — прямий розв’язувач. Результати перевірки наведено в табл. 9.1.9–9.1.12.

Рис. 9.1.9 Модель перевірки

Власні частоти консольної балки визначаються такими рівняннями.

Перша мода

Друга мода

Третя мода

Характеристичні значення моделі перевірки такі:

Отже, перші три власні частоти такі.

Таблиця 9.1.9 exJ: результати перевірки ітераційним методом (перша власна частота)

Таблиця 9.1.10 exJ: результати перевірки ітераційним методом (друга власна частота)

Примітка) У тривимірній моделі перші дві моди є виродженими. Тому третю обчислену власну частоту в таблиці наведено як другу власну частоту.

Таблиця 9.1.11 exK: результати перевірки прямим методом (перша власна частота)

Таблиця 9.1.12 exK: результати перевірки прямим методом (друга власна частота)

Примітка) У тривимірній моделі перші дві моди є виродженими. Тому третю обчислену власну частоту в таблиці наведено як другу власну частоту.

(4) Аналіз теплопровідності¶

Спільні умови стаціонарного аналізу теплопровідності показано на рис. 9.1.10. Окремі умови для випадків перевірки exM–exT показано на рис. 9.1.11. Використовується розбиття сітки, еквівалентне exA.

У таблицях 9.1.13–9.1.20 наведено результати перевірки для кожного випадку у вигляді таблиць розподілу температури.

Температурна залежність теплопровідності

Рис. 9.1.10 Умови перевірки стаціонарного аналізу теплопровідності

exM: Лінійний матеріал
exN: задача із заданою температурою
exO: задача із зосередженим тепловим потоком
exP: задача з розподіленим тепловим потоком
exQ: задача конвективної теплопередачі
exR: задача радіаційної теплопередачі
exS: задача об’ємного тепловиділення
exT: задача внутрішнього зазору

Рис. 9.1.11 Умови аналізу для кожного випадку перевірки

Таблиця 9.1.13 exM: результати перевірки стаціонарного розрахунку з лінійним матеріалом

Таблиця 9.1.14 exN: результати перевірки задачі із заданою температурою

Таблиця 9.1.15 exO: результати перевірки задачі із зосередженим тепловим потоком

Таблиця 9.1.16 exP: результати перевірки задачі з розподіленим тепловим потоком

Таблиця 9.1.17 exQ: результати перевірки задачі конвективної теплопередачі

Таблиця 9.1.18 exR: результати перевірки задачі радіаційної теплопередачі

Таблиця 9.1.19 exS: результати перевірки задачі об’ємного тепловиділення

Таблиця 9.1.20 exT: результати перевірки задачі внутрішнього зазору

Лінійний динамічний аналіз¶

У exW виконується лінійний динамічний аналіз тієї самої консольної балки, що й у пункті (1). Рис. 9.1.12 показано умови перевірки. Тут для однакового розбиття сітки перевірено вплив кроку часу на результати. Як методи динамічного аналізу використовуються обидва підходи — неявний і явний, а типи елементів — 361 і 342. Результати перевірки наведено в таблиці 9.1.22 та на рисунках 9.1.13–9.1.15.

Розрахункова модель

Часова історія зовнішньої сили F

Теоретичний розв’язок для переміщення точки збудження:

де

Рис. 9.1.12 Умови перевірки лінійного динамічного аналізу

Умови перевірки:

Таблиця 9.1.21 Умови перевірки лінійного динамічного аналізу (продовження)

Таблиця 9.1.22 exW: результати перевірки лінійного динамічного аналізу консольної балки

Рис. 9.1.13 Деформована форма консольної балки та розподіл еквівалентного напруження

(a) Тип елемента 361:Неявний метод

(b) Тип елемента 361:Явний метод

Рис. 9.1.14 Часова історія переміщення точки збудження \(u_z\)

(a) Тип елемента 342:Неявний метод

(b) Тип елемента 342:Явний метод

Рис. 9.1.15 Часова історія переміщення точки збудження \(u_z\)

Аналіз частотної характеристики¶

У цій перевірці виконується аналіз частотної характеристики консольної балки, а результати перевіряються порівнянням із результатами універсального комерційного розв’язувача. Нижче наведено розрахункову модель та умови перевірки.

Умови аналізу:

Рис. 9.1.16 Розрахункова модель (лінійні тетраедральні елементи (126 елементів, 55 вузлів))

Нижче наведено перші п’ять власних частот, отриманих із модального аналізу, та частотну характеристику точки збудження.

Рис. 9.1.17 Частотна залежність амплітуди переміщення точки збудження