غیر خطی تکرار اور وقتی تکامل¶

FrontISTR کے تجزیے میں ہر مرحلہ کے اضافہ کنٹرول کے اندر، ہر ذیلی مرحلہ پر غیر خطی تکرار اور وقتی تکامل کو ملا کر حل آگے بڑھایا جاتا ہے۔ اس صفحے میں بیرونی مرحلہ کنٹرول اور اندرونی خطی حل کنندہ کے درمیان واقع تکراری ساخت، یعنی Newton-Raphson تکرار، تماس کی تکرار، حرکی تجزیے کا وقتی تکامل، اور غیر مستقل حرارت ترسیل میں وقت کے ساتھ پیش رفت اور غیر خطی تکرار کا خاکہ بیان کیا گیا ہے۔

افعال کا مجموعی خاکہ¶

مرحلہ کے اندر ہونے والا غیر خطی حل اور وقتی تکامل، بیرونی سطح سے اندرونی سطح تک کئی در تو در حلقوں پر مشتمل ہوتا ہے۔ ہر سطح کا کردار درج ذیل ہے۔

تجزیے کی قسم کے لحاظ سے ان میں سے استعمال ہونے والی سطحیں مختلف ہوتی ہیں۔

تماس کی قسم اور الگورتھم منتخب کرنے کے لیے تماس اور مدفونیت دیکھیں۔ یہاں یہ بتایا جاتا ہے کہ منتخب الگورتھم تکراری حلقوں کی صورت میں کس طرح تشکیل پاتا ہے۔

حل کا طریقہ منتخب کرنا¶

تکراری ساخت تجزیے کی قسم (تجزیے کی اقسام)، غیر خطیت کی موجودگی (ہندسی غیر خطیت، مادّی غیر خطیت، تماس)، اور تماس الگورتھم (SLAGRANGE یا ALAGRANGE) سے خودکار طور پر طے ہوتی ہے۔ صارف براہِ راست بنیادی طور پر زیادہ سے زیادہ تکراروں کی تعداد اور تقارب کی حدیں ایڈجسٹ کرتا ہے۔

ایڈجسٹمنٹ کے عمومی اصول یہ ہیں۔

• معیاری تجزیوں میں تکراروں کی زیادہ سے زیادہ تعداد عموماً طے شدہ قدر کے ساتھ کافی ہوتی ہے۔ اگر مشکل مسئلہ "زیادہ سے زیادہ تکرار تک پہنچنے کے باوجود عدم تقارب" پر ختم ہو تو پہلے کمیِ گام (مرحلہ کنٹرول) استعمال کریں، اور اس کے باوجود بہتری نہ ہو تو حد بڑھائیں۔
• تقارب کی حدیں استحکام اور حسابی وقت کے توازن کے مطابق مقرر کریں۔ سخت حد سے توازن کی درستگی بڑھتی ہے مگر تکراروں کی تعداد بھی بڑھتی ہے۔ تماس یا Lagrange ضارب والے تجزیے میں باقیہ معیار کے ساتھ نقل مکانی اضافہ اور Lagrange معیار استعمال کرنے سے استحکام بہتر ہو سکتا ہے۔
• حرکی تجزیے کے وقتی تکامل کے پیرامیٹرز (Newmark-β عددی سر) کے لیے پہلے معیاری امتزاج استعمال کریں؛ ارتعاشی ردِعمل کی عددی تخمید خصوصیات بدلنی ہوں تو انہیں ایڈجسٹ کریں۔
• غیر مستقل حرارت ترسیل میں، ہموار درجۂ حرارت تبدیلی کے لیے Crank-Nicolson اور تیز تبدیلی یا طویل مدتی استحکام کو ترجیح دینے کے لیے Backward Euler موزوں ہے۔

جامد تجزیے میں Newton-Raphson تکرار¶

غیر خطی جامد تجزیے میں ہندسی یا مادّی غیر خطیت والی توازن مساوات کو Newton-Raphson طریقے سے تکراری طور پر حل کیا جاتا ہے۔ ہر تکرار درج ذیل ترتیب سے چلتی ہے۔

1. موجودہ حل پر باقیہ سمتیہ \(\boldsymbol{R}\) کی قدر نکالی جاتی ہے۔
2. مماسی سختی میٹرکس \(\boldsymbol{K}_T\) تیار کیا جاتا ہے۔
3. خطی نظام \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) حل کر کے نقل مکانی تصحیح \(\Delta \boldsymbol{u}\) حاصل کیا جاتا ہے۔
4. حل کو \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\) سے اپ ڈیٹ کیا جاتا ہے۔
5. تقارب کی حدوں سے موازنہ کیا جاتا ہے؛ تقارب حاصل ہو تو تکرار ختم ہوتی ہے، ورنہ مرحلہ 1 پر واپس جاتے ہیں۔

خطی نظام کا حل (مرحلہ 3) خطی حل کنندہ انجام دیتا ہے۔ حل کنندہ اور پیش شرط کار کے انتخاب کے لیے حل کنندہ اور پیش شرطی دیکھیں۔

تکرار کا کنٹرول !STEP کے مرحلہ-کنٹرول پیرامیٹرز سے کیا جاتا ہے۔ اہم قدریں درج ذیل ہیں۔

مرحلہ کنٹرول میں خودکار اضافہ اور کمیِ گام کے فیصلے کے لیے استعمال ہونے والی Newton تکراروں کی تعداد سے مراد یہی Newton تکرارات ہیں۔ کم تکرارات میں ہمگرا ہونے والے ذیلی مرحلہ کے بعد وقت کا اضافہ بڑھایا جاتا ہے، جبکہ زیادہ تکرارات لینے والے ذیلی مرحلہ کے بعد اسے کم کیا جاتا ہے۔

جامد تجزیے میں تماس کی تکرار¶

تماس کے تجزیے میں تماس کی سطحوں کا چپکنا، جدا ہونا اور پھسلنا تکرار کے دوران بدل سکتا ہے، اس لیے Newton تکرار کو تماس کی حالت اپ ڈیٹ کرنے کے عمل کے ساتھ ملا کر ترتیب دیا جاتا ہے۔ ساخت منتخب تماس-حل الگورتھم کے مطابق بدلتی ہے۔

دونوں الگورتھمز میں سب سے باہر تماس کی حالت تلاش کرنے والا حلقہ ہوتا ہے۔ ہر چکر میں اندرونی Newton تکرارات کو ہمگرا کرنے کے بعد تماس کی حالت (چپکنا/جدا ہونا) دوبارہ جانچی جاتی ہے۔ حالت بدلنے پر سختی میٹرکس کی ساخت اپ ڈیٹ کی جاتی ہے اور اندرونی تکرارات پھر چلائی جاتی ہیں۔ جب حالت پچھلی بار جیسی رہے اور تماس تقارب معیار (تماس قوت اور Lagrange ضارب کی جانچ) بھی پورا ہو، حلقہ ختم ہو جاتا ہے۔ زیادہ سے زیادہ تعداد !STEP کے MAXCONTITER سے مقرر ہوتی ہے۔

SLAGRANGE تماس میں معیاری Lagrange ضارب طریقہ کے ذریعے تماس درجاتِ آزادی کو خطی نظام میں شامل کیا جاتا ہے اور تماس-حالت تلاش حلقہ کے اندر براہِ راست Newton تکرار رکھی جاتی ہے۔ یوں دو سطحی ساخت بنتی ہے اور افزودہ Lagrange تکرار شامل نہیں ہوتی۔

ALAGRANGE تماس میں تماس-حالت تلاش حلقہ کے اندر افزودہ Lagrange تکرار، اور اس کے اندر Newton تکرار رکھی جاتی ہے، یعنی تین سطحی ساخت بنتی ہے۔ افزودہ Lagrange کی ہر تکرار میں تماس کی قید کو جرمانہ حد اور Lagrange ضارب کے امتزاج سے دوبارہ جانچ کر قید درستی بتدریج بہتر کی جاتی ہے۔ افزودہ Lagrange تکراروں کی زیادہ سے زیادہ تعداد !CONTACT_ALGO کے AUGITER سے مقرر ہوتی ہے۔

تماس کی تکرار کے اہم کنٹرول قدریں یہ ہیں۔

مرحلہ کنٹرول کی خودکار اضافہ جانچ میں تماس تکرار تعداد سے مراد وہ تکرارات ہیں جن میں یہاں بیان کردہ تماس-حالت تازہ کاری شامل ہے۔ ایسے مسائل میں جہاں چپکنے اور جدا ہونے کی حالت بار بار بدلتی ہو، تماس تکرارات عموماً بڑھتے ہیں اور اس سے خودکار اضافہ/کمیِ گام کا فیصلہ بھی متاثر ہوتا ہے۔ تماس کی قسم، جوڑا تعریف اور الگورتھم انتخاب کے لیے تماس اور مدفونیت دیکھیں۔ تماس درجاتِ آزادی والے خطی نظام کے حل کے لیے حل کنندہ اور پیش شرطی دیکھیں۔

حرکی تجزیے کا وقتی تکامل (ضمنی طریقہ)¶

حرکی تجزیے کا ضمنی طریقہ Newmark-β طریقہ استعمال کر کے ہر وقت مرحلہ پر اگلے وقت کے نقل مکانی، سمتی رفتار اور تعجیل کو آپس میں مربوط کرتا ہے اور حرکت کی مساوات کے ساتھ ملا کر وقت \(t + \Delta t\) کی حالت حاصل کرتا ہے۔ وقت کے اضافہ \(\Delta t\) پر استحکام کی پابندی نسبتاً نرم ہے، اس لیے کم تعدد والے اجزا سے غالب ساختی ردعمل کو مؤثر انداز میں حل کیا جا سکتا ہے۔

وقتی تکامل کے دو پیرامیٹرز ہیں۔

\(\beta = 1/4\) اور \(\gamma = 1/2\) کا امتزاج اوسط تعجیل طریقہ کہلاتا ہے۔ یہ غیر مشروط طور پر مستحکم اور عددی تخمید کے بغیر ایک معیاری انتخاب ہے۔ عددی تخمید شامل کرنی ہو تو \(\gamma\) کو \(1/2\) سے بڑا رکھا جاتا ہے۔ مختلف پیرامیٹر امتزاج، استحکام اور خطا کی خصوصیات کی ریاضیاتی تفصیل کے لیے نظریاتی دستی دیکھیں۔

اگر ہندسی غیر خطیت، مادّی غیر خطیت یا تماس شامل ہو تو ہر وقت مرحلہ کے اندر Newton تکرارات چلتی ہیں، اور ہر تکرار میں خطی نظام حل کر کے حالت اپ ڈیٹ کی جاتی ہے۔ تقارب کی حدود کے لیے جامد تجزیے جیسے CONVERG وغیرہ استعمال ہوتے ہیں۔ تماس والے حرکی تجزیے میں جامد تجزیے میں تماس کی تکرار جیسی تکراری ساخت وقت مرحلہ کے اندر شامل ہوتی ہے۔

حرکی تجزیے کا وقتی اضافہ بنیادی طور پر !STEP کی وقتی شرائط سے کنٹرول ہوتا ہے۔ مقرر اضافہ میں !STEP کا DTIME وقتی اضافہ اور ETIME مرحلے کا دورانیہ مقرر کرتا ہے۔ !DYNAMIC کے n_step اور t_delta اس وقت طے شدہ قدریں یا پسماندہ مطابقت کے لیے استعمال ہوتے ہیں جب !STEP نہ دیا گیا ہو۔ غیر خطی ضمنی طریقے میں !STEP کے INC_TYPE=AUTO سے خودکار اضافہ اور کمیِ گام فعال کیے جا سکتے ہیں، جس سے Newton اور تماس تکرارات کی حالت کے مطابق وقتی اضافہ بڑھتا یا گھٹتا ہے۔ مقرر یا خودکار دونوں صورتوں میں وقتی اضافہ کو تقارب اور مطلوبہ درستی دونوں کی بنیاد پر مقرر کریں۔

حرکی تجزیے کا وقتی تکامل (صریح طریقہ)¶

حرکی تجزیے کا صریح طریقہ مرکزی تفاضل طریقہ استعمال کرتے ہوئے پچھلے وقت کے نقل مکانی، سمتی رفتار اور تعجیل سے اگلی حالت براہِ راست نکالتا ہے۔ بیک وقت مساوات حل نہ کرنے کی وجہ سے فی مرحلہ حسابی لاگت کم ہوتی ہے۔ غیر خطیت موجود ہونے پر بھی ہر وقت مرحلہ پر Newton تکرارات کے بغیر ایک واحد-مرحلہ تازہ کاری ہوتا ہے۔

وقتی اضافہ کے لیے نظام کے کم ترین قدرتی دور پر مبنی استحکام حد (CFL شرط) موجود ہے۔ اس حد سے بڑا اضافہ لینے پر عددی حل غیر مستحکم ہو سکتا ہے، اس لیے ضمنی طریقے کی طرح بڑا وقتی اضافہ نہیں لیا جا سکتا۔ ضربہ، موجی انتشار اور تیز رفتار تماس جیسے مظاہر میں، جہاں بہرحال بہت چھوٹا اضافہ درکار ہوتا ہے، صریح طریقہ فائدہ مند ہو سکتا ہے۔

تماس کی صورت میں تماس قید کو Forward اضافہ Lagrange طریقہ سے سنبھالا جاتا ہے، اور تماس قوت کو صریح طریقے کے واحد-مرحلہ تازہ کاری کے مطابق جانچا جاتا ہے۔

تعددی ردِعمل تجزیے کا حل¶

تعددی ردِعمل تجزیہ موڈ جمع طریقہ سے دوری مستقل حالت ردعمل کو تعدد حلقہ میں براہِ راست حاصل کرتا ہے۔ تحریک تعدد بدلتے ہوئے ردعمل کو جانچا جاتا ہے؛ وقتی تاریخ کو تکرارات کے ذریعے پیروی کرنے کی ضرورت نہیں ہوتی۔ نہ غیر خطی تکرارات ہوتی ہیں اور نہ وقتی تکامل۔

تعددی ردِعمل تجزیے سے پہلے اسی نظام پر موڈل تجزیہ انجام دے کر مطلوبہ تعداد میں قدرتی موڈ نکالنا ضروری ہے۔ یہ صرف خطی ماڈل کے لیے دستیاب ہے؛ ہندسی یا مادّہ غیر خطیت فعال ہو تو اسے چلایا نہیں جا سکتا۔ تجزیے کی اقسام کے تقابل کے لیے تجزیے کی اقسام دیکھیں۔

غیر مستقل حرارت ترسیل میں وقت کی پیش رفت اور غیر خطی تکرار¶

غیر مستقل حرارت ترسیل کا اپنا وقت حلقہ !HEAT کے اندر مکمل طور پر کنٹرول ہوتا ہے۔ ساختی تجزیہ کے !STEP اور !AUTOINC_PARAM سے الگ طریقے سے وقتی اضافہ مقرر ہوتا ہے، اور اگر مادّی خواص درجۂ حرارت پر منحصر ہوں تو ہر وقتی اضافہ کے اندر غیر خطی تکرارات چلتی ہیں۔

وقتی تکامل کا طریقہ !HEAT کے \(\beta\) پیرامیٹر سے منتخب ہوتا ہے۔

وقتی اضافہ کو ابتدائی وقتی اضافہ، کم از کم وقتی اضافہ اور ایک مرحلہ میں زیادہ سے زیادہ درجۂ حرارت تبدیلی کے امتزاج سے موافق انداز میں کنٹرول کیا جاتا ہے۔ ہر اضافہ کی حساب کے بعد درجۂ حرارت تبدیلی DELTMX سے تجاوز کرے تو اضافہ کم کر کے حساب دوبارہ کیا جاتا ہے۔ اگر اضافہ کم ترین قدر DTMIN سے بھی کم ہو جائے تو تجزیہ روک دیا جاتا ہے۔

اگر مادّی خواص درجۂ حرارت منحصر ہوں تو ہر وقتی اضافہ کے اندر غیر خطی تکرارات ہوتی ہیں۔ ان کا کنٹرول درج ذیل ہے۔

مستقل حرارت ترسیل میں وقتی اضافہ استعمال نہیں ہوتا؛ اگر مادّہ درجۂ حرارت منحصر ہو تو صرف غیر خطی تکرارات ہوتی ہیں۔ حرارت ترسیل کا وقت کنٹرول ساختی تجزیہ کے !STEP سے آزاد ہے، اس لیے وقتی اضافہ بدلنے کے لیے !HEAT کی ترتیبات دیکھیں۔

متعلقہ موضوعات¶

• تجزیے کی اقسام — مختلف تجزیاتی اقسام کی پوزیشن اور مقصد۔
• تماس اور مدفونیت — تماس کی اقسام، جوڑا تعریفیں اور حل الگورتھم کے انتخاب کا طریقہ۔
• حل کنندہ اور پیش شرطی — Newton تکرار کے اندر بلائے جانے والے خطی بیک وقت مساوات کا حل۔
• مرحلہ کنٹرول — بیرونی مرحلہ/ذیلی مرحلہ کنٹرول، خودکار اضافہ اور کمیِ گام۔
• Newton-Raphson طریقہ (نظریہ) — تکراری حل کی تشکیل۔
• تقارب کی جانچ (نظریہ) — تقارب معیارات کی ریاضیاتی تعریف۔
• حرکی تجزیے کے طریقے (نظریہ) — Newmark-β اور مرکزی تفاضل طریقے کی تشکیل۔
• غیر مستقل حرارت ترسیل (نظریہ) — حرارت ترسیل کے وقتی تکامل کی تشکیل۔
• تماس کا تجزیہ (نظریہ) — Lagrange ضارب طریقہ کی تشکیل۔
• کلیدی لفظ حوالہ: !STEP، !CONTACT_ALGO، !DYNAMIC، !HEAT۔