خطی لچکدار ساکن تجزیہ (تعارف)
یہاں چھوٹی تبدیلی کے نظریے پر مبنی لچکدار ساکن تجزیے کی تشکیل دکھائی جاتی ہے۔ تناؤ-کرنش تعلق میں خطی لچک فرض کی جاتی ہے۔ یہ باب محدود عنصری طریقے سے ساختی تجزیے کی مجموعی تصویر سمجھنے کے لیے تعارفی حیثیت رکھتا ہے اور ایک ہی باب میں مکمل پڑھا جا سکتا ہے۔
مجازی کام کے اصول کی عمومی صورت (موجودہ/ابتدائی تشکیل اور چھوٹی تبدیلی کی حد) کے لیے مجازی کام کا اصول، خطی لچک کے تشکیلی قانون کے لیے خطی لچک، ٹینسر اور Voigt قواعد کے لیے ٹینسر علامت نویسی اور ریاضیاتی بنیادیں، محدود تبدیلی کی عمومی تشکیل کے لیے حرکت، تشکل اور کرنش، اور غیر خطی مسئلے کے حل کے لیے مماسی سختی میٹرکس دیکھیں۔
بنیادی مساوات
چھوٹی تبدیلی اور خطی لچک فرض کرنے پر ٹھوس میکانیات کا حدی قدر مسئلہ توازن کی مساوات، میکانی حدی شرط، اور جیومیٹری حدی شرط (لازمی حدی شرط) پر مشتمل ہوتا ہے (شکل 2.1.1):
\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{میں} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{پر} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{پر} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]
یہاں \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy تناؤ، \(\overline{\boldsymbol{b}}\) فی اکائی حجم جسمانی قوت، \(\overline{\boldsymbol{t}}\) مقرر سطحی قوت، \(\overline{\boldsymbol{u}}\) مقرر نقل مکانی، اور \(S_t, S_u\) بالترتیب میکانی اور جیومیٹری حدود ہیں۔
شکل 2.1.1 ٹھوس میکانیات میں حدی قدر مسئلہ (چھوٹی تبدیلی)
کرنش-نقل مکانی تعلق متقارن گریڈینٹ عملگر سے
\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]
اور خطی لچک تشکیلی مساوات
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]
ہے (\(\boldsymbol{C}\) درجہ چہارم لچکدار ٹینسر ہے)۔
مجازی کام کا اصول
مجازی کام کے اصول کی عمومی صورت مجازی کام کا اصول میں یکجا ہے۔ چھوٹی تبدیلی اور خطی لچک کے تحت کمزور صورت
\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{پر} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]
ہے۔ تشکیلی مساوات \eqref{eq:2.1.5} رکھ کر اور Voigt علامت نویسی میں \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) لکھنے پر گسست سازی کے لیے براہِ راست استعمال ہونے والی صورت
\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]
ملتی ہے (\(D\) خطی لچک کا لچکدار میٹرکس ہے)۔ مساوات \eqref{eq:2.1.10} اور \eqref{eq:2.1.7} وہ مجازی کام کی صورت ہیں جنہیں ذیل میں گسسته کیا جاتا ہے۔
گسست سازی اور عالمی مساوات کی اسمبلنگ
مجازی کام کی مساوات \( \eqref{eq:2.1.10} \) کو ہر محدود عنصر کے لیے گسسته کرنے سے
\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]
ملتا ہے۔ ہر عنصر میں، اس کے نوڈوں کی نقل مکانی سے نقل مکانی میدان کو
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]
کی طرح انٹرپولیٹ کیا جاتا ہے۔ اس وقت کرنش مساوات \(\eqref{eq:2.1.4}\) سے
\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]
ہے۔ مساوات \(\eqref{eq:2.1.12}\)، \(\eqref{eq:2.1.13}\) کو \(\eqref{eq:2.1.11}\) میں رکھنے پر
\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]
مساوات \(\eqref{eq:2.1.14}\) کو درج ذیل صورت میں مجتمع کیا جا سکتا ہے۔
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]
یہاں، مساوات \(\eqref{eq:2.1.16}\) اور \(\eqref{eq:2.1.17}\) سے متعین میٹرکس اور ویکٹر کے اجزا ہر محدود عنصر کے لیے حساب کرکے باہم جمع کیے جا سکتے ہیں۔
\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]
چونکہ مساوات \(\eqref{eq:2.1.15}\) ہر مجازی نقل مکانی \(\delta \boldsymbol{U}\) کے لیے درست ہے، اس لیے
\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]
ملتا ہے۔ دوسری طرف نقل مکانی حدی شرط \(\eqref{eq:2.1.3}\) کو
\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]
لکھا جاتا ہے۔ مساوات \(\eqref{eq:2.1.18}\) کو قید \(\eqref{eq:2.1.19}\) کے تحت حل کرکے نوڈ نقل مکانی \(\boldsymbol{U}\) متعین کی جا سکتی ہے۔
متعلقہ موضوعات