خطی لچک¶

اس باب میں خطی لچکی مادّہ کا تشکیلی قانون (Hooke قانون) بیان کیا گیا ہے۔ انتخاب اور ان پٹ کی تفصیل کے لیے فعلی سیکشن 03_material دیکھیں۔

مظہر (خطی لچکی ردِعمل)¶

خطی لچکی مادّہ میں، کافی حد تک کم کرنش کے دائرے میں تناؤ اور کرنش کا تعلق خطی ہوتا ہے اور بوجھ اتارنے کے بعد تمام کرنش اصل حالت میں واپس آ جاتی ہے؛ یعنی ردعمل قابلِ واپسی اور تاریخچہ-آزاد ہوتا ہے۔ پلاسٹکیت یا کریپ کے برعکس، پلاسٹک یا لزج کرنش جیسے اندرونی حالت متغیرات نہیں ہوتے اور تناؤ صرف موجودہ کرنش سے یکتا طور پر طے ہوتا ہے۔

چھوٹا تشکل میں Cauchy تناؤ \(\boldsymbol{\sigma}\) اور نہایت چھوٹا کرنش \(\boldsymbol{\varepsilon}\) استعمال ہوتے ہیں۔ محدود تشکل دائرہ میں، جہاں بڑا گردش ممکن ہو مگر کرنش خود چھوٹی رہے، دوسرا Piola-Kirchhoff تناؤ \(\boldsymbol{S}\) اور Green-Lagrange کرنش \(\boldsymbol{E}\) استعمال ہوتے ہیں (St.Venant-Kirchhoff مادّہ)۔

تشکیلی قانون¶

ہم سمتی خطی لچک¶

چھوٹا تشکل میں ہم سمتی Hooke قانون، Lamé مستقلات \(\lambda, \mu\) سے:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

اور اجزا میں:

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

ہے، جس سے دوہرے انقباض کے ذریعے \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) ملتا ہے۔ Lamé مستقلات اور Young کے معاملِ لچک \(E\)، Poisson نسبت \(\nu\) کا تعلق:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt علامتی طرز میں کرنش سمتیہ \(\hat{\varepsilon}\) اور تناؤ سمتیہ \(\hat{\sigma}\) کا تعلق \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) سے لکھا جاتا ہے، اور سہ ابعادی مادی میٹرکس \(D\) یہ ہے:

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

ہے، اور نفاذ میں میٹرکس کی یہی صورت استعمال ہوتی ہے۔

عمودی ناهم سمتی خطی لچک¶

جن مواد میں اصلی سمتیں کے لچکی مستقلات مختلف ہوں وہاں 9 آزاد مستقلات والا قائم المحوری ناہم سمتی ماڈل استعمال ہوتا ہے: \(E_1, E_2, E_3\)، \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\)، اور \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\)۔ مخصوص \(D\) میٹرکس کے لیے عمومی لچک کے حوالہ جات دیکھیں۔

محدود تشکل: St.Venant-Kirchhoff مادّہ¶

بڑی گردش مگر چھوٹی کرنش والے مسئلے میں دوسرا Piola-Kirchhoff تناؤ \(\boldsymbol{S}\) اور Green-Lagrange کرنش \(\boldsymbol{E}\) کے لیے St.Venant-Kirchhoff مادّہ اختیار کیا جاتا ہے:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

\(\lambda, \mu\) کی تعریف چھوٹے تشکل جیسی ہے، لیکن تناؤ اور کرنش کی تعریفوں کی جوڑی مختلف ہونے کی وجہ سے یہ نہایت چھوٹے تشکل کے Hooke قانون سے الگ تشکیلی قانون ہے۔

زیر لچک مادّہ¶

تازہ شدہ Lagrange تشکیل میں نسبتی Kirchhoff تناؤ ٹینسر کی Jaumann شرح \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) اور تشکل-شرح ٹینسر \(\boldsymbol{D}\) کے درمیان:

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

کا خطی لچکی تعلق استعمال ہوتا ہے۔ \(\boldsymbol{C}\) کے Lamé مستقلات وہی ہیں، مگر تناؤ/شرح جوڑا مختلف ہونے سے تشکیلی قانون الگ ہے۔ فارورڈ Euler تکمل اور مرکزی تفاضل تقریب سے \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) تازہ کاری ہونے کی تفصیل tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex میں ہے۔

دو بعدی تجزیہ اور خول عناصر کے لیے اختصار¶

سطحی تناؤ (\(\sigma_{33} = 0\))¶

پتلی پلیٹوں یا خول کے سطحی تناؤ کی حالت میں \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) فرض کیا جاتا ہے اور سطح سے باہر کی کرنش کا جزو \(\varepsilon_{33}\) جبری طور پر حذف کرکے مختصر \(D\) استعمال کیا جاتا ہے:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

سطحی کرنش (\(\varepsilon_{33} = 0\))¶

موٹائی کی سمت مقید طویل ساخت کے مقطع کے لیے سطحی کرنش کی حالت میں \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) فرض کیا جاتا ہے:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

محوری تقارن¶

اسطوانی مختصات \((r, \theta, z)\) میں \(\theta\) سمت یکساں مسئلے کے محوری تقارنی تجزیے میں \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) اور \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) کے چار اجزا رکھے جاتے ہیں:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

ہوتا ہے۔

شیل عنصر (سطحی تناؤ + عرضی قینچ)¶

خول عنصر میں سطح کے اندر کے تناؤ کو سطحی تناؤ سمجھا جاتا ہے، جبکہ عرضی برشی کرنش کے اجزا \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) کے لیے برشی تصحیح عامل \(\kappa\) (عام طور پر \(\kappa = 5/6\)) کے ساتھ \(\kappa\, G\) استعمال ہوتا ہے۔ عنصر کی مخصوص تشکیل کے لیے اعلیٰ کارکردگی عنصر تشکیل دیکھیں۔ فعلی سیکشن 03_material میں خول عناصر کے صرف خطی لچک کی معاونت کی تخصیص، سطح کے اندر کے حصے کو سطحی تناؤ سمجھنے کی اسی سادہ کاری پر مبنی ہے۔

درجۂ حرارت پر انحصار¶

Young کا معاملِ لچک \(E\)، Poisson نسبت \(\nu\) اور خطی پھیلاؤ کا عددی سر \(\alpha\) کو درجۂ حرارت \(T\) کی افعال کے طور پر دیا جا سکتا ہے۔ FrontISTR محدود درجۂ حرارت نقاط \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) پر قدریں لیتا ہے اور حساب درجۂ حرارت \(T\) کے لیے ملحقہ نقاط کے درمیان خطی درون یابی کرتا ہے۔ دائرہ سے باہر (\(T < T_1\) یا \(T > T_n\)) قریب ترین آخری نقطہ \(T_1\) یا \(T_n\) کی قدر مستقل بیرونی تخمینہ کے طور پر استعمال ہوتی ہے۔

حرارتی خصوصیات (کثافت، مخصوص حرارت، حرارتی ترسیلیت) کی درجۂ حرارت پر انحصار کے لیے حرارتی خصوصیات دیکھیں؛ درون یابی قاعدہ مشترک ہے۔