فوق لچک¶

اس باب میں FrontISTR کے تعاون یافتہ فوق لچکی تشکیلی قوانین بیان کیے گئے ہیں۔ انتخاب اور ان پٹ تعیین کی تفصیل کے لیے فعلی حصے 03_material سے رجوع کریں۔

مظہر (بڑی قابلِ واپسی تبدیلیِ شکل)¶

TBD (اگلے مرحلے میں متن مکمل کیا جائے گا)۔

تشکیلی قانون کا عمومی خاکہ¶

ہم سمتی فوق لچکی مادّے کی لچکی ممکنہ توانائی، بغیر تناؤ کی ابتدائی حالت سے ہم سمتی ردِعمل کی بنا پر، دائیں Cauchy-Green تبدیلیِ شکل ٹینسر \(C\) کے بنیادی ناوردات \((I_1, I_2, I_3)\) یا حجمی تبدیلی نکالنے کے بعد حاصل شدہ ٹینسر کے بنیادی ناوردات \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) کی تفاعل کے طور پر لکھی جا سکتی ہے، یعنی \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) یا \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\)۔

فوق لچکی مادّے کا تشکیلی تعلق دوسرے Piola-Kirchhoff تناؤ اور Green-Lagrange کرنش کے درمیان متعین کیا جاتا ہے، اور تبدیلیِ شکل کے تجزیے میں کل Lagrange طریقہ استعمال ہوتا ہے۔

اگر لچکی ممکنہ توانائی \(W\) معلوم ہو تو دوسرے Piola-Kirchhoff تناؤ اور تناؤ-کرنش تعلق درج ذیل طور پر حاصل کیے جا سکتے ہیں۔

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]

\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

ذیل میں FrontISTR میں استعمال ہونے والے فوق لچکی ماڈلوں کی لچکی ممکنہ توانائی \(W\) دی گئی ہے۔

Neo-Hookean فوق لچکی ماڈل¶

Neo-Hookean فوق لچکی ماڈل، ہم سمتی خطی قانون (Hooke قانون) کو بڑی تبدیلیِ شکل کے مسائل تک توسیع دیتا ہے۔ اس کی لچکی ممکنہ توانائی درج ذیل ہے۔

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

یہاں \(C_{10}\) اور \(D\) مادّی مستقل ہیں۔

Mooney-Rivlin فوق لچکی ماڈل¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

یہاں \(C_{10}\)، \(C_{01}\) اور \(D\) مادّی مستقل ہیں۔

Mooney-Rivlin غیر ہم سمتی فوق لچکی ماڈل¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

یہاں \(C_{10}\)، \(C_{01}\) اور \(D\) ہم سمتی ماڈل کے مشترک مادّی مستقل ہیں، جبکہ \(C_{42}\) اور \(C_{43}\) صرف غیر ہم سمتی ماڈل کے مادّی مستقل ہیں۔

Arruda-Boyce فوق لچکی ماڈل¶

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]

\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

یہاں \(\mu_0\)، \(\lambda_m\) اور \(D\) مادّی مستقل ہیں۔