لچک-پلاسٹکیت¶

اس باب میں FrontISTR کے استعمال کردہ لچک-پلاسٹک تشکیلی قانون کا بنیادی خاکہ بیان کیا گیا ہے۔ استعمال اور ان پٹ کی تفصیلات کے لیے فعلی حصہ 03_material دیکھیں۔

مظہر (پلاسٹک تبدیلی)¶

TBD (اگلے مرحلے میں متن تیار کیا جائے گا)۔

تشکیلی قانون کا خاکہ¶

FrontISTR متعلقہ بہاؤ قانون کے مطابق لچک-پلاسٹک تشکیلی مساوات استعمال کرتا ہے۔ یہ تشکیلی مساوات Kirchhoff تناؤ کی Jaumann شرح اور تبدیلی کی شرح کے ٹینسر کے تعلق کو ظاہر کرتی ہے، اور تبدیلی کے تجزیے میں updated Lagrange طریقہ لاگو کیا جاتا ہے۔

فرض کریں کہ لچک-پلاسٹک جسم کی تسلیم شرط درج ذیل دی گئی ہے۔

ابتدائی تسلیم شرط:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

بعد کی تسلیم شرط:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

جہاں،

\(F\): تسلیم تابع
\(\sigma_{y_0}\): ابتدائی تسلیم تناؤ
\(\sigma_y\): بعد کا تسلیم تناؤ
\(\sigma\): تناؤ ٹینسر
\(e\): چھوٹی کرنش ٹینسر
\(e^p\): پلاسٹک کرنش ٹینسر
\(\overline{e}^p\): مساوی پلاسٹک کرنش

فرض کیا جاتا ہے کہ تسلیم تناؤ اور مساوی پلاسٹک کرنش کا تعلق یک محوری حالت میں تناؤ اور پلاسٹک کرنش کے تعلق سے مطابقت رکھتا ہے۔

یک محوری حالت میں تناؤ اور پلاسٹک کرنش کا تعلق

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

جہاں \(H'\) کرنش سختی ضریب ہے۔

مساوی تناؤ اور مساوی پلاسٹک کرنش کا تعلق

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

بعد کی تسلیم تابع عمومی طور پر درجہ حرارت اور پلاسٹک کرنش کے کام کی تابع ہوتی ہے، لیکن سادگی کے لیے یہاں اسے صرف مساوی پلاسٹک کرنش \(\overline{e}^p\) کی تابع فرض کیا جاتا ہے۔ پلاسٹک تبدیلی کے دوران \(F = 0\) مسلسل برقرار رہتا ہے، اس لیے درج ذیل مساوات لازم ہے۔

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

یہاں \(\dot{F}\)، \(F\) کی زمانی مشتق ہے؛ آئندہ کسی مقدار \(A\) کی زمانی مشتق کو \(\dot{A}\) سے ظاہر کیا جائے گا۔

اب پلاسٹک پوٹینشل \(\Theta\) کے وجود کو فرض کرتے ہوئے پلاسٹک کرنش کی شرح کو درج ذیل صورت میں لکھتے ہیں۔

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

جہاں \(\dot{\lambda}\) ایک ضریب ہے۔

مزید یہ فرض کرتے ہوئے کہ پلاسٹک پوٹینشل \(\Theta\)، تسلیم تابع \(F\) کے برابر ہے، درج ذیل متعلقہ بہاؤ قانون حاصل ہوتا ہے۔

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

اسے مطابقت شرط کی مساوات میں رکھنے سے درج ذیل حاصل ہوتا ہے۔

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

جہاں \(D\) لچکدار میٹرکس ہے، اور

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

لچک-پلاسٹک تناؤ-کرنش تعلق کو درج ذیل لکھا جا سکتا ہے۔

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

اگر لچک-پلاسٹک مادّے کی تسلیم تابع \(F\) معلوم ہو، تو اس مساوات سے اس کا تشکیلی قانون حاصل کیا جا سکتا ہے۔

تسلیم توابع¶

ذیل میں FrontISTR میں استعمال ہونے والی نمائندہ لچک-پلاسٹک تسلیم توابع درج ہیں۔

Von Mises تسلیم تابع¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

جہاں \(J_2\) انحرافی تناؤ ٹینسر کا دوسرا ناوردہ ہے۔

Mohr-Coulomb تسلیم تابع¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

جہاں \(\sigma_1, \sigma_3\) بالترتیب زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم پرنسپل تناؤ ہیں، \(c\) چپکاؤ اور \(\phi\) داخلی رگڑ زاویہ ہے۔

Drucker-Prager تسلیم تابع¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

یہاں مادّی مستقلات \(\alpha\) اور \(\sigma_y\) کو مادّے کے چپکاؤ اور رگڑ زاویے سے درج ذیل حساب کیا جاتا ہے۔

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]