براہِ راست مواد پر جائیں

کریپ

اس باب میں FrontISTR کے استعمال کردہ کریپ تشکیلی قانون کو بیان کیا گیا ہے۔ استعمال اور ان پٹ کی تفصیلات کے لیے فعلی حصہ 03_material دیکھیں۔

کریپ مظہر اور کرنش کی جمعی تفریق

مستقل تناؤ کی حالت میں وقت پر منحصر نقل مکانی کو "کریپ" کہا جاتا ہے۔

پہلے بیان کردہ ویسکو لچک رویے کو بھی خطی کریپ کی ایک قسم سمجھا جا سکتا ہے۔ یہاں چند غیر خطی کریپ رویوں کی وضاحت کی جاتی ہے۔ اس مظہر کو عموماً فوری پیدا ہونے والی کرنش میں شامل کرکے تشکیلی مساوات بنائی جاتی ہے، اور کسی مستقل بوجھ کے جاری رہنے کے دوران پیدا ہونے والی کرنش کو کریپ کرنش \(\varepsilon^c\) کہا جاتا ہے۔ کریپ کو شامل کرنے والی تشکیلی مساوات میں عموماً کریپ کرنش کی شرح \(\dot{\varepsilon}^c\) استعمال ہوتی ہے، جسے تناؤ اور کل کریپ کرنش کا تابع سمجھا جاتا ہے۔

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

اگر فوری پیدا ہونے والی کرنش لچکدار کرنش \(\varepsilon^e\) ہو، تو کل کرنش کو کریپ کرنش شامل کرکے یوں لکھا جاتا ہے۔

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

جہاں،

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

ہے (\(c\) لچکدار ضریب ٹینسر ہے)۔

Norton قانون

کریپ تشکیلی مساوات کی مخصوص شکل کے طور پر FrontISTR درج ذیل Norton ماڈل استعمال کرتا ہے۔ اس میں مساوی کریپ کرنش کی شرح \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) کو Mises تناؤ \(q\) اور وقت \(t\) کے تابع کے طور پر لکھا جاتا ہے۔

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

جہاں \(A\), \(m\), \(n\) مادّی مستقلات ہیں۔

وقتی تکمل اور تناؤ کی تازہ کاری

پلاسٹک مادّے کی طرح، کریپ کی تشکیلی مساوات کے لیے بھی عددی تجزیے میں وقتی تکمل کا طریقہ متعین کرنا ضروری ہے۔ کریپ شامل کرنے والی تشکیلی مساوات یہ ہے:

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

جہاں \(\beta_{n+\theta}\) کو

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

لیا جاتا ہے۔ نیز کریپ کرنش کا اضافہ \(\Delta \varepsilon^c\)، غیر خطی مساوات کو سادہ کرکے،

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

قرار دیا جاتا ہے۔

Newton-Raphson طریقے کی تکرار میں ابتدائی قیمت \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) اور محدود عنصری طریقے سے حاصل شدہ کرنش اضافہ لیا جاتا ہے، اور تکراری حل اور اضافہ جاتی حل یوں ہیں۔

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

جہاں،

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

ہے۔ جب تک باقی ماندہ \(R\)، \(\mathbf{0}\) نہ ہو جائے تکراری حل جاری رکھتے ہوئے، تناؤ \(\sigma_{n+1}\) اور مماسی ضریب

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

استعمال کیے جاتے ہیں۔

متعلقہ موضوعات