براہِ راست مواد پر جائیں

شکلی تفاعل اور محدود عنصر تقریب

مجازی کام کے اصول کی کمزور صورت کو کمپیوٹر پر حل کرنے کے لیے جسم کے حلقے کو محدود تعداد کے عناصر میں تقسیم کیا جاتا ہے، اور ہر عنصر کے اندر مادّی نقطے کے مختصات، نقل مکانی اور آزمائشی فعل کو نوڈی قدروں اور شکلی تفاعل سے درون یابی کیا جاتا ہے۔ شکلی تفاعل کے مکانی مشتقات کے لیے شکلی تفاعل کے مکانی مشتقات، کمزور صورت کی گسست سازی کے لیے اندرونی قوت کے مجازی کام کی گسست سازی، اور ہر عنصر قسم کے مخصوص شکلی تفاعل کے لیے عنصر نمبر بندی اور شکلی تفاعل لائبریری اور اس کے بعد کے ابواب دیکھیں۔

حلقہ تقسیم اور تکملات کا عنصری مجموعہ

مرجعی ترتیب کے حلقے \(\Omega_0\) اور موجودہ ترتیب کے حلقے \(\Omega\) کو بالترتیب عناصر \(\Omega^e_0\) اور \(\Omega^e\) کے اتحاد سے تقریب کیا جاتا ہے:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

یہاں \(e\) عنصر نمبر ہے اور عنصر کی سرحدیں متصل عناصر کے درمیان مشترک ہوتی ہیں۔ اس طرح مجازی کام کے اصول میں آنے والے حجمی اور سطحی تکملات ہر عنصر کے تکملات کے مجموعے میں تقسیم ہو جاتے ہیں:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

موجودہ ترتیب کے لیے بھی \(dV \to dv\)، \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) اور \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) رکھ کر یہی تعلق حاصل ہوتا ہے۔ لہٰذا کمزور صورت کی جانچ آخرکار عنصر بہ عنصر تکمل کی تشکیل تک محدود ہو جاتی ہے۔

نوڈی قدروں اور شکلی تفاعل سے درون یابی (آئسوپیرامیٹرک عنصر)

ہر عنصر \(\Omega^e_0\) کو \(n_e\) نوڈ تفویض ہوتے ہیں۔ عنصر نوڈ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) کے مرجعی مختصات اور نوڈی نقل مکانی کو \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) لکھیں۔ ان سے بننے والے عنصر نوڈی سمتیے \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) اور \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\)، کل نوڈی سمتیے \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (جہاں \(n_g\) کل نوڈز کی تعداد ہے) میں سے عنصر \(e\) سے متعلق اجزا نکال کر بنتے ہیں۔

عنصر کے مقامی مختصات، یعنی قدرتی مختصات \(\boldsymbol{r}\)، کو پیرامیٹر بنانے والے شکلی تفاعل \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) کے ذریعے عنصر کے اندر مادّی مختصات، نقل مکانی اور آزمائشی فعل کو ایک ہی شکلی تفاعل سے درون یابی کیا جاتا ہے (آئسوپیرامیٹرک عنصر، Galerkin طریقہ):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

شکلی تفاعل کو درج ذیل دو خواص پورے کرنے کے لیے بنایا جاتا ہے، اور عنصر کی شکل ایسی چنی جاتی ہے کہ قدرتی مختصات سے مادّی مختصات کی نگاشت \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) عنصر کے اندر یک بہ یک ہو:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

یہاں \(\boldsymbol{r}_\alpha\) نوڈ \(\alpha\) کے قدرتی مختصات کا نقطہ اور \(\delta_{\alpha\beta}\) Kronecker delta ہے۔ پہلی مساوات صلب-جسمانی انتقال کی درست بازتولید اور دوسری نوڈ پر درون یابی شدہ قدر کا نوڈی قدر سے برابر ہونا یقینی بناتی ہے۔ ہر عنصر قسم کے \(n_e\) اور \(N_\alpha^e\) کی مخصوص شکلیں عنصر نمبر بندی اور شکلی تفاعل لائبریری اور بعد کے ابواب میں دی گئی ہیں۔ علامتی طرز کو غیر ضروری طور پر پیچیدہ ہونے سے بچانے کے لیے عنصر قسم پر انحصار کو بالائی اشاریہ \(e\) سے نمائندگی دی جاتی ہے۔

ان درون یابی قواعد سے کمزور صورت کا زیرِ تکمل صرف عنصر نوڈی قدروں \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) اور \(N_\alpha^e\) میں لکھا جا سکتا ہے۔ دوسری طرف، کرنش درون یابی شدہ نقل مکانی اور کرنش-نقل مکانی تعلق سے، اور تناؤ اس کرنش اور مادّی تشکیلی قانون سے اخذ ہوتا ہے؛ انہیں نوڈی قدروں سے براہِ راست درون یابی نہیں کیا جاتا۔ یہ مقداریں عنصر کے تکمل نقاط پر جانچی جاتی ہیں (عددی تکمل)۔

کل نوڈی سمتیہ کی ترتیب

نوڈ سے منسوب طبیعی مقداریں کو کل نوڈی سمتیہ میں نوڈ نمبر → درجۂ آزادی کی صعودی ترتیب سے رکھا جاتا ہے۔ نوڈ \(\alpha\) کے درجۂ آزادی \(i\) کے جزو کو \(u_{i\alpha}\) لکھنے پر، بالترتیب 3D (\(i=1,2,3\)) اور 2D (\(i=1,2\)) میں

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

ہوتا ہے۔ مختصات \(\boldsymbol{X}^n\) اور آزمائشی فعل \(\delta\boldsymbol{u}^n\) بھی اسی ترتیب کی پیروی کرتے ہیں۔ آئندہ میٹرکس/سمتیہ صورت کی مساواتیں نمائندہ طور پر 3D کے لیے لکھی جائیں گی۔

متعلقہ موضوعات