براہِ راست مواد پر جائیں

شکلی تفاعل کے مکانی مشتقات

شکلی تفاعل اور محدود عنصری تخمینہ میں متعارف شکلی تفاعل \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) عنصر کے مقامی محددات، یعنی قدرتی محددات \(\boldsymbol{r}\)، کی تابع ہے۔ دوسری طرف کمزور صورت کے تکملی جزو میں کرنش-نقل مکانی تعلق کے ذریعے طبیعی محددات (حوالہ تشکیل \(\boldsymbol{X}\) یا موجودہ تشکیل \(\boldsymbol{x}\)) کے لحاظ سے جزوی مشتقات \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) یا \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) آتے ہیں۔ اس باب میں ان شکلی تفاعل کے مکانی مشتقات کو عنصری نوڈ محددات اور قدرتی محدداتی مشتقات سے حساب کرنے کا طریقہ منظم کیا گیا ہے۔

سلسلہ قاعدہ سے مکانی مشتق کی نمائندگی

انٹرپولیشن \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (پچھلا باب) پر سلسلہ قاعدہ لاگو کرنے سے، قدرتی محددات سے طبیعی محددات کی نقشہ بندی کے جیکوبین میٹرکس \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) کے ذریعے

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

ملتا ہے۔ یہاں \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) اور \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)، \(n_e \times 3\) میٹرکس ہیں جن کی قطار \(\alpha\) نوڈ \(\alpha\) کے جزوی مشتق ویکٹر کو ظاہر کرتی ہے۔

جیکوبین میٹرکس کی تشکیل

انٹرپولیشن کو \(\boldsymbol{r}\) کے لحاظ سے جزوی مشتق کرنے پر

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

ملتا ہے، اس لیے عنصری نوڈ محددات \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) اور قدرتی محدداتی مشتق \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) سے اسے براہِ راست بنایا جا سکتا ہے۔ قدرتی محدداتی مشتقات شکلی تفاعل کی تابعی صورت سے متعین ہوتے ہیں اور ہر عنصر کی قسم کے لیے پہلے سے نافذ ہوتے ہیں۔

جیکوبین ڈیٹرمننٹ \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) عددی تکمل میں حجمی عنصر کی تبدیلی \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ محدد \(0\) ہونے پر عنصر انحطاط یافتہ ہے اور حساب ناکام ہو جاتا ہے۔

حساب کا بہاؤ

اوپر کے اخذ سے مکانی مشتق \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) کا حساب درج ذیل چار مراحل میں تقسیم ہوتا ہے۔

  1. قدرتی محدداتی مشتق کا حساب: عنصر کی قسم اور جانچ نقطے کے قدرتی محددات \(\boldsymbol{r}\) سے \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) حساب کریں۔ شکلی تفاعل ہر عنصر کی قسم میں مختلف ہے، اس لیے عنصر کی قسم کے مطابق شاخ بندی ہوتی ہے۔
  2. جیکوبین میٹرکس کا حساب: عنصری نوڈ محددات \(\boldsymbol{X}^e\) اور \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) سے پچھلی مساوات کے مطابق \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) بنائیں۔
  3. معکوس میٹرکس اور محدد کا حساب: جیکوبین کا معکوس میٹرکس \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) اور محدد حساب کریں۔ محدد عددی تکمل کے وزن میں استعمال ہوتا ہے۔
  4. مکانی مشتق کا حساب: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) اور \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) کے حاصل ضرب سے \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) حاصل کریں۔

یہ چار مراحل عنصر کی قسم اور مکانی بعد (دو بُعدی یا سہ بُعدی) کے مطابق شاخ بندی کر سکتے ہیں، مگر عمومی بہاؤ مشترک ہے۔

حوالہ اور موجودہ تشکیل میں مشترکہ استعمال

اوپر کے طریقے میں صرف \(\boldsymbol{X}^e\) کو موجودہ تشکیل کے نوڈ محددات \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) سے بدلنے پر یہی طریقہ موجودہ تشکیل کے مکانی مشتق \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) پر بھی لاگو ہوتا ہے۔ اس طرح Total Lagrange اور Updated Lagrange طریقے ایک ہی طریقۂ کار استعمال کر سکتے ہیں؛ صرف داخل کردہ نوڈ محددات بدلتے ہیں۔

متعلقہ موضوعات