براہِ راست مواد پر جائیں

داخلی قوت کے مجازی کام کی گسست سازی

اضافی تجزیے کا فریم ورک میں دکھائی گئی وقت \(t + \Delta t\) کی مجازی کام کی مساوات، حوالہ جاتی ترتیب کے انتخاب کے مطابق Updated Lagrange طریقے اور Total Lagrange طریقے کی دو صورتوں میں تقسیم ہوتی ہے۔ اس باب میں شکلی تفاعل اور محدود عنصری تقریب اور شکلی تفاعل کا مکانی مشتق میں متعارف کرائی گئی محدود عنصری تقریب استعمال کرتے ہوئے دونوں فارمولیشنوں کے داخلی قوت کے مجازی کام کو مکانی طور پر ڈسکریٹائز کیا جاتا ہے، اور عنصری داخلی قوت ویکٹر \(\boldsymbol{q}^e\) (UL طریقہ) اور \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL طریقہ) حاصل کیے جاتے ہیں۔

عنصر \(e\) کے جزو نوڈز \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) کی نقل مکانی کو \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) لکھیں، اور عنصری نوڈل نقل مکانی ویکٹر کو \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) کی صورت میں ترتیب دیں۔ مجازی نقل مکانی \(\delta \boldsymbol{u}^e\) بھی اسی ترتیب سے تعریف کی جاتی ہے۔ عنصر کے اندر نقل مکانی کو شکلی تفاعل سے \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) کے طور پر انٹرپولیٹ کیا جاتا ہے۔

Updated Lagrange طریقے میں داخلی قوت کا مجازی کام

Updated Lagrange طریقے میں وقت \(t\) کی موجودہ ترتیب \({}^{t}\Omega\) کو حوالہ جاتی ترتیب لیا جاتا ہے، اور Cauchy تناؤ \(\boldsymbol{\sigma}\) اور Almansi کرنش کے خطی حصے \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) کے ذریعے داخلی قوت کا مجازی کام یوں لکھا جاتا ہے:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) کے ہر جزو کو موجودہ ترتیب کے مختصات \(\boldsymbol{x}\) کے لحاظ سے شکلی تفاعل کے مشتق \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) اور نوڈل مجازی نقل مکانی \(\delta u^e_{i\alpha}\) کے خطی مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ Voigt نوٹیشن میں اسے

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

کی صورت میں جمع کیا جاتا ہے۔ نوڈل بلاک \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) ایک \(6 \times 3\) میٹرکس ہے جس میں \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) کو Voigt قاعدے کے مطابق رکھا جاتا ہے، اور \(\boldsymbol{B}_L\) UL طریقے کا کرنش-نقل مکانی میٹرکس بنتا ہے۔ اسے داخلی قوت کے مجازی کام میں رکھ کر \(\delta \boldsymbol{u}^e\) کو الگ کرنے سے

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

حاصل ہوتا ہے۔ \(\boldsymbol{q}^e\) کا نوڈل بلاک \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) عنصر \(\Omega^e\) کے جزو نوڈ \(\alpha\) پر عمل کرنے والی داخلی قوت ہے۔

Total Lagrange طریقے میں داخلی قوت کا مجازی کام

Total Lagrange طریقے میں بنیادی ترتیب \(\Omega_0\) کو حوالہ جاتی ترتیب لیا جاتا ہے، اور دوم Piola-Kirchhoff تناؤ \(\boldsymbol{S}\) اور Green-Lagrange کرنش \(\boldsymbol{E}\) کے ذریعے

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

لکھا جاتا ہے۔ \(\delta \boldsymbol{E}\) کو مجازی نقل مکانی کے لحاظ سے خطی حصے اور موجودہ نقل مکانی کے گریڈینٹ \(\partial u_k/\partial X_j\) کے حاصل ضرب پر مشتمل غیر خطی حصے میں تقسیم کیا جا سکتا ہے:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

خطی حصہ، UL طریقے کی طرح ترتیب دینے کا قاعدہ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) پر لاگو کرکے بنائے گئے نوڈل بلاک \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) سے

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ حوالہ جاتی ترتیب مختلف ہونے کی وجہ سے صرف اجزائے ترکیبی \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) سے \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) میں بدلتے ہیں؛ علامت UL طریقے کے ساتھ مشترک رکھی جاتی ہے۔ غیر خطی حصہ موجودہ نقل مکانی کے گریڈینٹ \(\partial u_k/\partial X_j\) اور \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) کے حاصل ضرب کو Voigt قاعدے کے مطابق رکھنے والے نوڈل بلاک \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) سے

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

لکھا جاتا ہے۔ لہٰذا \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) ہے، اور \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) TL طریقے کا کرنش-نقل مکانی میٹرکس ہے۔ اسے داخلی قوت کے مجازی کام میں رکھنے سے

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

حاصل ہوتا ہے۔ نوڈل بلاک \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) عنصر \(\Omega^e_0\) کے جزو نوڈ \(\alpha\) پر عمل کرنے والی داخلی قوت ہے۔

UL/TL کا باہمی تعلق اور حسابی بہاؤ

Updated Lagrange اور Total Lagrange طریقوں کے عنصری داخلی قوت ویکٹر کا باہمی تعلق درج ذیل ہے۔

شے Updated Lagrange طریقہ Total Lagrange طریقہ
حوالہ جاتی ترتیب موجودہ ترتیب \({}^{t}\Omega^e\) بنیادی ترتیب \(\Omega^e_0\)
تناؤ ٹینسر Cauchy تناؤ \(\boldsymbol{\sigma}\) دوم PK تناؤ \(\boldsymbol{S}\)
کرنش کا تغیر \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B میٹرکس \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\)، \(\partial u/\partial X\))
عنصری داخلی قوت \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

دونوں کو ایک ہی طریقۂ کار سے سنبھالا جا سکتا ہے: شکلی تفاعل کے مکانی مشتق سے \(\boldsymbol{B}_L\) بنانا؛ TL طریقے میں موجودہ نقل مکانی کے گریڈینٹ سے \(\boldsymbol{B}_{NL}\) بنا کر شامل کرنا؛ تشکیلی قانون کے مطابق تناؤ (\(\boldsymbol{\sigma}\) یا \(\boldsymbol{S}\)) کو اپ ڈیٹ کرنا؛ اور تکملی نقاط پر \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) یا \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) کو عنصری خطے میں عددی طور پر تکمل کرنا (عددی تکمل)۔ حوالہ جاتی ترتیب کی تبدیلی، یعنی نوڈل مختصات اور \(\boldsymbol{B}\) میٹرکس کی تشکیل، اور تناؤ ٹینسر کی تبدیلی کے علاوہ باقی عمل مشترک ہے؛ اسی لیے FrontISTR میں دونوں طریقوں کی داخلی قوت کا حساب مشترک سب روٹینوں سے نافذ کیا جا سکتا ہے۔ عنصری داخلی قوت ویکٹر \(\boldsymbol{q}^e\) اور \(\boldsymbol{Q}^e\) سے مجموعی داخلی قوت ویکٹر کی اسمبلی بیرونی قوت کے مجازی کام اور مجموعی مساوات کی اسمبلی میں بیان کی گئی ہے۔

متعلقہ موضوعات