براہِ راست مواد پر جائیں

بیرونی قوت کے مجازی کام اور مجموعی مساوات کی اسمبلی

داخلی قوت کے مجازی کام کی گسست سازی میں کمزور صورت کے بائیں جانب کو عنصری داخلی قوت ویکٹر \(\boldsymbol{q}^e\) (UL طریقہ) یا \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL طریقہ) میں سمیٹا گیا تھا۔ اس باب میں بیرونی قوت کے مجازی کام سے عنصری نوڈل بیرونی قوت ویکٹر \(\boldsymbol{F}^e\) متعارف کیا جاتا ہے، پھر اسمبلی کا عمل انجام دیا جاتا ہے جس میں عنصری نوڈل مقداروں کو مجموعی نوڈ نمبر کے مطابق دوبارہ ترتیب دے کر جمع کیا جاتا ہے۔ اس طرح بالآخر نوڈل نقل مکانیوں کے متعلق وہ غیر خطی مساواتی نظام حاصل ہوتا ہے جسے FrontISTR کا غیر خطی ساختی تجزیہ حل کرتا ہے۔

بیرونی قوت کے مجازی کام کی عنصری تجزیہ بندی

مجازی کام کے اصول کے دائیں جانب کو ہر عنصر کے لیے بیرونی قوت کے مجازی کام میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، جو جسمانی قوت اور میکانی سرحد پر مقررہ سطحی قوت پر مشتمل ہے۔ شکلی تفاعل اور محدود عنصری تقریب میں متعارف کردہ نقل مکانی انٹرپولیشن کو میٹرکس صورت میں لکھنے کے لیے، نوڈ \(\alpha\) کے شکلی تفاعل \(N_\alpha^e\) کو قطر پر رکھنے والا \(d \times d\) بلاک \(\boldsymbol{N}_\alpha\) اور ان بلاکس کو افقی طور پر جوڑ کر بنایا گیا \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) استعمال کریں، تاکہ \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) ہو۔ اسے بنیادی ترتیب میں لکھے بیرونی قوت کے مجازی کام میں رکھنے سے

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

حاصل ہوتا ہے۔ یہاں عنصری نوڈل بیرونی قوت ویکٹر کو \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) کی صورت میں ترتیب دیا گیا ہے۔ اس سے بیرونی قوت کا مجازی کام بھی داخلی قوت کی طرف کی طرح ”عنصری نوڈل ویکٹر × آزمائشی فنکشن“ کی صورت میں سمٹ جاتا ہے۔ موجودہ ترتیب میں بھی \(dV \to dv\)، \(\rho_0 \to \rho\)، اور \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) کی تبدیلی سے یہی صورت حاصل ہوتی ہے۔

عنصری نوڈل طبعی مقداروں کی اسمبلی

ہر عنصر سے حاصل ہونے والی نوڈل طبعی مقداروں \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) کو مجموعی نوڈ نمبروں کے مطابق ترتیب دے کر مجموعی ویکٹروں میں جمع کیا جاتا ہے۔ عنصر \(\Omega^e\) کے مقامی نوڈ نمبر \(\alpha\) کے مطابق مجموعی نوڈ نمبر کو

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

سے ظاہر کریں۔ تب عنصری نوڈل مقدار مجموعی نوڈل مقدار کے متناظر جزو کے برابر ہوتی ہے، مثلاً \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)۔ عمومی طور پر نوڈ \(i_g\) متعدد عناصر میں مشترک ہوتا ہے، اس لیے ان تمام \((e, \alpha)\) جوڑوں کا مجموعہ جن کا مجموعی نوڈ نمبر \(i_g\) ہے، یوں تعریف کریں:

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

اگر مجموعے کو \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) کے طور پر دوبارہ لکھا جائے تو تمام \(n_g\) نوڈز کے لیے نوڈل داخلی قوت اور مجموعی داخلی قوت ویکٹر

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

حاصل ہوتے ہیں۔ \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) نوڈ \(i_g\) پر عمل کرنے والی عنصری نوڈل داخلی قوتوں کے محصل کے برابر ہے؛ اگر کوئی بیرونی قوت نہ ہو اور توازن قائم ہو تو یہ \(\boldsymbol{0}\) ہوتا ہے۔ UL طریقے میں بھی اسی طریقۂ کار سے \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) حاصل ہوتے ہیں، اور مقداری طور پر \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) ہوتا ہے؛ لہٰذا آئندہ جہاں امتیاز ضروری نہ ہو وہاں \(\boldsymbol{Q}\) ہی استعمال کیا جائے گا۔ مجموعی بیرونی قوت ویکٹر \(\boldsymbol{F}\) بھی اسی تجمیع سے حاصل ہوتا ہے۔

عملی نفاذ میں \(\mathcal{E}(i_g)\) کو صراحتاً بنانے کے بجائے عنصر کے حلقے کے اندر متناظر اجزا میں مقداریں جمع کی جاتی ہیں۔

مجموعی داخلی قوت ویکٹر Q کو 0 سے ابتدائیہ کریں: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (عناصر کی تعداد)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

مجموعی بیرونی قوت ویکٹر \(\boldsymbol{F}\) بھی اسی طریقے سے بنایا جاتا ہے۔ مجموعی نوڈ نمبروں سے نمبر دیے گئے ویکٹر یا میٹرکس میں عنصری نوڈل طبعی مقداریں جمع کرکے محفوظ کرنے کے اس عمل کو اسمبلی (assemble) کہتے ہیں۔ دو نوڈ نمبروں سے متعلق دوسرے درجے کے ٹینسر، مثلاً سختی میٹرکس، کے لیے مجموعہ \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) استعمال کرکے اسی نوع کی اسمبلی حاصل ہوتی ہے۔ تفصیلی تشکیل کے لیے مماسی سختی میٹرکس دیکھیں۔

حل کی جانے والی غیر خطی مساوات

داخلی اور بیرونی قوت کی اسمبلی کے نتائج کو مجازی کام کے اصول میں رکھیں۔ چونکہ یہ جیومیٹریائی حدی شرائط پوری کرنے والے ہر آزمائشی فنکشن \(\delta\boldsymbol{u}^n\) کے لیے درست ہونا چاہیے، اس لیے

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

حاصل ہوتا ہے۔ اضافی تجزیے (اضافی تجزیے کا فریم ورک) کے سیاق میں وقت کا ذیلی اشاریہ \(_{n+1}\) دوبارہ شامل کریں اور مجموعی نوڈل ویکٹر ظاہر کرنے والا بالائی اشاریہ \(^n\) چھوڑ دیں تو حل کی جانے والی مساوات

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

بن جاتی ہے۔ وقت \(t_{n+1}\) پر نوڈل نقل مکانی \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) معلوم کرنے کا ڈسکریٹائز شدہ سرحدی قدر مسئلہ، اس نقل مکانی کے متعلق غیر خطی مساوات کو جیومیٹریائی حدی شرائط کے ساتھ حل کرنے پر منتج ہوتا ہے۔ مساوات کی خطی سازی اور مماسی سختی میٹرکس کی تشکیل مماسی سختی میٹرکس میں، اور تکراری حل Newton-Raphson طریقہ میں بیان کیا گیا ہے۔

متعلقہ موضوعات