براہِ راست مواد پر جائیں

عددی تکمل

داخلی قوت کے مجازی کام کی گسست سازی اور بیرونی قوت کا مجازی کام اور کلی مساوات کی اسمبلی سے حاصل ہونے والے عنصری داخلی-قوت سمتیے \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) اور عنصری سختی میٹرکس \(\boldsymbol{K}^e\)، عنصری ناحیہ \(\Omega^e\) یا \(\Omega^e_0\) پر تکملات کی صورت میں ہوتے ہیں۔ FrontISTR ان کا عددی حساب Gauss تکملی قاعدے سے کرتا ہے۔

Gauss تکملی قاعدہ اور متغیر کی تبدیلی

Gauss تکملی قاعدہ حوالہ ناحیہ \(\Xi\) پر تکمل کو تکملی نقاط \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) پر زیرِ تکمل تابع کی قدروں اور اوزان \(w_i\) کے خطی مجموعے سے تقریب کرتا ہے۔ اسے عنصری ناحیہ \(\Omega^e\) پر لاگو کرنے کے لیے نگاشت \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) کے ذریعے متغیر کی تبدیلی کی جاتی ہے،

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

جہاں \(n_q\) تکملی نقاط کی تعداد ہے اور \(J_{\xi_i}\) تبدیلی کے جیکوبین کا محدد ہے۔ حوالہ ناحیہ \(\Xi\) ہر عنصر کی قسم کے لیے متعین ہوتا ہے (شش سطحی عنصر کے لیے \([-1,1]^3\)؛ مثلث، چہارسطحی اور ویج کے لیے ان کی متعلقہ حوالہ اشکال)، اور تکملی نقاط \(\boldsymbol{\xi}_i\) اور اوزان \(w_i\) عددی جدولوں کی صورت میں دیے جاتے ہیں۔ سطحی تکملات بھی عنصر کے رخ کو دو بُعدی حوالہ ناحیے سے نگاشت کر کے اسی صورت میں سنبھالے جاتے ہیں۔

FrontISTR میں استعمال ہونے والی تکملی نقاط کی نمائندہ تعدادیں ذیل میں دی گئی ہیں (عنصر کی اقسام سے مطابقت کے لیے عنصر نمبرنگ نظام اور شکل-تابع لائبریری دیکھیں)۔

عنصر کی قسم تکملی قاعدہ تکملی نقاط کی تعداد
4-نوڈ چہارسطحی عنصر (tet4n) 1-نقطہ قاعدہ 1
10-نوڈ چہارسطحی عنصر (tet10n) 4-نقطہ قاعدہ 4
6-نوڈ مثلثی منشور (prism6n) 2-نقطہ قاعدہ 2
15-نوڈ مثلثی منشور (prism15n) 9-نقطہ قاعدہ 9
8-نوڈ شش سطحی عنصر (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
20-نوڈ شش سطحی عنصر (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
4-نوڈ چہارضلعی عنصر (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
8-نوڈ چہارضلعی عنصر (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
3-نوڈ مثلثی عنصر (tri3n) 1-نقطہ قاعدہ 1
6-نوڈ مثلثی عنصر (tri6n) 3-نقطہ قاعدہ 3

شش سطحی، چہارضلعی اور خطی عناصر کے لیے ہر مختصاتی سمت میں Gauss-Legendre قاعدے کا ٹینسر حاصل ضرب استعمال کیا جاتا ہے۔ مثلث، چہارسطحی اور مثلثی منشور کے لیے سمپلیکس نوعیت کی ہندسی اشکال کے موزوں مخصوص قواعد استعمال ہوتے ہیں (ایسی نقطہ ترتیبیں جو خود مثلث پر کثیر رقمیات کا عین تکمل کرتی ہیں)۔

عنصری تکمل پر اطلاق

عنصری تکمل میں قدرتی مختصات \(\boldsymbol{r}\) کو حوالہ ناحیے کے مختصات کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\))، اور طبیعی مختصات تک نگاشت شکل-افعال کے ذریعے نوڈی مختصات کی درون یابی سے دی جاتی ہے۔ حوالہ ترتیب کے انتخاب (افزائشی تجزیے کا ڈھانچہ) کے مطابق درج ذیل صورتیں استعمال ہوتی ہیں۔

Total Lagrange طریقہ (حوالہ ترتیب \(\Omega^e_0\) پر تکمل): نگاشت اور جیکوبین

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ہیں، اور عنصری داخلی قوت اور سختی میٹرکس کو

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

سے تقریب کیا جاتا ہے۔ \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) سب تکملی نقطے \(\boldsymbol{r}_i\) پر جانچے جاتے ہیں۔

Updated Lagrange طریقہ (موجودہ ترتیب \(\Omega^e\) پر تکمل): نگاشت اور جیکوبین

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ہیں، اور

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

سے تقریب کیا جاتا ہے۔

دونوں تشکیلات میں فرق صرف یہ ہے کہ نگاشت کے لیے نوڈی مختصات \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) استعمال ہوتے ہیں یا \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\)؛ تکملی نقاط، اوزان اور تکملی-نقطہ حلقے کی ساخت دونوں میں یکساں ہے۔

مکمل تکمل اور تخفیف شدہ تکمل

جس تکمل میں زیرِ تکمل تابع کے کثیر رقمی درجے کو عین تکمل کرنے کے لیے کافی تکملی نقاط استعمال ہوں اسے مکمل تکمل کہتے ہیں، جبکہ اس سے ایک درجہ کم تکملی نقاط والا تکمل تخفیف شدہ تکمل کہلاتا ہے۔ تخفیف شدہ تکمل برشی اور حجمی لاکنگ کو کم کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے، لیکن آورگلاس موڈ جیسے غیر حقیقی تبدیلیِ شکل کے موڈز کے لیے مناسب تدبیر درکار ہوتی ہے۔ ہر عنصر کی قسم کے لیے تکملی نقاط کی تعداد اور مکمل/تخفیف شدہ تکمل کے انتخاب کو عنصر نمبرنگ نظام اور شکل-تابع لائبریری کے بعد کے حصوں اور اعلیٰ کارکردگی عنصری تشکیل میں بیان کیا گیا ہے۔

متعلقہ موضوعات