براہِ راست مواد پر جائیں

3 ابعادی سالڈ عناصر کے شکلی تفاعل

شکلی تفاعل اور محدود عنصری تخمینہ میں متعارف شکلی تفاعل \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) کے لیے، FrontISTR میں تسلسلی جسم کے تجزیے میں استعمال ہونے والے 3 ابعادی سالڈ عناصر کے قدرتی محددات اور مخصوص صورتیں اس باب میں دی گئی ہیں۔ زیرِ غور چھ اقسام ٹیٹراہیڈرل خطی/درجہ دوم (341/342)، مثلثی پرزم خطی/درجہ دوم (351/352)، اور ہیکساہیڈرل خطی/درجہ دوم (361/362) ہیں۔ HEC-MW میش فارمیٹ میں نوڈ ترتیب اور رخ نمبر کے لیے فعلی حوالہ عنصر لائبریری دیکھیں۔

ان شکلی تفاعل اور جیکوبین ڈیٹرمننٹ سے عنصری تکمل بنانے کا طریقہ عددی تکمل کے مطابق ہے۔ 361 کی B-bar، F-bar، نامطابق تشکیل، اور بیم/شیل عناصر کے شکلی تفاعل اعلیٰ کارکردگی عنصری تشکیل میں بیان ہیں۔

قدرتی محددات اور داخلی نوڈ ترتیب

شکلی تفاعل ہر عنصر کے قدرتی محددات \(\boldsymbol{r}\) پر متعین ہوتے ہیں۔ 3 ابعادی سالڈ عناصر میں عنصر کی شکل کے مطابق درج ذیل تین قدرتی محدداتی نظام استعمال ہوتے ہیں۔

  • ہیکساہیڈرون (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\)، \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\)۔
  • ٹیٹراہیڈرون (341/342): حجمی محددات \((L_1, L_2, L_3, L_4)\)، \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\)، \(L_i \ge 0\)۔ آزاد متغیرات \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) ہیں اور \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\) سے متعین ہوتا ہے۔
  • مثلثی پرزم (351/352): قاعدے کے مثلث کے حجمی محددات \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\)، \(\xi + \eta \le 1\)) کو محوری محدد \(\zeta \in [-1, 1]\) کے ساتھ ملا کر \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) لیا جاتا ہے۔ معاون مقدار \(a = 1 - \xi - \eta\) قاعدے کے تیسرے حجمی محدد کے طور پر استعمال ہوتی ہے۔

خطی عناصر میں عنصر نوڈ نمبروں کی HEC-MW ان پٹ ترتیب اور داخلی ترتیب ایک جیسی ہے۔ درجہ دوم عناصر میں کناروں کے وسطی نوڈوں کی ترتیب دونوں صورتوں میں مختلف ہے۔ FrontISTR ان پٹ میں HEC-MW ترتیب قبول کرتا ہے (گوشہ نوڈ کے بعد کنارہ 1-2، 2-3، … کی ترتیب سے وسطی نوڈ)، جبکہ عنصر لائبریری کے شکلی تفاعل ایک دوسری داخلی ترتیب فرض کرتے ہیں۔

اس فرق کو میش پڑھنے کے فوراً بعد بلایا جانے والا hecmw2fstr_mesh_conv ہر عنصر کے نوڈ دوبارہ ترتیب دے کر ختم کرتا ہے۔ 3 ابعادی سالڈ عناصر میں تبدیلی کے ہدف درج ذیل دو اقسام ہیں۔

عنصر کی قسم تبدیلی جدول مواد
342 (ٹیٹراہیڈرون درجہ دوم) Table342 10 نوڈوں کو \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) کی ترتیب میں رکھتا ہے
352 (مثلثی پرزم درجہ دوم) Table352 15 نوڈوں کو \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) کی ترتیب میں رکھتا ہے

چونکہ تبدیلی عنصر اتصال محفوظ کرنے والی ارے پر براہِ راست ہوتی ہے، اس کے بعد عنصر لائبریری کی تمام کالز FrontISTR کی داخلی نوڈ ترتیب استعمال کرتی ہیں۔ ہیکساہیڈرل درجہ دوم عنصر 362 میں HEC-MW ان پٹ اور FrontISTR داخلی ترتیب کے وسطی نوڈ ایک جیسے ہیں، اس لیے تبدیلی جدول موجود نہیں۔ نتیجہ لکھتے وقت معکوس تبدیلی fstr2hecmw_mesh_conv سے HEC-MW ترتیب بحال کرکے آؤٹ پٹ لکھی جاتی ہے، لہٰذا صارف کو ان پٹ اور آؤٹ پٹ دونوں میں صرف HEC-MW ترتیب کا خیال رکھنا ہے۔ ذیل کے شکلی تفاعل کے نوڈ نمبر تبدیلی کے بعد FrontISTR داخلی ترتیب کے مطابق ہیں۔

خطی عناصر کے شکلی تفاعل

ٹیٹراہیڈرل خطی عنصر (341) کے شکلی تفاعل خود حجمی محددات ہیں:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

مثلثی پرزم خطی عنصر (351) کے شکلی تفاعل قاعدے کے مثلث کے خطی شکلی تفاعل (\(a, \xi, \eta\)) اور محوری خطی شکلی تفاعل (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) کا حاصل ضرب ہیں:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

ہیکساہیڈرل خطی عنصر (361) کے شکلی تفاعل تین محوری سمتوں کے خطی شکلی تفاعل کا ٹینسر ضرب ہیں:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

جہاں \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) نوڈ \(\alpha\) کے قدرتی محدداتی اقدار ہیں (ہر جزو \(\pm 1\))۔

درجہ دوم عناصر کے شکلی تفاعل

ٹیٹراہیڈرل درجہ دوم عنصر (342) کے شکلی تفاعل 4 گوشہ نوڈ اور کناروں کے 6 وسطی نوڈوں میں تقسیم ہوتے ہیں:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

وسطی نوڈ 5 تا 10 بالترتیب کناروں 1-2، 2-3، 1-3، 1-4، 2-4، 3-4 کے وسطی نقاط ہیں۔

مثلثی پرزم درجہ دوم عنصر (352) کے شکلی تفاعل 6 گوشہ نوڈ، مثلثی رخوں کے کناروں کے 6 وسطی نوڈ، اور محوری کناروں کے 3 وسطی نوڈوں پر مشتمل ہیں:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

وسطی نوڈ 7 تا 9 قاعدے کے مثلث (\(\zeta = -1\)) کے کناروں کے وسطی نقاط، 10 تا 12 اوپری مثلث (\(\zeta = +1\)) کے کناروں کے وسطی نقاط، اور 13 تا 15 محوری کناروں کے وسطی نقاط ہیں۔

ہیکساہیڈرل درجہ دوم عنصر (362) سیرنڈیپٹی خاندان کا 20 نوڈ عنصر ہے۔ نوڈ \(\alpha\) کے قدرتی محددات کو \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) لکھیں۔ گوشہ نوڈ (\(\alpha = 1, \ldots, 8\)، ہر جزو \(\pm 1\)) کے لیے

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

کنارے کے وسطی نوڈوں (\(\alpha = 9, \ldots, 20\)، تین قدرتی محددات میں ایک \(0\) اور باقی دو \(\pm 1\)) میں، \(\xi_\alpha = 0\) والے نوڈ (کنارہ \(\xi\) محور کی سمت) کے لیے

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

\(\eta\) محور اور \(\zeta\) محور کی سمت والے وسطی نوڈ بھی اسی طرح متعلقہ قدرتی محدد کو مربع جز سے ختم کرکے دیے جاتے ہیں۔

متعلقہ موضوعات