اعلیٰ کارکردگی کی عنصری فارمولیشنیں¶

سہ بُعدی سالڈ عناصر کی فارمولیشن میں دکھائی گئی معیاری نقل مکانی پر مبنی فارمولیشن، تقریباً ناقابلِ تراکم مادّوں یا خمش کے زیرِ غالب باریک دیواروں والی ساختوں پر لاگو کرنے سے لاکنگ (حجمی لاکنگ اور قینچی لاکنگ) کہلانے والی غیر حقیقی حد سے زیادہ سختی دکھاتی ہے۔ اس سے بچنے کے لیے FrontISTR میں B میٹرکس یا تبدیلیِ شکل کے گرادیان کے صرف حجمی حصے کو بدلنے والے B-bar اور F-bar طریقے، داخلی درجاتِ آزادی متعارف کرنے والے غیر ہم آہنگ عناصر، دباؤ کو مستقل نامعلوم میدان کے طور پر لینے والے u-p مخلوط عناصر، اور تختی و بیم ساختوں کے لیے مخصوص MITC شیل عناصر اور بیم عناصر موجود ہیں۔

اس باب میں ان اعلیٰ کارکردگی کے عناصر اور ساختی عناصر کی فارمولیشنوں کو عنصر کے لحاظ سے منظم کیا گیا ہے۔

B-bar طریقہ¶

8 نوڈ والے اولی شش سطحی عنصر کو تقریباً ناقابلِ تراکم مادّے کے لیے استعمال کرنے پر ایک عنصر کے اندر کرنش مستقل حجم کی پابندی سے متصادم ہو جاتی ہے اور حجمی لاکنگ نامی حد سے زیادہ سختی پیدا ہوتی ہے۔ B-bar طریقہ B میٹرکس کے ان اجزا کو، جو حجمی پھیلاؤ میں حصہ لیتے ہیں، عنصر کے مرکز پر جانچی گئی قدر سے بدل کر زائد پابندی کو کم کرتا ہے [Hughes1980]۔

عنصر کے مرکز \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) پر شکلی تفاعل کے مکانی مشتقات سے حساب کیے گئے B میٹرکس کو \(\bar{\boldsymbol{B}}\) اور تکملی نقطے \(\boldsymbol{r}\) پر حساب کیے گئے معمول کے B میٹرکس کو \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) فرض کریں۔ نوڈ \(\alpha\) کے درجۂ آزادی \(i\) کے لیے نقل مکانی-کرنش تعلق میں حجمی کرنش کے اجزا \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) میں

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

شامل کیا جاتا ہے، جبکہ قینچی اجزا \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) کے لیے معمول کا \(\boldsymbol{B}\) استعمال ہوتا ہے۔ اس طرح حاصل B-bar میٹرکس سے عنصری سختی اور داخلی قوت ویکٹر جوڑے جاتے ہیں۔

FrontISTR میں یہ فارمولیشن خاص طور پر 8 نوڈ والے اولی شش سطحی عنصر (عنصر ID 361، عنصر نمبرنگ نظام) کے لیے فراہم کی گئی ہے، اور نہایت چھوٹی تبدیلیِ شکل، ٹوٹل لاگرانژ، اور اپڈیٹڈ لاگرانژ، تینوں پر لاگو ہوتی ہے۔

F-bar طریقہ¶

محدود تبدیلیِ شکل میں حجمی تبدیلی، تبدیلیِ شکل کے گرادیان \(\boldsymbol{F}\) کے ذریعے غیر خطی طور پر اثر انداز ہوتی ہے، اس لیے F-bar طریقہ [deSouzaNeto1996] تبدیلیِ شکل کے گرادیان کی سطح پر B-bar کے مساوی حجمی لاکنگ کا علاج کرتا ہے۔

عنصر کے مرکز \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) پر جانچے گئے تبدیلیِ شکل کے گرادیان کا حجمی تناسب \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) اور تکملی نقطے پر حجمی تناسب \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) فرض کرتے ہوئے، تکملی نقطے کا تبدیلیِ شکل گرادیان

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

سے بدل دیا جاتا ہے۔ اس سے \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) ہوتا ہے اور پورے عنصر میں حجمی تناسب عنصر کے مرکزی قدر کے برابر ہو جاتا ہے۔ تناؤ کی جانچ اور کرنش-نقل مکانی میٹرکس کی تشکیل کے لیے بدلا ہوا \(\bar{\boldsymbol{F}}\) استعمال ہوتا ہے، اور عنصری سختی میں اس تبدیلی سے پیدا ہونے والی اضافی اصطلاحات سمیت مماسی میٹرکس تشکیل دیا جاتا ہے۔

FrontISTR میں F-bar طریقہ خاص طور پر 8 نوڈ والے اولی شش سطحی عنصر کے لیے نافذ ہے اور نہایت چھوٹی تبدیلیِ شکل کے ساتھ ٹوٹل لاگرانژ / اپڈیٹڈ لاگرانژ غیر خطی ہندسہ، دونوں پر لاگو ہوتا ہے۔

غیر ہم آہنگ عنصر¶

8 نوڈ والے اولی شش سطحی عنصر میں خمش موڈ کے لیے درکار کرنش کے درجاتِ آزادی موجود نہیں ہوتے، اس لیے خمش غالب مسائل میں خمش لاکنگ ظاہر ہوتی ہے۔ غیر ہم آہنگ عنصر [Taylor1976] اس کمی کو پورا کرنے کے لیے عنصر کے اندر اضافی نقل مکانی موڈ متعارف کرتا ہے۔

عنصر نوڈ کی نقل مکانی \(\boldsymbol{u}^e\) کے علاوہ صرف عنصر کے اندر موجود غیر ہم آہنگ موڈ کے درجاتِ آزادی \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\)، فی عنصر 3 سمتیں × 3 موڈ، شامل کیے جاتے ہیں، اور نقل مکانی کے میدان کو

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

سے تقریب کیا جاتا ہے۔ طبیعی محددات \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) کے لیے غیر ہم آہنگ شکلی تفاعل \(M_1 = 1 - \xi^2\)، \(M_2 = 1 - \eta^2\)، \(M_3 = 1 - \zeta^2\) لیے جاتے ہیں۔ یہ عنصر کی حدود پر تسلسل کی ضمانت نہیں دیتے، لیکن عنصر کے اندر خمش موڈ کی کرنش کو باز پیدا کرنے والا اضافی فضا فراہم کرتے ہیں۔

عنصری سختی کو پہلے خارجی درجاتِ آزادی-داخلی درجاتِ آزادی کے بلاک تجزیے

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

کی شکل میں جوڑا جاتا ہے، پھر داخلی درجاتِ آزادی کو \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) سے ختم کرنے والی جامد اختزال کی جاتی ہے اور صرف خارجی درجاتِ آزادی کی عنصری سختی

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

مجموعی اسمبلی کو دی جاتی ہے۔

FrontISTR میں غیر ہم آہنگ عنصر خاص طور پر 8 نوڈ والے اولی شش سطحی عنصر (C3D8IC) کے لیے نافذ ہے اور نہایت چھوٹی تبدیلیِ شکل، ٹوٹل لاگرانژ اور اپڈیٹڈ لاگرانژ، تینوں پر لاگو ہوتا ہے۔

U-P مخلوط عنصر¶

B-bar اور F-bar طریقے نقل مکانی پر مبنی فریم ورک کے اندر حجمی جزو کی اصلاح کرتے ہیں، جبکہ u-p مخلوط (U-P) عنصر دباؤ \(\lambda\) کو نقل مکانی سے آزاد نامعلوم میدان کے طور پر متعارف کرنے والی مخلوط فارمولیشن [Bathe1996] ہے۔ تقریباً ناقابلِ تراکم مادّوں (مثلاً پوآساں نسبت 0.5 کے نہایت قریب رکھنے والے ربڑ جیسے مادّے یا پلاسٹک تبدیلیِ شکل کے بعد دھاتیں) میں اگر صرف نقل مکانی میدان سے مستقل حجم کی پابندی پوری کرنے کی کوشش کی جائے تو حجمی لاکنگ ہوتی ہے؛ دباؤ کو آزاد متغیر بنانے سے یہ پابندی نرم ہو جاتی ہے۔

تناؤ کو انحرافی جزو اور دباؤ میں تقسیم کر کے

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

لکھتے ہیں۔ یہاں \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) وہ انحرافی لچکی میٹرکس ہے جو لچکی میٹرکس سے حجمی ماڈیولس \(K\) کے متناسب حجمی حصے کو نکال کر حاصل ہوتا ہے۔ دباؤ \(\lambda\) اور حجمی کرنش \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) کو قابلِ تراکمیت \(\alpha^{-1} = 1/K\) کے ذریعے پابندی

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

سے جوڑا جاتا ہے۔ نقل مکانی \(\boldsymbol{u}\) اور دباؤ \(\lambda\) کو نامعلوم مان کر تقطیع سے عنصری مشترک مساوات

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

ملتی ہے۔ یہاں \(\mathbf{K}_{uu}\) میں انحرافی لچکی جزو اور (محدود تبدیلیِ شکل کی صورت میں) ہندسی سختی شامل ہیں، \(\mathbf{K}_{up}\) حجمی کرنش اور دباؤ کو جوڑتا ہے، اور \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) دباؤ کا استحکامی جزو ہے (\(\boldsymbol{N}_p\) دباؤ کا شکلی تفاعل ہے)۔ چونکہ دباؤ کے درجاتِ آزادی عنصر کے اندر محدود ہیں،

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

کی شکل میں جامد اختزال کر کے صرف خارجی (نقل مکانی) درجاتِ آزادی کی مؤثر سختی مجموعی اسمبلی کو دی جاتی ہے۔

FrontISTR میں U-P عنصر خاص طور پر 8 نوڈ والے اولی شش سطحی عنصر کے لیے نافذ ہے اور دباؤ کا ایک درجۂ آزادی فی عنصر (عنصر کے اندر مستقل) رکھا جاتا ہے۔ یہ نہایت چھوٹی تبدیلیِ شکل، ٹوٹل لاگرانژ اور اپڈیٹڈ لاگرانژ، تینوں پر لاگو ہوتا ہے۔ اپڈیٹڈ لاگرانژ میں انحرافی تناؤ کو معروضی شرحِ تناؤ (Jaumann / Hughes-Winget قسم) سے تازہ کرنے کے بعد دباؤ \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) جامد اختزال سے حاصل قدر کے مطابق عائد کیا جاتا ہے۔

شیل عنصر¶

باریک دیواروں والی تختی اور خول ساختوں کے لیے رائسزнер-منڈلن تختی/خول نظریے پر مبنی شیل عناصر استعمال کیے جاتے ہیں۔ کم درجے کے نقل مکانی پر مبنی تختی/خول عناصر میں موٹائی کم ہونے کے ساتھ عرضی قینچی کرنش، حجمی لاکنگ سے ملتے جلتے طریقۂ کار (قینچی لاکنگ) سے زیادہ جانچی جاتی ہے، جس سے خمش موڈ کے لیے سختی غیر معمولی طور پر بڑھتی ہے۔ MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) طریقہ [Dvorkin1984] [Bathe1986] صرف قینچی کرنش کے اجزا کو عنصر کے اندر پہلے سے متعین ٹائنگ نقاط پر دوبارہ نمونہ لے کر اور ان نمونہ اقدار کو عنصر کے اندر پھر استقرا کر کے اس مسئلے سے بچتا ہے۔

MITC شیل عنصر کے نوڈ خمیدہ سطح کی وسطی سطح پر ہوتے ہیں، اور ہر نوڈ کے درجاتِ آزادی میں نقل مکانی کے 3 اجزا اور وسطی سطح کے عمود کے گرد گردش کے 3 اجزا، کل 6 درجاتِ آزادی شامل ہوتے ہیں۔ عنصری سختی وسطی سطح کے طبیعی محددات اور موٹائی کی سمت ملا کر سہ بُعدی گاؤسی تکمل سے جانچی جاتی ہے، اور تختی کی موٹائی \(h\) مادی تشکیلی قانون کے حساب میں عنصری خاصیت کے طور پر دی جاتی ہے۔

FrontISTR ایک وسطی سطحی تہہ والے MITC3 (عنصر ID 731)، MITC4 (741)، MITC9 (743)، اور موٹائی کے پار نوڈ کی دو تہیں رکھنے والے تہہ دار شیل عناصر MITC3-shell361 (761، 3\(\times\)2 نوڈ، ہر نوڈ 3 درجاتِ آزادی) اور MITC4-shell361 (781، 4\(\times\)2 نوڈ، ہر نوڈ 3 درجاتِ آزادی) فراہم کرتا ہے۔ تہہ دار شیل عناصر میں نوڈ کے درجاتِ آزادی صرف نقل مکانی کے 3 اجزا ہوتے ہیں اور گردشی درجاتِ آزادی کے مساوی خمش موڈ کو دو تہوں کی ترتیب سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

بیم عنصر¶

گرڈر اور فریم جیسی خطی ساختیں بیم عناصر سے تقطیع کی جاتی ہیں۔ FrontISTR قینچی تبدیلیِ شکل کو شامل کرنے والی تیموشینکو بیم فارمولیشن استعمال کرتا ہے، جس میں خمش اور قینچی دونوں کو نقل مکانی اور گردشی درجاتِ آزادی کے فنکشن کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔

بیم عنصر کے ہر نوڈ میں نقل مکانی کے 3 اجزا اور بیم محور و عرضی محوروں کے گرد گردش کے 3 اجزا، کل 6 درجاتِ آزادی ہوتے ہیں، اور عنصری سختی بیم محور کے ساتھ یک بُعدی عددی تکمل سے جانچی جاتی ہے۔ مقطع کا رقبہ \(A\) اور خمش و پیچش سمتوں کے رقبے کے دوسرے مومنٹ \(I\) بیم کے مقطعی مستقلات کے طور پر عنصری خاصیت میں دیے جاتے ہیں، اور مادّے کے ینگ ماڈیولس \(E\) اور قینچی ماڈیولس \(G\) کے ساتھ مل کر محوری، خمشی، پیچشی، اور قینچی سختیوں کے ضرائب بناتے ہیں۔

FrontISTR دو نوڈ والا سیدھا بیم عنصر (عنصر ID 611) اور 3 نوڈ سے ظاہر کیا جانے والا 4 نوڈ چہار سطحی سالڈ-بیم ہائبرڈ عنصر (641، مخلوط درجاتِ آزادی کے لیے) فراہم کرتا ہے۔