حرکت، تشکل اور کرنش¶

بنیادی اور موجودہ ترتیبات¶

ترتیب کی تعریف¶

طبیعی مقداروں کو کس وقت کی شکل کے حوالے سے بیان کیا جا رہا ہے، یہ واضح کرنے کے لیے اس دستی میں دو قسم کی ترتیبات استعمال کی جاتی ہیں۔

بنیادی ترتیب: تجزیہ کے آغاز (وقت \(0\)) کی غیر متشکل شکل، جسے ابتدائی ترتیب بھی کہا جاتا ہے۔ بنیادی ترتیب میں نقطے کو مادّہ مختصات \(\boldsymbol{X}\) سے، حجم کو \(V\) اور سطح کو \(S\) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔
موجودہ ترتیب: وقت \(t\) پر تشکل شدہ شکل۔ موجودہ ترتیب میں نقطے کو مکانی مختصات \(\boldsymbol{x}\) سے، حجم کو \(v\) اور سطح کو \(s\) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

حرکت کو ان دونوں ترتیبات کے درمیان نگاشت \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، اور نقل مکانی کو \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) سے متعین کیا جاتا ہے۔

ترتیب پر منحصر علامتی روایت (بڑے/چھوٹے حروف)¶

طبعی مقدار کس ترتیب سے تعلق رکھتی ہے، اسے علامت کے بڑے یا چھوٹے حروف ہونے سے ممتاز کیا جاتا ہے۔

بنیادی ترتیب سے متعلق مقداریں بڑے حروف میں لکھی جاتی ہیں، مثلاً \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)۔
موجودہ ترتیب سے متعلق مقداریں چھوٹے حروف حروف میں لکھی جاتی ہیں، مثلاً \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)۔
اوّل Piola-Kirchhoff تناؤ \(\boldsymbol{P}\) جیسی مقداریں جو دونوں ترتیبات سے متعلق ہوں، مروجہ علامتی طرز سے لکھی جاتی ہیں اور متن میں ہر بار اس کی وضاحت کی جاتی ہے۔
نہایت چھوٹے تشکل کے نظریے میں دونوں ترتیبات کا فرق ختم ہو جاتا ہے، اس لیے صرف چھوٹے حروف علامتی طرز (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) استعمال ہوتی ہے۔

بنیادی اور موجودہ ترتیب کے گریڈینٹ¶

مکانی مشتق کس ترتیب کے لحاظ سے لیا جائے، اس کے مطابق علامتی طرز اور معنی مختلف ہوتے ہیں۔

بنیادی گریڈینٹ \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): مادّہ مختصات کے لحاظ سے گریڈینٹ۔ مثال: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\)۔
موجودہ گریڈینٹ \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): مکانی مختصات کے لحاظ سے گریڈینٹ۔ مثال: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\)۔

دونوں کا تعلق \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) سے ہے۔ وقت کے مشتق کا قاعدہ، یعنی مادی وقتی مشتق \(\dot{(\cdot)}\)، کے لیے ٹینسر علامتی طرز اور ریاضیاتی بنیاد دیکھیں۔

حرکت کی بیان¶

حرکتی نگاشت اور مادی/مکانی بیانات¶

مسلسل محیط کو وقت \(0\) پر مقام \(\boldsymbol{X}\) سے برچسب کیے گئے مادّہ نقاط کا مجموعہ سمجھیں تو حرکت مادّہ نقطہ \(\boldsymbol{X}\) کو وقت \(t\) پر مقام \(\boldsymbol{x}\) سے مربوط کرنے والی نگاشت \(\phi\) سے ظاہر ہوتا ہے:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

بنیادی ترتیب کو ابتدائی ترتیب لینے کی قاعدہ میں \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) ہوتا ہے۔

آزاد متغیرات کے انتخاب سے دو قسم کے بیانات ممتاز ہوتی ہیں۔

مادّہ (Lagrangian) بیان: طبیعی مقداریں کو \((\boldsymbol{X}, t)\) کی افعال کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ ٹھوس میکانیات میں بنیادی ترتیب مقرر ہندسہ کے طور پر دی جاتی ہے، اس لیے یہ فطری انتخاب ہے۔
مکانی بیان (Eulerian بیان): طبیعی مقداریں کو \((\boldsymbol{x}, t)\) کی افعال کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ سیال میکانیات میں یہ معیاری طریقہ ہے۔

FrontISTR کی ساختی تجزیہ بنیادی طور پر مادّہ بیان پر مبنی ہے، لیکن تازہ شدہ Lagrange طریقہ میں موجودہ ترتیب کو نئی بنیادی ترتیب کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے، اس لیے مکانی بیان کی مقداریں بھی ساتھ استعمال ہوتی ہیں۔

نقل مکانی، سمتی رفتار، تعجیل¶

نقل مکانی \(\boldsymbol{u}\) کو پچھلے سیکشن کی طرح \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) سے متعین کیا جاتا ہے۔ اس کی قدر کے بارے میں کوئی مفروضہ نہیں لگائی جاتی، اس لیے محدود تشکل بھی شامل ہے۔ رفتار سمتیہ اور تعجیل سمتیہ، مادّہ نقطہ کو مقرر رکھتے ہوئے، \(\boldsymbol{u}\) کے مادی وقتی مشتقات کے طور پر

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

متعین کیے جاتے ہیں۔

تشکل گریڈینٹ اور تشکلی ٹینسر¶

تشکل-گریڈینٹ ٹینسر¶

محدود-تشکل مسلسل میکانیات کی بنیادی مقدار تشکل-گریڈینٹ ٹینسر \(\boldsymbol{F}\) ہے۔ یہ بنیادی ترتیب کے نہایت چھوٹا سطر عنصر \(d\boldsymbol{X}\) کو موجودہ ترتیب کے نہایت چھوٹا سطر عنصر \(d\boldsymbol{x}\) میں نگاشت کرنے والی خطی نگاشت ہے، اور حرکتی نگاشت کے مادی مختصات کے لحاظ سے گریڈینٹ کے طور پر

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

متعین ہوتی ہے (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\))۔ غیر متشکل حالت میں \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) ہوتا ہے۔ \(\boldsymbol{F}\) کرنش اور تناؤ کی تعریفیں اور ترتیبات کے درمیان طبیعی مقداریں کی تبدیلی میں وسیع طور پر استعمال ہوتا ہے۔

حجمی تبدیلی کی نسبت¶

بنیادی ترتیب کے نہایت چھوٹا حجم \(dV\) اور موجودہ ترتیب کے نہایت چھوٹا حجم \(dv\) کے نسبت کو حجمی تبدیلی کی نسبت \(J\) کہتے ہیں اور

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

سے ظاہر کرتے ہیں۔ مسلسل محیط کی معکوس پذیری کی بنا پر \(J > 0\) فرض کیا جاتا ہے۔ کمیت بقا کو \(\rho_0 = J\rho\) سے لکھا جاتا ہے۔

دایاں/بائیں Cauchy-Green تشکلی ٹینسر¶

تشکل گریڈینٹ \(\boldsymbol{F}\) میں صلب-جسمانی گردش بھی شامل ہوتا ہے، اس لیے تشکل خود کو ظاہر کرنے کے لیے صلب-جسمانی گردش کو خارج کرنے والی مقداریں استعمال کی جاتی ہیں۔ دایاں Cauchy-Green تشکل ٹینسر \(\boldsymbol{C}\) (بنیادی ترتیب) اور بایاں Cauchy-Green تشکل ٹینسر \(\boldsymbol{b}\) (موجودہ ترتیب) کو

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

متعین کیا جاتا ہے۔ دونوں متناظر ٹینسر ہیں اور ایک ہی ذاتی قدریں، یعنی اصلی کھنچاؤ نسبتیں کے مربع، رکھتے ہیں۔ فوق لچک کرنش-توانائی فعل کے اصلی ناوردات انہی سے دیے جاتے ہیں۔

کرنش ٹینسر¶

Green-Lagrange کرنش ٹینسر¶

بنیادی ترتیب پر مبنی کرنش پیمانہ کے طور پر Green-Lagrange کرنش ٹینسر \(\boldsymbol{E}\) کو

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

متعین کیا جاتا ہے۔ یہ بنیادی ترتیب میں نہایت چھوٹا سمتیے کے اندرونی ضرب کی تبدیلی ظاہر کرنے والا متناظر ٹینسر ہے، صلب-جسمانی گردش کے تحت غیر متغیر ہے، اور غیر متشکل حالت میں \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) ہوتا ہے۔ \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) استعمال کرنے پر

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

نقل مکانی گریڈینٹ کے اوّل اور دوم مرتبہ حدود کے مجموعے کے طور پر حاصل ہوتا ہے، اور دوم مرتبہ حد ہندسی غیر خطیت ظاہر کرتا ہے۔ کل Lagrange طریقہ میں اسے تناؤ کے ساتھ مزدوج جوڑا \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔

Almansi کرنش ٹینسر¶

موجودہ ترتیب پر مبنی کرنش پیمانہ کے طور پر Almansi کرنش ٹینسر \(\boldsymbol{e}\) کو

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

متعین کیا جاتا ہے۔ Green-Lagrange کرنش سے اس کا تعلق \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (پل بیک) سے ہے۔

نہایت چھوٹا کرنش ٹینسر¶

جب نقل مکانی گریڈینٹ چھوٹا ہو (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\))، Green-Lagrange کرنش کے دوم مرتبہ حدود نظر انداز کیے جا سکتے ہیں، اور دونوں ترتیبات کا فرق بھی ختم ہو جاتا ہے؛ اس لیے مکانی مختصات میں گریڈینٹ سے ظاہر ہونے والے نہایت چھوٹا کرنش ٹینسر \(\boldsymbol{\varepsilon}\) پر منتج ہوتا ہے:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR کی خطی جامد تجزیہ، موڈل تجزیہ، تعدد-ردعمل تجزیہ اور خطی حرکی تجزیہ میں یہی کرنش پیمانہ استعمال ہوتا ہے۔ محدود-تشکل تجزیہ میں کل Lagrange طریقہ میں \(\boldsymbol{E}\) اور تازہ شدہ Lagrange طریقہ میں موجودہ-ترتیب تشکل-شرح ٹینسر \(\boldsymbol{D}\) استعمال کیا جاتا ہے۔