براہِ راست مواد پر جائیں

تناؤ اور بقائی قوانین

اس باب میں تناؤ ٹینسروں کی تعریف اور باہمی تعلق، نیز کمیت، خطی مومینٹم اور زاویائی مومینٹم کے بقائی قوانین سے اخذ ہونے والی توازن کی مساوات اور تناؤ کی تقارنیت کو منظم کیا گیا ہے۔ تین قسم کے تناؤ ٹینسر—Cauchy تناؤ \(\boldsymbol{\sigma}\)، اول Piola-Kirchhoff تناؤ \(\boldsymbol{P}\)، اور دوم Piola-Kirchhoff تناؤ \(\boldsymbol{S}\)—اس فرق کی بنیاد پر متعارف ہوتے ہیں کہ حوالہ جاتی سطح اور قوت ویکٹر کے لیے کون سی ترتیب اختیار کی جاتی ہے۔ ترتیب، حرکت اور تبدیلیِ شکل کے گریڈینٹ کی تعریف کے لیے حرکت، تبدیلیِ شکل اور کرنش، اور علامتوں کے لیے طبعی مقداروں کی علامتوں کی فہرست دیکھیں۔

Cauchy تناؤ ٹینسر

موجودہ ترتیب میں نقطہ \(\boldsymbol{x}\) پر ایک لامتناہی سطح، جس کا رقبہ \(d\Gamma\) اور بیرونی اکائی عمود \(\boldsymbol{n}\) ہو، پر عمل کرنے والی قوت کو \(d\boldsymbol{f}\) کہیں۔ تناؤ ویکٹر \(\boldsymbol{t}\) کو فی اکائی رقبہ قوت کے طور پر \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) سے تعریف کیا جاتا ہے۔ \(\boldsymbol{t}\) مقام \(\boldsymbol{x}\) اور عمود \(\boldsymbol{n}\) دونوں پر منحصر ہے۔ ایک لامتناہی چہاروجہ پر مومینٹم کے بقائی قانون کے اطلاق سے \(\boldsymbol{t}\)، \(\boldsymbol{n}\) کے لحاظ سے خطی ثابت ہوتا ہے؛ چنانچہ ایک دوسرے درجے کا ٹینسر \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) موجود ہے جس کے لیے

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

ہر \(\boldsymbol{n}\) کے لیے درست ہے۔ اسے Cauchy کا قضیۂ تناؤ کہتے ہیں۔ ٹینسر \(\boldsymbol{\sigma}\) کو Cauchy تناؤ ٹینسر کہا جاتا ہے، اور چونکہ یہ موجودہ ترتیب کی جیومیٹری کے لحاظ سے فی اکائی رقبہ قوت ظاہر کرتا ہے، اسے حقیقی تناؤ بھی کہتے ہیں۔ جزو \(\sigma_{ij}\) موجودہ ترتیب میں محور \(x_j\) کے عمود لامتناہی سطح کے فی اکائی رقبہ پر عمل کرنے والی قوت کا \(x_i\) جزو ظاہر کرتا ہے۔

جیسا کہ زاویائی مومینٹم کے بقائی قانون سے آگے دکھایا جائے گا، Cauchy تناؤ ایک متقارن ٹینسر ہے:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

اس لیے تین ابعاد میں اس کے چھ آزاد اجزا (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)) ہوتے ہیں۔ Voigt نوٹیشن میں تناؤ کو ویکٹر بنانے کی بنیاد یہی تقارنیت ہے؛ ٹینسر نوٹیشن اور ریاضیاتی بنیادیں دیکھیں۔ Cauchy تناؤ FrontISTR میں Updated Lagrange طریقے کے جیومیٹریائی غیر خطی تجزیے اور چھوٹی تبدیلیِ شکل کے تجزیے میں تناؤ کے آؤٹ پٹ کے لیے استعمال ہوتا ہے۔

اول اور دوم Piola-Kirchhoff تناؤ

محدود تبدیلیِ شکل میں کئی مواقع پر تناؤ کو بنیادی ترتیب کی سطحوں اور ویکٹروں کے حوالے سے ظاہر کرنا زیادہ موزوں ہوتا ہے، اس لیے دو Piola-Kirchhoff تناؤ ٹینسر متعارف کیے جاتے ہیں۔ بنیادی ترتیب میں ایک لامتناہی سطح کا رقبہ \(d\Gamma_0\) اور اس کا بیرونی اکائی عمود \(\boldsymbol{N}\) ہو۔

اول Piola-Kirchhoff تناؤ (اول PK تناؤ، اسمی تناؤ) \(\boldsymbol{P}\) اس تناؤ ٹینسر کے طور پر تعریف ہوتا ہے جو موجودہ ترتیب کی قوت \(d\boldsymbol{f}\) کو بنیادی ترتیب کی لامتناہی سطح پر عمل کرانے سے حاصل ہو:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Nanson کے فارمولے \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) اور Cauchy کے قضیۂ تناؤ سے Cauchy تناؤ کے ساتھ تعلق

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

حاصل ہوتا ہے۔ اول PK تناؤ عمومی طور پر غیر متقارن ٹینسر ہے۔

دوم Piola-Kirchhoff تناؤ (دوم PK تناؤ) \(\boldsymbol{S}\) اس تناؤ ٹینسر کے طور پر تعریف ہوتا ہے جو موجودہ ترتیب کی قوت \(d\boldsymbol{f}\) کو \(\boldsymbol{F}^{-1}\) کے ذریعے بنیادی ترتیب میں واپس کھینچ کر بنیادی ترتیب کی لامتناہی سطح پر عمل کرانے سے حاصل ہو:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

قوت ویکٹر اور اس کی عمل کی سطح، دونوں بنیادی ترتیب کی مقداروں میں ظاہر ہوتے ہیں، اس لیے یہ صلب جسمانی گردش کے تحت غیر متغیر اور متقارن ٹینسر ہے۔ اول PK تناؤ کے ساتھ تعلق اور Cauchy تناؤ سے تبدیلی کے روابط یہ ہیں:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

دوم PK تناؤ فوق لچکدار کرنش-توانائی فنکشن \(W(\boldsymbol{C})\) سے \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) کے طور پر اخذ ہوتا ہے، اور Total Lagrange طریقے میں Green-Lagrange کرنش \(\boldsymbol{E}\) کے ساتھ کام کے لحاظ سے مزدوج جوڑے \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) کے طور پر استعمال ہوتا ہے۔

حوالہ جاتی ترتیب اور تقارنیت کا خلاصہ درج ذیل جدول میں ہے۔ چھوٹی تبدیلیِ شکل کی حد (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\)، \(J \to 1\)) میں تینوں تناؤ ایک ہو جاتے ہیں۔

تناؤ ٹینسر حوالہ جاتی سطح قوت ویکٹر تقارنیت استعمال
Cauchy تناؤ \(\boldsymbol{\sigma}\) موجودہ ترتیب \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) موجودہ ترتیب \(d\boldsymbol{f}\) متقارن Updated Lagrange طریقہ / چھوٹی تبدیلیِ شکل کا تجزیہ
اول PK تناؤ \(\boldsymbol{P}\) بنیادی ترتیب \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) موجودہ ترتیب \(d\boldsymbol{f}\) عمومی طور پر غیر متقارن بنیادی ترتیب میں توازن کی مساوات
دوم PK تناؤ \(\boldsymbol{S}\) بنیادی ترتیب \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) بنیادی ترتیب \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) متقارن Total Lagrange طریقہ / فوق لچک

کمیت و مومینٹم کے بقائی قوانین اور توازن کی مساوات

موجودہ ترتیب میں کمیتی کثافت کو \(\rho\) اور بنیادی ترتیب میں کمیتی کثافت کو \(\rho_0\) کہیں۔ کمیت کا بقائی قانون \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\)، حجمی عنصر کی تبدیلی \(dv = J\, dV\) سے مقامی صورت

\[ \rho_0 = J \rho \]

میں آتا ہے۔

فی اکائی کمیت جسمانی قوت کو \(\boldsymbol{g}\) اور تعجیل کو \(\boldsymbol{a}\) کہیں۔ خطی مومینٹم کے بقائی قانون، یعنی Euler کے پہلے قانونِ حرکت، پر Cauchy کا قضیۂ تناؤ اور Gauss کا قضیۂ انتشار لاگو کرنے سے موجودہ ترتیب میں مقامی توازن کی مساوات (حرکت کی مساوات)

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

حاصل ہوتی ہے۔ Nanson کے فارمولے اور \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) سے تکمل کو بنیادی ترتیب میں دوبارہ لکھنے پر مقامی صورت

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

حاصل ہوتی ہے۔ تناؤ کی تبدیلی کے قانون اور \(\rho_0 = J\rho\) کے ذریعے دونوں صورتیں مساوی ہیں۔ جمودی جزو کو نظرانداز کرنے سے

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

ملتا ہے، جو جامد توازن کی مساوات ہے اور FrontISTR کے خطی اور غیر خطی جامد تجزیے کی ابتدائی مساوات بنتی ہے۔

زاویائی مومینٹم کا بقائی قانون اور تناؤ کی تقارنیت

زاویائی مومینٹم کے بقائی قانون، یعنی Euler کے دوسرے قانونِ حرکت، کو خطی مومینٹم کے بقائی قانون سے حاصل توازن کی مساوات کے ساتھ ملانے سے Cauchy تناؤ ٹینسر کی تقارنیت

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

اخذ ہوتی ہے، لہٰذا تین ابعاد میں اس کے چھ آزاد اجزا ہیں۔ تبدیلی کے تعلق \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) کے دونوں اطراف کا ٹرانسپوز لینے اور \(\boldsymbol{F}\) کی غیر منفردیت استعمال کرنے سے دوم PK تناؤ بھی متقارن

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

ثابت ہوتا ہے، اور اس کے بھی چھ آزاد اجزا ہیں۔ اس کے برعکس اول PK تناؤ \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) عمومی طور پر متقارن نہیں ہوتا؛ صرف \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\)، یعنی \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) کا متقارن ہونا، لازم ہے، اور اس کے نو آزاد اجزا ہوتے ہیں۔

یہ تقارنیتیں Voigt نوٹیشن میں تناؤ کو چھ اجزائی ویکٹر کے طور پر لکھنے کی بنیاد ہیں۔ Voigt نوٹیشن کے قواعد اور مادی میٹرکس کی تشکیل کے لیے ٹینسر نوٹیشن اور ریاضیاتی بنیادیں اور خطی لچک دیکھیں۔

متعلقہ موضوعات