براہِ راست مواد پر جائیں

مجازی کام کا اصول

تناؤ اور بقائی قوانین میں اخذ شدہ توازن کی مساوات اور حدی شرائط سے تسلسلی میکانیات کے حدی قدر مسئلے کی کمزور صورت، یعنی مجازی کام کا اصول، اخذ کیا جاتا ہے۔ محدود عنصری گسست سازی اسی کمزور صورت سے شروع ہوتی ہے۔ اس باب میں موجودہ تشکیل (Cauchy تناؤ اور Almansi کرنش کے خطی حصے) اور حوالہ تشکیل (دوسرا Piola-Kirchhoff تناؤ اور Green-Lagrange کرنش) دونوں صورتیں دی گئی ہیں، ان کی برابری دکھائی گئی ہے، اور پھر چھوٹی تبدیلی کی حد حاصل کی گئی ہے۔

توازن کی مساوات اور حدی شرائط

تسلسلی جسم پر فی اکائی کمیت جسمانی قوت کو \(\boldsymbol{g}\) مانیں، اور موجودہ تشکیل میں خطہ \(\Omega\) گھیرنے والے جسم پر غور کریں۔ حد \(\Gamma\) کو جیومیٹری حد \(\Gamma_B\)، جہاں نقل مکانی \(\bar{\boldsymbol{u}}\) مقرر ہے، اور میکانی حد \(\Gamma_t\)، جہاں سطحی قوت \(\bar{\boldsymbol{t}}\) مقرر ہے، میں تقسیم کریں؛ \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\)، \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\)۔ ساکن مسئلے میں تناؤ اور بقائی قوانین کی مقدارِ حرکت کے بقائی قانون سے جمودی جز حذف کرکے

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{میں} \ \Omega \]

توازن کی مساوات بنتی ہے۔ حدی شرائط

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{پر} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{پر} \ \Gamma_B \]

ہیں۔ آگے مجازی کام کے اصول کو توازن کی مساوات اور میکانی حدی شرط \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) کی کمزور صورت کے طور پر اخذ کیا جاتا ہے۔ جیومیٹری حدی شرط \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) آزمائشی تابع کے انتخاب میں شامل ہوتی ہے۔

موجودہ تشکیل کی کمزور صورت

نامعلوم نقل مکانی کی قابلِ قبول فضاء اور آزمائشی تابع کی فضاء کو بالترتیب

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{پر} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{پر} \ \Gamma_B \} \]

مانا جاتا ہے۔ یہاں \(d\) مکانی بعد، \(H^1(\Omega)\) پہلی کمزور مشتق تک مربع تکمل پذیر Sobolev فضاء، اور \(\delta\) تغیر کی علامت ہے۔ موجودہ تشکیل میں \(\Omega\) تبدیل شدہ خطہ ہے؛ عملی عددی حل میں اسے حوالہ تشکیل یا معلوم درمیانی تشکیل پر واپس لے جایا جاتا ہے۔

توازن کی مساوات کو وزن \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) سے ضرب دے کر Gauss قضیۂ انتشار اور میکانی حدی شرط لگانے پر موجودہ تشکیل میں مجازی کام کا اصول

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

ملتا ہے۔ یہاں \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi کرنش ٹینسر کا خطی حصہ ہے:

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

اور اس کا تغیر \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) ہے۔ یعنی \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) تلاش کیا جاتا ہے تاکہ ہر \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) کے لیے مجازی کام کی مساوات پوری ہو۔ بائیں طرف داخلی قوت کا مجازی کام اور دائیں طرف مقرر سطحی قوت و جسمانی قوت کا بیرونی مجازی کام ہے۔

چونکہ یہ مساوات تبدیل شدہ، یعنی موجودہ، تشکیل کے خطے میں لکھی گئی ہے، عملی حل میں ابتدائی تشکیل \(\Omega_0\) یا معلوم درمیانی تشکیل کو حوالہ بنا کر اسے اضافہ جاتی صورت میں لکھا جاتا ہے۔ حوالہ تشکیل کے انتخاب (Total Lagrange / Updated Lagrange) اور اضافہ جاتی تحلیل کے لیے اضافہ جاتی تجزیے کا خاکہ دیکھیں۔

ابتدائی تشکیل کی کمزور صورت

حوالہ تشکیل میں خطہ \(\Omega_0\) گھیرنے والے جسم پر غور کریں اور اس کی حد \(\Gamma_0\) کو \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) میں تقسیم کریں۔ موجودہ تشکیل کی صورت کو حوالہ تشکیل پر واپس لانے سے مزدوج تناؤ-کرنش جوڑا دوسرا Piola-Kirchhoff تناؤ \(\boldsymbol{S}\) اور Green-Lagrange کرنش \(\boldsymbol{E}\) بنتا ہے۔ اس وقت ابتدائی تشکیل میں مجازی کام کا اصول

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

ہے۔ یہاں \(\rho_0\) حوالہ تشکیل کی کمیتی کثافت ہے، جو کمیت کے بقائی قانون \(\rho_0 = J\rho\) کے ذریعے موجودہ تشکیل کی جسمانی قوت کی نمائندگی کے مساوی ہے۔

موجودہ اور ابتدائی تشکیل کی برابری

دونوں صورتوں میں داخلی قوت کا مجازی کام تبدیلیِ شکل کا گریڈینٹ \(\boldsymbol{F}\) اور حجمی تناسب \(J = \det \boldsymbol{F}\) کی تبدیلی سے برابر ہے:

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

بیرونی قوت کے اجزا بھی کمیت کے بقائی قانون اور سطحی قوت کی تبدیلی سے مساوی ہیں۔ لہٰذا موجودہ اور ابتدائی تشکیل کی مجازی کام کی مساوات ایک ہی اصول کی مختلف تشکیلوں میں نمائندگی ہیں۔ حوالہ تشکیل استعمال کرنے والا حل Total Lagrange اور موجودہ (پچھلی ہمگر) تشکیل استعمال کرنے والا حل Updated Lagrange طریقہ ہے۔

چھوٹی تبدیلی کی حد

چھوٹی تبدیلی کے مفروضے \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\)، \(J \approx 1\) میں موجودہ اور حوالہ تشکیل کا فرق ختم ہو جاتا ہے، دوسرا PK تناؤ Cauchy تناؤ کے برابر ہوتا ہے (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\))، اور Green-Lagrange کرنش نیز Almansi کرنش کا خطی حصہ دونوں چھوٹی کرنش \(\boldsymbol{\varepsilon}\) بن جاتے ہیں۔

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

اس وقت مجازی کام کا اصول Cauchy تناؤ \(\boldsymbol{\sigma}\) اور چھوٹی کرنش \(\boldsymbol{\varepsilon}\) کی کمزور صورت

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{پر} \ \Gamma_B \]

بن جاتا ہے۔ یہی چھوٹی تبدیلی، خطی لچکدار ساکن تجزیے میں براہِ راست گسست سازی کے لیے استعمال ہونے والی کمزور صورت ہے (خطی لچکدار ساکن تجزیہ (تعارف/ضمیمہ) اسی سے عنصری سختی \(\boldsymbol{K}^e\) اور عالمی مساوات \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) کی اسمبلنگ تک جاتا ہے)۔

خطی لچک تشکیلی قانون \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) رکھ کر اور Voigt علامت نویسی میں \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) لکھنے پر کمزور صورت

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

ہو جاتی ہے۔

متعلقہ موضوعات