براہِ راست مواد پر جائیں

اضافہ جاتی تجزیے کا خاکہ

اضافہ جاتی تجزیے کی ضرورت

جیسا کہ پہلے بیان کیا گیا ہے، چھوٹی تبدیلی کے مسئلے کے تجزیے میں توازن کی مساوات جیسے بنیادی مساوات کے مساوی مجازی کام کے اصول کو استعمال کرکے، اور اسے محدود عناصر کے ذریعے گسسته کرکے محدود عنصری تجزیہ کیا جا سکتا ہے۔ بڑی تبدیلیوں سے متعلق محدود تبدیلی کے مسئلے کے تجزیے میں بھی بنیادی طور پر مجازی کام کا اصول ہی استعمال ہوتا ہے۔

تاہم، محدود تبدیلی کے مسئلے میں، حتیٰ کہ اگر مادّے کی خطی خاصیت فرض کی جائے، تب بھی مجازی کام کے اصول کی مساوات نقل مکانی کے لحاظ سے غیر خطی ہو جاتی ہے۔ غیر خطی مساوات حل کرنے کے لیے عموماً تکراری طریقے سے بار بار حساب کیا جاتا ہے۔

اس تکراری حساب میں ایک چھوٹے بوجھ اضافے کے لیے مرحلہ وار حساب کیا جاتا ہے، اور ان مراحل کو جمع کرتے ہوئے آخری تبدیلی کی حالت تک پہنچنے کا اضافہ جاتی تجزیاتی طریقہ استعمال ہوتا ہے۔ چھوٹی تبدیلی فرض کرنے کی صورت میں، کرنش اور تناؤ کی تعریف کے لیے استعمال ہونے والی تشکیل میں تبدیلی سے پہلے اور بعد کے حالات کو خاص طور پر الگ نہیں کیا جاتا تھا۔ یعنی، چھوٹی تبدیلی فرض کرنے کی صورت میں بنیادی مساوات لکھنے کے لیے تشکیل خواہ تبدیلی سے پہلے ہو یا بعد میں، اس سے مسئلہ نہیں بنتا تھا۔

محدود تبدیلی کے مسئلے میں اضافہ جاتی تجزیہ کرتے وقت، تشکیل اس بات پر منحصر ہوتی ہے کہ حوالہ تشکیل کے طور پر ابتدائی تشکیل لی جائے یا اضافے کے آغاز کی تشکیل۔ پہلے طریقے کو total Lagrange طریقہ اور دوسرے کو updated Lagrange طریقہ کہا جاتا ہے۔ تفصیلات کے لیے باب کے آخر میں دیے گئے حوالہ جات وغیرہ دیکھیں۔

نقطۂ آغاز کی مساوات: وقت \(t'\) پر مجازی کام کا اصول

فرض کریں کہ وقت \(t\) تک کی حالت معلوم ہے اور وقت \(t' = t + \Delta t\) کی حالت نامعلوم ہے (شکل 2.2.1 دیکھیں)۔ وقت \(t'\) پر توازن کی مساوات، حدی شرائط، اور مجازی کام کا اصول (موجودہ تشکیل میں اظہار، Cauchy تناؤ \(^{t'}\sigma\) اور Almansi کرنش کے خطی حصے \(^{t'} A_{(L)}\) کے ذریعے) مجازی کام کے اصول میں دیے گئے ہیں۔

اضافہ جاتی تجزیے کا تصور

شکل 2.2.1　اضافہ جاتی تجزیے کا تصور

تاہم، چونکہ یہ ابتدائی مساوات وقت \(t'\) کی (نامعلوم) تشکیل میں لکھی گئی ہے، اس لیے عملی حل میں وقت \(0\) کی ابتدائی تشکیل \(V\) یا وقت \(t\) کی موجودہ تشکیل \(^{t'} v\) کو حوالہ تشکیل کے طور پر دوبارہ منتخب کیا جاتا ہے، مساوات کو اضافہ جاتی صورت میں لکھا جاتا ہے، اور پھر حل کیا جاتا ہے:

  • Total Lagrange طریقہ — ابتدائی تشکیل \(V\) کو حوالہ بناتا ہے۔ دوسرا PK تناؤ \(\boldsymbol{S}\) اور Green-Lagrange کرنش \(\boldsymbol{E}\) استعمال ہوتے ہیں۔
  • Updated Lagrange طریقہ — اضافے کے آغاز کی موجودہ تشکیل \(^{t}v\) کو حوالہ بناتا ہے۔ Cauchy تناؤ \(\boldsymbol{\sigma}\) اور Almansi کرنش کا خطی حصہ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) استعمال ہوتے ہیں۔

دونوں طریقوں کی مکانی گسست سازی (B میٹرکس اور داخلی قوت ویکٹر) کے لیے داخلی قوت کے مجازی کام کی گسست سازی، اور خطی بنانے اور مماسی سختی کی تشکیل کے لیے مماسی سختی میٹرکس دیکھیں۔

متعلقہ موضوعات