ٹینسر علامت نویسی اور ریاضیاتی بنیادیں¶

اس باب میں FrontISTR نظریاتی ہدایت نامے کے بعد کے ابواب میں استعمال ہونے والی ٹینسر علامت نویسی، اشاریہ نویسی، اور Voigt علامت نویسی کے قواعد یکجا کیے گئے ہیں۔ یہاں صرف خالص علامتی قواعد بیان کیے جاتے ہیں جو طبیعی مقداروں کی تعریف سے آزاد ہیں۔ تسلسلی جسم کی حرکت کے ساتھ تشکیل (حوالہ تشکیل/موجودہ تشکیل) پر منحصر علامتی قواعد، مثلاً بڑے اور چھوٹے حروف کا فرق اور مادّی و مکانی مشتقات کی تمیز، حرکت، تشکل اور کرنش میں بیان کیے گئے ہیں جہاں تشکیل کا تصور متعارف ہوتا ہے۔

ٹینسر علامت نویسی¶

جلی حروف سے ویکٹر اور ٹینسر کی علامت نویسی¶

خط کے اصول کے طور پر اسکیلر مقداریں اور ویکٹر/ٹینسر کے اجزا باریک حروف (\(\rho\)، \(x_i\) وغیرہ) میں، جبکہ ویکٹر/ٹینسر مقدار بذاتِ خود جلی حروف (\(\boldsymbol{a}\)، \(\boldsymbol{E}\)، \(\boldsymbol{\sigma}\) وغیرہ) میں لکھی جاتی ہیں۔

Einstein کا اختصاری قاعدہ¶

جب تک خلافِ تصریح نہ ہو، اگر ایک ہی اشاریہ ایک ہی حد میں دو بار آئے تو اس اشاریے پر جمع لینے کا Einstein جمع کا قاعدہ استعمال کیا جاتا ہے۔ مثلاً

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

اور ٹینسر \(\boldsymbol{A}\)، \(\boldsymbol{B}\) کے حاصل ضرب \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) کا \(i,j\) جزو

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

ہے۔ اشاریہ جاتی قاعدے میں، جب بغیر خاص وضاحت کے \(i, j, k, l, \ldots\) استعمال ہوں تو یہ درجۂ آزادی کے اشاریے (تین ابعاد میں \(1, 2, 3\)) ہیں، اور یونانی چھوٹے حروف \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) عنصر کے تشکیلی نوڈوں کے اشاریے ہیں۔

اندرونی ضرب، ٹرانسپوز، اور ٹینسر ضرب¶

ٹینسر \(\boldsymbol{A}\) کے ٹرانسپوز کو \(\boldsymbol{A}^T\) لکھتے ہیں۔ درجہ دوم ٹینسر \(\boldsymbol{A}\)، \(\boldsymbol{B}\) کے اندرونی ضرب (دوہرا اختصار) کو

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

لکھا جاتا ہے۔ ویکٹروں \(\boldsymbol{a}\)، \(\boldsymbol{b}\) کا اندرونی ضرب \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\)، اور ٹینسر ضرب \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) ہے۔

Voigt علامت نویسی¶

تناؤ اور کرنش درجۂ آزادی سے متعلق متقارن درجہ دوم ٹینسر ہیں، اور ان کے خطی تعلق کا ضریب درجہ چہارم ٹینسر ہوتا ہے۔ پروگرام میں اسے براہِ راست استعمال کرنا حسابی لاگت اور کوڈنگ (کثیر ابعادی ارے اور گہرے تہہ در تہہ لوپ) کے لحاظ سے ناموزوں ہے۔ اس لیے عام محدود عنصری پروگرام متقارنیت استعمال کرتے ہوئے تناؤ اور کرنش کو ستونی ویکٹر اور درجہ چہارم لچکدار ٹینسر کو دو ابعادی میٹرکس میں سکیڑتے ہیں۔ اسے Voigt علامت نویسی کہا جاتا ہے۔

آئندہ ٹینسر مقدار \(\boldsymbol{A}\) کی میٹرکس/ویکٹر نمائندگی کو \(\hat{A}\) سے ظاہر کرکے اصل ٹینسر سے ممتاز کیا جائے گا۔

تناؤ اور کرنش کی ویکٹر نمائندگی¶

متقارن تناؤ ٹینسر \(\boldsymbol{\sigma}\) اور کرنش ٹینسر \(\boldsymbol{\varepsilon}\) کے لیے دو ابعاد میں

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

اور تین ابعاد میں

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

کی صورت میں ستونی ویکٹر استعمال ہوتے ہیں۔ تغیرات اور مشتقات جیسی اخذ شدہ مقداروں پر بھی یہی قاعدہ لاگو ہوتا ہے۔ خاص طور پر کرنش کی قینچی اجزا کے ساتھ ضریب 2 آتا ہے (تناؤ کے ساتھ نہیں)۔ اس عدم تقارن سے ٹینسر اندرونی ضرب کو ویکٹر اندرونی ضرب کی مختصر صورت میں

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

لکھا جا سکتا ہے۔ نفاذ میں قینچی کرنش کے ضریب 2 کی غلطی آسانی سے ہو سکتی ہے، اس لیے ہمیشہ "تناؤ میں نہیں/کرنش میں ہے" کا قاعدہ ذہن میں رکھنا ضروری ہے۔ حوالہ تشکیل کی مقداروں (دوسرا Piola-Kirchhoff تناؤ \(\boldsymbol{S}\) اور Green-Lagrange کرنش \(\boldsymbol{E}\)) پر بھی یہی Voigt قاعدہ بالکل اسی طرح لاگو ہوتا ہے۔

درجہ چہارم ٹینسر کی میٹرکس نمائندگی¶

تناؤ اور کرنش کے خطی تعلق \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (اجزائی صورت میں \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) کے لیے، \(\boldsymbol{\varepsilon}\) کی متقارنیت استعمال کرکے

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

لکھا جا سکتا ہے۔ تین ابعاد میں \(\tilde{C}\) کو 6×6 مادّی میٹرکس \(\hat{\tilde{C}}\) کی صورت میں ترتیب دینے سے اصل ٹینسر تعلق

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

بن جاتا ہے۔ آئندہ اس ہدایت نامے میں جب تک خاص وضاحت نہ ہو مادّی میٹرکس کو \(D\) (یا \(\hat{C}\)) لکھا جائے گا۔ ہم سمتی خطی لچک کے مخصوص اجزا کے لیے خطی لچک دیکھیں۔

تفریقی عملگروں کے قواعد¶

متقارن گریڈینٹ عملگر¶

ویکٹر میدان \(\boldsymbol{u}\) کے لیے متقارن گریڈینٹ عملگر \(\nabla_S\) کی تعریف

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

ہے۔ اجزائی صورت میں \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\) ہے۔ چھوٹی تبدیلی کی کرنش \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) اسی عملگر سے مختصر طور پر لکھی جا سکتی ہے۔ محدود تبدیلی میں گریڈینٹ کس تشکیل (حوالہ/موجودہ) میں لیا جائے، یہ حرکت، تشکل اور کرنش میں بیان ہے۔

مادّی زمانی مشتق¶

کسی مقدار \(A\) کے مادّی زمانی مشتق (اسی مادّی نقطے کا پیچھا کرتے ہوئے زمانی مشتق) کو اوپر نقطے کے ساتھ \(\dot{A}\) لکھتے ہیں:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

رفتار اور تعجیل بھی اسی قاعدے پر عمل کرتے ہیں۔

ٹینسر علامت نویسی اور ریاضیاتی بنیادیں¶