طبیعی مقداروں کی علامتوں کی فہرست
یہ صفحہ FrontISTR نظریاتی دستی میں استعمال ہونے والی طبیعی مقداروں کی علامتیں یکجا کرتا ہے۔ علامتی طرز قواعد، یعنی سمتیے/ٹینسر کی جلی علامتی طرز، Einstein جمع بندی قاعدہ اور Voigt علامتی طرز کے لیے ٹینسر علامتی طرز اور ریاضیاتی بنیاد دیکھیں۔
ترتیب اور مختصاتی نظام
| علامت | وضاحت |
| \(\boldsymbol{X}\) | بنیادی (ابتدائی) ترتیب میں مادّی نقطے کا مکانی سمتیہ (مادی مختصات) |
| \(\boldsymbol{x}\) | موجودہ ترتیب میں مادّی نقطے کا مکانی سمتیہ (مکانی مختصات) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | حرکتی نگاشت: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | بنیادی ترتیب میں جسم کا خطہ |
| \(\Omega\) | موجودہ ترتیب میں جسم کا خطہ |
| \(\Gamma_0\) | \(\Omega_0\) کی حد |
| \(\Gamma\) | \(\Omega\) کی حد |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | ہندسی (نقل مکانی) حدود جہاں \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) مقرر ہے، بالترتیب موجودہ/بنیادی ترتیب |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | میکانی حدود جہاں \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (یا \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) مقرر ہے |
| \(\boldsymbol{n}\) | موجودہ ترتیب میں سطح کا بیرونی اکائی عمودی سمتیہ |
| \(\boldsymbol{N}\) | بنیادی ترتیب میں سطح کا بیرونی اکائی عمودی سمتیہ |
| \(t\) | وقت |
قاعدہ: بنیادی ترتیب کی مقداریں کے لیے بڑے حروف یا زیریں اشاریہ \(0\)، اور موجودہ ترتیب کی مقداریں کے لیے چھوٹے حروف حروف استعمال ہوتے ہیں۔
وقت اور اضافے (افزائشی تجزیہ)
| علامت | وضاحت |
| \(\Delta t\) | وقتی اضافہ: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | وقت \(t\) پر مقدار (بایاں بالائی اشاریہ)، مثال: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) وقت \(t\) کا Cauchy تناؤ |
| \(^{t}\Omega\) | وقت \(t\) پر موجودہ-ترتیب خطہ |
| \(^{t}\Gamma\) | وقت \(t\) پر موجودہ-ترتیب حد |
قاعدہ: افزائشی تجزیہ میں وقت \(t\) تک حالت معلوم اور \(t + \Delta t\) کی حالت نامعلوم سمجھی جاتی ہے۔ وقت واضح نہ کرنا ہو تو بایاں بالائی اشاریہ چھوڑ دیا جاتا ہے۔ بنیادی ترتیب کے طور پر ابتدائی \(\Omega_0\) لینے والی تشکیل کو کل Lagrange اور اضافہ کے آغاز کی موجودہ ترتیب \(^{t}\Omega\) لینے والی تشکیل کو تازہ شدہ Lagrange کہتے ہیں۔
نقل مکانی، رفتار، تعجیل اور جسمانی قوت
| علامت | وضاحت |
| \(\boldsymbol{u}\) | نقل مکانی سمتیہ: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | ہندسی حد \(\Gamma_B\) پر مقرر نقل مکانی |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | مجازی نقل مکانی (آزمائشی فعل): \(\Gamma_B\) پر \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | رفتار سمتیہ: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | تعجیل سمتیہ: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | جسمانی قوت فی اکائی کمیت |
| \(\boldsymbol{t}\) | سطحی قوت سمتیہ فی اکائی رقبہ: \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | میکانی حد \(\Gamma_t\) پر مقررہ سطحی قوت (Neumann ڈیٹا) |
تفاضلی عامل
| علامت | وضاحت |
| \(\dot{(\cdot)}\) | مادی وقتی مشتق: \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | بنیادی-ترتیب گریڈینٹ نسبت بہ \(\boldsymbol{X}\): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | موجودہ-ترتیب گریڈینٹ نسبت بہ \(\boldsymbol{x}\): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | متقارن گریڈینٹ عامل: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
نوٹ: \(\nabla_X\) اور \(\nabla_x\) کا تعلق \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) ہے۔ زیریں اشاریہ کے بغیر \(\nabla\) میں ترتیب سیاق سے طے ہوتی ہے، یا چھوٹا تشکل جیسی صورت میں استعمال ہوتا ہے جہاں فرق ختم ہو جاتا ہے۔
تشکلی ٹینسر
| علامت | وضاحت |
| \(\boldsymbol{F}\) | تشکل-گریڈینٹ ٹینسر: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | حجمی نسبت: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | دائیں Cauchy-Green ٹینسر: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | بائیں Cauchy-Green ٹینسر: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | رفتار-گریڈینٹ ٹینسر: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | تشکل-شرح ٹینسر، \(\boldsymbol{L}\) کا متناظر حصہ: \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | اسپن ٹینسر، \(\boldsymbol{L}\) کا ضدِ متقارن حصہ: \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
کرنش ٹینسر
| علامت | وضاحت |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange کرنش (بنیادی ترتیب): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi کرنش (موجودہ ترتیب): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Almansi کرنش کا خطی حصہ (موجودہ متناظر نقل مکانی گریڈینٹ): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | نہایت چھوٹا کرنش ٹینسر: \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
نوٹ: \(\boldsymbol{E}\) بنیادی طور پر کل Lagrange اور \(\boldsymbol{D}\) تازہ شدہ Lagrange میں استعمال ہوتا ہے۔
تناؤ ٹینسر
| علامت | وضاحت |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy تناؤ ٹینسر (حقیقی تناؤ، موجودہ): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | پہلا Piola-Kirchhoff تناؤ (اسمی): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | دوسرا Piola-Kirchhoff تناؤ (بنیادی، متناظر): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
تناؤ ٹینسروں کے درمیان تبدیلی کے تعلقات:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
قاعدہ: کل Lagrange میں \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) اور تازہ شدہ Lagrange میں \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) کا جوڑا استعمال ہوتا ہے۔
کثافت اور کمیت
| علامت | وضاحت |
| \(\rho\) | موجودہ ترتیب میں کمیتی کثافت |
| \(\rho_0\) | بنیادی ترتیب میں کمیتی کثافت |
کمیت بقا: \(\rho_0 = J\rho\)۔
مادی مستقلات (خطی لچک)
| علامت | وضاحت |
| \(E\) | Young لچکی معامل |
| \(\nu\) | Poisson نسبت |
| \(\lambda\) | پہلا Lamé مستقل: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | دوسرا Lamé مستقل (قینچی معامل): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | چوتھے مرتبے کا لچکی ٹینسر: \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\)، اجزا \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (یا \(\hat{\tilde{C}}\)) | مادی میٹرکس (Voigt علامتی طرز، 3D میں \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
ہم سمتی خطی لچکدار مادّے کے لچکی ٹینسر کے اجزا:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
فوق لچک مواد
| علامت | وضاحت |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | لچکی پوٹینشل (کرنش توانائی کثافت) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | \(\boldsymbol{C}\) کے اصلی ناوردات |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | \(\boldsymbol{C}\) کے کم شدہ ناوردات، حجم تبدیلی الگ کیا گیا |
| \(C_1, C_2\) | Mooney-Rivlin مادی مستقلات |
| \(D\) | حجمی لچک سے متعلق مادّہ مستقل |
لچک-پلاسٹک مواد
| علامت | وضاحت |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | تشکل-شرح ٹینسر کا لچکی حصہ |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | تشکل-شرح ٹینسر کا پلاسٹک حصہ |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | تسلیم فنکشن |
| \(\kappa\) | پلاسٹک حالت کا اندرونی متغیر (ہم سمتی سخت کاری متغیر) |
| \(\lambda^p\) | پلاسٹک ضارب: \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | پلاسٹک پوٹینشل (وابستہ بہاؤ کے قاعدے میں \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | مساوی تناؤ، مثلاً von Mises تناؤ |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | مساوی پلاسٹک کرنش |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | ہم سمتی سخت کاری فنکشن |
تکمیلی شرط: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\)، \(\lambda^p \geq 0\)، \(F \leq 0\)۔
محدود عنصر طریقہ
| علامت | وضاحت |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | محدود-عنصر تقسیم سے تقریب کردہ موجودہ/بنیادی ترتیب کے خطے: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | عنصر کا موجودہ/بنیادی ترتیب میں خطہ |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | عنصر حد کا میکانی-حد حصہ |
| \(\boldsymbol{r}\) | قدرتی مختصات (عنصر کے مقامی مختصات) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | نوڈ \(\alpha\) کے قدرتی مختصات کا نقطہ |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | عنصر \(e\) کے نوڈ \(\alpha\) کا شکلی تفاعل |
| \(n_e\) | عنصر نوڈز کی تعداد |
| \(n_g\) | کل نوڈز کی تعداد |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | عنصر نوڈ \(\alpha\) کے مختصات/نقل مکانی |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | عنصر نوڈی مختصات/نقل مکانی سمتیے: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) وغیرہ |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | کلی نوڈ مختصات/نقل مکانی سمتیے (نوڈ نمبر → درجۂ آزادی ترتیب) |
| \(\boldsymbol{B}\) | کرنش-نقل مکانی میٹرکس (B میٹرکس) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | شکلی تفاعل میٹرکس: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) نوڈ \(\alpha\) کے شکلی تفاعل \(N_\alpha^e\) کو قطری میں رکھنے والا \(d \times d\) بلاک ہے، \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\)؛ \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | عنصر سختی میٹرکس |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | بنیادی/موجودہ ترتیب کے زیرِ تکامل اجزا: \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL)، \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) | عنصر اندرونی-قوت سمتیے |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | عنصر نوڈ \(\alpha\) کی بیرونی نوڈی قوت اور عنصر نوڈی-قوت سمتیہ: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | کلی اندرونی/بیرونی قوت سمتیے: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\)، اور \(\boldsymbol{F}\) اسی طرح |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | کلی نوڈ \(i_g\) پر نوڈی اندرونی/بیرونی قوتیں، یعنی \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) کے نوڈی بلاکس |
| \(\boldsymbol{K}\) | کلی مماسی سختی: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\)؛ \(3\times 3\) بلاک \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) کو \(i_g\) سطر اور \(i_h\) ستون میں رکھا جاتا ہے |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Newton-Raphson باقیہ: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Newton-Raphson تصحیح، تکرار \(i\) میں \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) سے حاصل |
| \(i_g\) | کلی نوڈ نمبر (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | عنصر \(e\) کے مقامی نوڈ \(\alpha\) کا کلی نوڈ نمبر: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | کلی نوڈ \(i_g\) سے متعلق \((e, \alpha)\) جوڑے: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\)؛ اسمبلی میں استعمال |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | کلی نوڈ جوڑا \((i_g, i_h)\) سے متعلق \((e, \alpha, \beta)\) تین رکنی مجموعے؛ سختی اسمبلی میں استعمال |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | عنصر-نوڈ اشاریے |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | درجۂ آزادی کے اشاریے (3D میں \(1, 2, 3\)) |
اعلیٰ درجے کے عناصر اور ساختی عناصر
| علامت | وضاحت |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | B-bar طریقے میں حجمی حصہ ترمیم شدہ کرنش-نقل مکانی تعلق میٹرکس (حجمی جزو کو عنصر کے مرکز پر جانچے گئے B میٹرکس سے بدل دیا جاتا ہے) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | F-bar طریقہ کا حجمی تصحیح شدہ تشکل گریڈینٹ: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | عنصر کے مرکز \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) پر جانچے گئے تشکل گریڈینٹ کا حجمی تناسب: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | ناموافق-موڈ عنصر کا اندرونی درجۂ آزادی سمتیہ (ان اضافی نقل مکانی موڈز کے ضارب جو عنصر کی حد پر تسلسل نافذ نہیں کرتے) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | ناموافق-موڈ شکلی تفاعل: \(M_1=1-\xi^2\)، \(M_2=1-\eta^2\)، \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | شیل موٹائی |
| \(A\) | بیم مقطعی رقبہ |
| \(I\) | بیم کا دوسرا مومینٹِ رقبہ |
| \(G\) | قینچی معامل: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
متعلقہ موضوعات