Newton-Raphson طریقہ¶

خطی سازی اور تکراری بازگشتی مساوات¶

بیرونی قوت کے مجازی کام اور مجموعی مساوات کی اسمبلی سے حاصل وقت \(t_{n+1}\) پر نوڈل نقل مکانی \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) کے متعلق غیر خطی مساوات کو Newton-Raphson طریقے سے حل کیا جاتا ہے۔ وقت \(t_n\) تک نوڈل نقل مکانی \(\boldsymbol{u}_n\) معلوم مانی جاتی ہے، اور نقل مکانی کے اضافے \(\Delta\boldsymbol{u}\) کو نامعلوم متغیر رکھتے ہوئے

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

معلوم کیا جاتا ہے۔ آگے بیرونی قوت ویکٹر کا نوڈل نقل مکانی پر انحصار نظرانداز کرکے \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\) مانتے ہوئے

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

حل کیا جاتا ہے۔

موجودہ حل \(\Delta\boldsymbol{u}\) پر مماسی سختی

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

استعمال کرکے غیر خطی مساوات کی خطی سازی کرنے سے

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

حاصل ہوتی ہے۔ \(i\) ویں تکرار کی تصحیح کو \(d\boldsymbol{u}_i\) اور تکرار کے آغاز پر باقی ماندہ ویکٹر کو

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

لکھیں تو تکراری بازگشتی مساوات

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

کی شکل اختیار کرتی ہے۔ باقی ماندہ \(\boldsymbol{R}_i\) قوتی توازن سے عدم مطابقت کی مقدار ہے۔

مماسی سختی میٹرکس کی تشکیل¶

مماسی سختی \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\)، داخلی قوت کے مجازی کام کی گسست سازی سے حاصل عنصری داخلی قوت ویکٹر کا نوڈل نقل مکانی کے لحاظ سے جزوی مشتق لے کر، ہر عنصر کے تکملی جزو کو عنصری خطے پر تکمل کرکے، پھر ان سب کو جمع کرنے سے بنتی ہے۔ عنصر کی سطح پر تکملی جزو کو \(\boldsymbol{K}^e_X\) (بنیادی ترتیب، TL طریقہ) یا \(\boldsymbol{K}^e_x\) (موجودہ ترتیب، UL طریقہ) لکھیں تو عنصری مماسی سختی

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

سے دی جاتی ہے۔ ذیل میں TL/UL کے تکملی اجزا کی حتمی صورتیں دی گئی ہیں۔ دونوں کو مادی سختی کے جزو (ابتدائی نقل مکانی کا جزو) اور جیومیٹریائی سختی کے جزو (ابتدائی تناؤ کا جزو) کے مجموعے میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔

Total Lagrange طریقہ¶

Total Lagrange طریقے میں دوم Piola-Kirchhoff تناؤ کی شرح \(\dot{\boldsymbol{S}}\) اور Green-Lagrange کرنش کی شرح \(\dot{\boldsymbol{E}}\) کے درمیان خطی تعلق \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\) فرض کیا جاتا ہے۔ یہ خطی لچکدار مادے (St.Venant-Kirchhoff مادہ) اور فوق لچکدار مادے کے تشکیلی قوانین سے مطابقت رکھتا ہے، اور FrontISTR میں Total Lagrange طریقہ انہی مواد کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ اس صورت میں عنصری مماسی سختی کا تکملی جزو ٹینسر صورت میں

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

لکھا جاتا ہے۔ دائیں طرف پہلا جزو مادی سختی کا جزو (ابتدائی نقل مکانی کا جزو)، اور دوسرا جیومیٹریائی سختی کا جزو (ابتدائی تناؤ کا جزو) ہے۔

FrontISTR کے نفاذ میں اس تکملی جزو کو Voigt نوٹیشن کی میٹرکس صورت

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

میں حساب کیا جاتا ہے۔ ہر میٹرکس درج ذیل ہے۔ \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) وہ B میٹرکس ہیں جو داخلی قوت کے مجازی کام کی گسست سازی میں متعارف ہوئے، اور \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) تشکیلی قانون \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) کا Voigt نوٹیشن میں \(6\times 6\) مادی سختی میٹرکس ہے (ٹینسر نوٹیشن اور ریاضیاتی بنیادیں)۔ \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) جیومیٹریائی سختی کے جزو کو میٹرکس ضرب کی صورت میں ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہونے والے ترتیب نو میٹرکس ہیں۔ پہلے کسی \(3\times 3\) دوسرے درجے کے ٹینسر \(\boldsymbol{A}\) کو 9 اجزائی ویکٹر میں دوبارہ ترتیب دینے کی علامت \([\,\cdot\,]\) کو

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

سے تعریف کریں۔ \(\boldsymbol{F}_9\) ایک \(9\times d n_e\) میٹرکس ہے جو تبدیلیِ شکل کے گریڈینٹ کے تغیر کو \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) کی صورت میں ظاہر کرتا ہے۔ عنصر کے نوڈ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) کے مطابق \(9\times d\) بلاک

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ ایک } 3\times 3 \text{ اکائی میٹرکس ہے}) \]

کو عنصری نوڈ ترتیب میں افقی طور پر جوڑ کر \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) حاصل ہوتا ہے۔ \(\boldsymbol{S}_9\) وہ \(9\times 9\) میٹرکس ہے جسے اس طرح چنا جاتا ہے کہ جیومیٹریائی سختی کا جزو \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) بنے:

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

Updated Lagrange طریقہ¶

Updated Lagrange طریقے میں نسبتی Kirchhoff تناؤ ٹینسر کی Jaumann شرح \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) اور تبدیلیِ شکل کی شرح کے ٹینسر \(\boldsymbol{D}\) کے درمیان خطی تعلق \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) فرض کیا جاتا ہے۔ یہ خطی لچکدار، لچک-پلاسٹک اور کریپ مواد کے لیے مشترک ہائپو لچکدار تشکیلی قانون کی صورت ہے، اور FrontISTR میں Updated Lagrange طریقہ انہی مواد کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ اس صورت میں موجودہ ترتیب میں عنصری مماسی سختی کا تکملی جزو ٹینسر صورت میں

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

لکھا جاتا ہے۔ یہاں \(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) Truesdell شرح، \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi کرنش کا خطی حصہ، \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) موجودہ ترتیب کے حوالے سے نقل مکانی کا گریڈینٹ، اور \(\boldsymbol{L}\) رفتار کا گریڈینٹ ٹینسر ہے۔ دائیں طرف پہلا جزو مادی سختی کا جزو اور دوسرا جیومیٹریائی سختی کا جزو ہے۔

FrontISTR کے نفاذ میں اس تکملی جزو کو Voigt نوٹیشن کی میٹرکس صورت

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

میں حساب کیا جاتا ہے۔ \(\boldsymbol{b}\) موجودہ ترتیب میں بنایا گیا B میٹرکس ہے (داخلی قوت کے مجازی کام کی گسست سازی)۔ \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\)، TL طریقے کے \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) میں دوم PK تناؤ \(\boldsymbol{S}\) کو Cauchy تناؤ \(\boldsymbol{\sigma}\) سے، اور بنیادی ترتیب کے گریڈینٹ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) کو موجودہ ترتیب کے گریڈینٹ \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) سے بدل کر حاصل ہوتے ہیں۔

\(\boldsymbol{G}\)، Cauchy تناؤ پر منحصر تصحیحی میٹرکس ہے جو ہائپو لچکدار تشکیلی قانون \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) کو Truesdell شرح پر مبنی تشکیلی قانون کے طور پر مماسی سختی کے فریم ورک سے ہم آہنگ کرنے کے لیے ضروری ہے۔ چوتھے درجے کے ٹینسر کے اجزا \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) کو \(6\times 6\) Voigt نوٹیشن میں ترتیب دینے سے

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

ملتا ہے۔

مجموعی سختی میٹرکس کی اسمبلی¶

مجموعی مماسی سختی \(\boldsymbol{K}\) حاصل کرنے کے لیے عنصری سختی \(\boldsymbol{K}^e\) کو ہر نوڈ کے \(d\times d\) بلاک \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) میں تقسیم کیا جاتا ہے، اور عنصری نوڈل طبعی مقداروں کی اسمبلی میں متعارف دوسرے درجے کے ٹینسر کی اسمبلی کے مجموعے \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) سے

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

کو \(i_g\) قطار اور \(i_h\) ستون میں ترتیب دیا جاتا ہے۔ نفاذ میں \(\mathcal{E}^2\) کو صراحتاً نہیں بنایا جاتا، بلکہ عنصر کے حلقے میں متناظر بلاک میں براہ راست جمع کیا جاتا ہے۔ میٹرکس کا رتبہ فی نوڈ درجاتِ آزادی \(\times\) مجموعی نوڈز کی تعداد \(n_g\) کے برابر ہوتا ہے، لیکن عناصر کے ذریعے جڑے نوڈز کے علاوہ تمام اجزا \(0\) ہوتے ہیں، اس لیے اسے سپارس میٹرکس کی صورت میں محفوظ کیا جاتا ہے۔

TL اور UL طریقوں کی عنصری سختی، حوالہ جاتی ترتیب کی تبدیلی—نوڈل مختصات اور B میٹرکس کی تشکیل—اور \(\boldsymbol{G}\) میٹرکس کی موجودگی یا عدم موجودگی کے سوا ایک ہی ساخت رکھتی ہے؛ اس لیے FrontISTR میں دونوں کو مشترک سب روٹینوں سے نافذ کیا جا سکتا ہے۔

تکراری الگورتھم¶

مندرجہ بالا کو یکجا کریں تو تکرار کے آغاز میں \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) رکھ کر ابتدائی باقی ماندہ \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\) معلوم کیا جاتا ہے، پھر \(i\) ویں تکرار میں درج ذیل مراحل انجام دیے جاتے ہیں۔

موجودہ نقل مکانی \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) پر مماسی سختی \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) کو مماسی سختی میٹرکس کی تشکیل کے طریقے سے حساب کریں۔
جیومیٹریائی حدی شرائط شامل کرنے کے لیے، جن درجاتِ آزادی پر نقل مکانی کی قید ہو وہاں مماسی سختی میٹرکس اور باقی ماندہ ویکٹر کو تبدیل کرکے \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) حاصل کریں (جیومیٹریائی حدی شرائط کی کارروائی)۔
خطی مساوات \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) حل کرکے تصحیح \(d\boldsymbol{u}_i\) معلوم کریں۔ عموماً تکراری حساب میں زیادہ تر حسابی لاگت اسی مرحلے میں آتی ہے۔
نقل مکانی کے اضافے کو \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) سے اپ ڈیٹ کریں، اور اس کے مطابق داخلی قوت ویکٹر \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) اور باقی ماندہ \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) حساب کریں۔
تقارب کی جانچ کریں؛ شرط پوری ہو تو تکرار ختم کریں۔ باقی ماندہ \(\boldsymbol{R}_i\) میں جیومیٹریائی سرحدی شرط والے درجاتِ آزادی پر قیدی ردِعمل قوت کے اجزا آتے ہیں، اس لیے ان اجزا کو نکال کر حاصل \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) سے جانچ کا معیار بنایا جاتا ہے۔ تفصیلی معیار اور حدیں تقارب کی جانچ میں بیان ہیں۔ اگر تقارب حاصل کیے بغیر تکرار کی زیادہ سے زیادہ حد تک پہنچ جائے تو تکرار ناکام سمجھی جاتی ہے۔

تکرار کے متقارب ہونے پر حاصل \(\Delta\boldsymbol{u}\) کو \(\boldsymbol{u}_n\) میں شامل کرکے وقت \(t_{n+1}\) کی مجموعی نقل مکانی \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) بنائی جاتی ہے، اور پھر اگلے زمانی قدم پر جایا جاتا ہے۔