حرکی تجزیاتی طریقے¶

اس حصے میں حرکی مسائل کے لیے براہِ راست زمانی تکمل استعمال کرنے والے تجزیاتی طریقے بیان کیے جاتے ہیں۔ ذیل میں ضمنی اور صریح حل کی تشکیل دی گئی ہے۔

حرکت کی مساوات کی گسست سازی (مشترکہ خاکہ)¶

ابھی طے ہونا باقی ہے (اگلے مرحلے میں مکمل متن لکھا جائے گا)۔

ضمنی حل (Newmark-β طریقہ)¶

حرکی مسئلے کے لیے درج ذیل حرکت کی مساوات کو حل کرنے میں براہِ راست زمانی تکمل کا طریقہ استعمال کیا جاتا ہے۔

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

یہاں \(M\) کمیتی میٹرکس، \(C\) ڈیمپنگ میٹرکس، \(Q\) داخلی قوت ویکٹر، اور \(F\) بیرونی قوت ویکٹر ہے۔ کمیتی میٹرکس کو غیر خطی تجزیے میں بھی تبدیلی سے آزاد مستقل فرض کیا جاتا ہے۔

زمانی اضافہ \(\Delta t\) کے اندر نقل مکانی، رفتار اور تعجیل کی تبدیلی کو Newmark-\(\beta\) طریقے سے مساوات \(\eqref{eq:2.5.2}\) اور \(\eqref{eq:2.5.3}\) کی طرح تخمینہ کیا جاتا ہے۔

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

یہاں \(\gamma\) اور \(\beta\)، Newmark-\(\beta\) طریقے کے پیرامیٹر ہیں۔

جیسا کہ معروف ہے، \(\gamma\) اور \(\beta\) کو درج ذیل اقدار دینے سے بالترتیب خطی تعجیل طریقہ یا ذوزنقہ قاعدہ حاصل ہوتا ہے۔

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)، \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (خطی تعجیل طریقہ)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)، \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (ذوزنقہ قاعدہ)

مساوات \(\eqref{eq:2.5.2}\) اور \(\eqref{eq:2.5.3}\) کو مساوات \(\eqref{eq:2.5.1}\) میں رکھنے سے درج ذیل حاصل ہوتا ہے۔

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

خصوصاً خطی مسئلے میں \(K_L\) خطی سختی میٹرکس ہے اور \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) ہوتا ہے۔ اسے اوپر کی مساوات میں رکھنے سے درج ذیل حاصل ہوتا ہے۔

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

جہاں جیومیٹری حدی شرط کے طور پر تعجیل متعین ہو، وہاں مساوات \(\eqref{eq:2.5.2}\) سے درج ذیل نقل مکانی ملتی ہے۔

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

اسی طرح، جہاں رفتار متعین ہو وہاں مساوات \(\eqref{eq:2.5.6}\) سے درج ذیل نقل مکانی ملتی ہے۔

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

یہاں \(u_{is}(t+\Delta{t})\) وقت \(t+\Delta{t}\) پر نوڈ نقل مکانی، \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) وقت \(t+\Delta{t}\) پر نوڈ رفتار، \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) وقت \(t+\Delta{t}\) پر نوڈ تعجیل، \(i\) نوڈ درجۂ آزادی نمبر، اور \(s\) نوڈ نمبر ہے۔ کمیت اور ڈیمپنگ اجزا کا برتاؤ درج ذیل ہے۔

کمیتی جزو کا برتاؤ¶

اصولی طور پر کمیتی میٹرکس کو مرتکز کمیتی میٹرکس کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔

ڈیمپنگ جزو کا برتاؤ¶

ڈیمپنگ جزو کو مساوات \(\eqref{eq:2.5.8}\) کے Rayleigh ڈیمپنگ کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

یہاں \(R_m\) اور \(R_k\) Rayleigh ڈیمپنگ کے پیرامیٹر ہیں۔

!DYNAMIC کارڈ میں متعین \(R_m\) اور \(R_k\) پورے ماڈل پر یکساں لاگو ہوتے ہیں۔ اگر ہر مادّے کے لیے مختلف \(R_m\)، \(R_k\) دینا ہو تو متعلقہ مادّے کے !MATERIAL بلاک میں !DAMPING کارڈ متعین کریں۔ !DAMPING والے مادّے سے تعلق رکھنے والے عناصر کے لیے عنصری کمیتی میٹرکس \(M_i\) اور مماسی سختی میٹرکس \(K_i\) سے \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) کے طور پر عنصری ڈیمپنگ میٹرکس حساب کیا جاتا ہے اور عالمی ڈیمپنگ میٹرکس میں جوڑا جاتا ہے۔ یہ خصوصیت صرف ضمنی حل میں مؤثر ہے۔

صریح حل (مرکزی فرق طریقہ)¶

صریح حل میں وقت t پر درج ذیل حرکت کی مساوات بنیاد بنتی ہے۔

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

وقت \(t + \Delta t\) اور \(t - \Delta t\) کی نقل مکانی کو وقت \(t\) پر Taylor توسیع سے ظاہر کرکے، \(\Delta t\) کے دوسرے درجے تک لینے پر درج ذیل ملتا ہے۔

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

مساوات \(\eqref{eq:2.5.3}\) اور \(\eqref{eq:2.5.4}\) کے فرق اور مجموعے سے درج ذیل حاصل ہوتا ہے۔

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

مساوات \(\eqref{eq:2.5.12}\) اور \(\eqref{eq:2.5.13}\) کو مساوات \(\eqref{eq:2.5.9}\) میں رکھنے سے درج ذیل حاصل ہوتا ہے۔

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

خصوصاً خطی مسئلے میں \(Q(t) = K_L U(t)\) ہے، لہٰذا اوپر کی مساوات یوں بنتی ہے۔

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

اگر کمیتی میٹرکس \(M\) کو مرتکز کمیتی میٹرکس اور ڈیمپنگ میٹرکس کو متناسب ڈیمپنگ میٹرکس \(C = R_m M\) رکھا جائے، تو مساوات \(\eqref{eq:2.5.15}\) میں مساوات کے نظام کو حل کرنے کی ضرورت نہیں رہتی۔

لہٰذا مساوات \(\eqref{eq:2.5.15}\) سے \(U(t+\Delta t)\) درج ذیل حاصل کیا جا سکتا ہے۔

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]