موڈل تجزیہ¶

عمومی ذاتی قدر مسئلہ¶

مسلسل جسم کی آزاد ارتعاشی تحلیل کرتے وقت مکان کی گسست سازی کی جاتی ہے اور اسے شکل 2.3.1 میں دکھائے گئے مرتکز کمیتوں کے متعدد درجاتِ آزادی والے نظام کے طور پر ماڈل کیا جاتا ہے۔ بلا تخمید آزاد ارتعاش کے مسئلے میں حاکم مساوات (حرکت کی مساوات) درج ذیل ہے۔

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

یہاں $u$ عمومی نقل مکانی ویکٹر، $M$ کمیت میٹرکس، اور $K$ سختی میٹرکس ہے۔ قدرتی زاویائی تعدد کو $\omega$، $a$ اور $b$ کو ایسے اختیاری مستقلات جو بیک وقت صفر نہ ہوں، اور $x$ کو ویکٹر مان کر فنکشن

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

متعین کریں۔ اس کا دوسرا مشتق، یعنی

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

مساوات $\eqref{eq:2.3.2}$ اور مساوات $\eqref{eq:2.3.3}$ کو مساوات $\eqref{eq:2.3.1}$ میں رکھنے سے

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

مندرجہ بالا مساوات حاصل ہوتی ہے۔

غیر صفر ارتعاش کے لیے $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ یکساں طور پر صفر نہیں ہوتا۔

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

لہٰذا مندرجہ بالا تعلق حاصل ہوتا ہے۔ اب $\lambda=\omega^2$ رکھنے سے

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

مندرجہ بالا مساوات حاصل ہوتی ہے۔

اسکیلر $\lambda$ کو ذاتی قدر، ویکٹر $x$ کو ذاتی ویکٹر، اور مساوات $\eqref{eq:2.3.5}$ سے ظاہر ہونے والے مسئلے کو عمومی ذاتی قدر مسئلہ کہتے ہیں۔

قدرتی زاویائی تعدد $\omega$، ذاتی قدر $\lambda=\omega^2$ سے حاصل ہوتا ہے، اور متعلقہ ذاتی ویکٹر $x$ موڈ کی شکل کو ظاہر کرتا ہے۔

بلا تخمید آزاد ارتعاش کے متعدد درجاتِ آزادی والے نظام کی مثال

شکل 2.3.1　بلا تخمید آزاد ارتعاش کے متعدد درجاتِ آزادی والے نظام کی مثال

میٹرکس کی خصوصیات اور مفروضے¶

پچھلے حصے میں حاصل عمومی ذاتی قدر مسئلے $Kx=\lambda Mx$ کے لیے اس دستور میں میٹرکسوں کو متقارن فرض کیا گیا ہے۔ پیچیدہ میٹرکس کے لیے یہ ہرمیٹی میٹرکس، جبکہ حقیقی میٹرکس کے لیے متقارن میٹرکس کے مترادف ہے۔

$k_{ij}$ کو میٹرکس $K$ کا $ij$ جزو مانیں۔ ہرمیٹی خاصیت کو

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

مندرجہ بالا مساوات سے ظاہر کیا جاتا ہے، جہاں $\bar{k}_{ji}$، $k_{ji}$ کا مختلط مزدوج ہے۔ حقیقی میٹرکس کے لیے یہ تعلق $k_{ij}=k_{ji}$ بن جاتا ہے۔

حقیقی متقارن میٹرکس $H$ اس وقت مثبت معین ہے جب ہر غیر صفر ویکٹر $x$ کے لیے

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

مندرجہ بالا عدم مساوات قائم ہو۔ اس صورت میں $H$ کی تمام ذاتی اقدار مثبت ہوتی ہیں۔

ساختی ذاتی قدر مسئلے میں کمیت میٹرکس $M$ کو عموماً مثبت معین سمجھا جاتا ہے۔ تاہم سختی میٹرکس $K$، قیود کے لحاظ سے مثبت نیم معین ہو سکتا ہے اور اس میں صلب جسم کے موڈ سے متعلق صفر ذاتی اقدار ہو سکتی ہیں۔

شفٹ شدہ معکوس تکرار¶

محدود عنصری طریقے سے ساختی تجزیے میں عملی طور پر تمام ذاتی اقدار عموماً درکار نہیں ہوتیں؛ اکثر صرف چند نچلے درجے کی ذاتی اقدار کافی ہوتی ہیں۔ HEC-MW بڑے پیمانے کے مسائل کے لیے بنایا گیا ہے، اس لیے میٹرکس کا حجم بڑا اور بہت سپارس (صفر اجزا کی کثرت والا) ہوتا ہے۔ لہٰذا اس خاصیت کو مدنظر رکھتے ہوئے نچلے موڈ کی ذاتی اقدار مؤثر طور پر معلوم کرنا اہم ہے۔

شفٹ $\sigma$ کے لیے، اگر $-\sigma$ ذاتی قدر نہ ہو اور $K+\sigma M$ غیر سنگولر ہو تو مساوات $\eqref{eq:2.3.5}$ کو درج ذیل طور پر تبدیل کیا جا سکتا ہے۔

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

یہ تبدیلی ذاتی ویکٹر $x$ کو غیر تبدیل شدہ رکھتی ہے اور ذاتی قدر $\lambda$ کو $1/(\lambda+\sigma)$ میں نقش کرتی ہے۔

چنانچہ $\lambda$ جتنا $-\sigma$ کے قریب ہو، تبدیل شدہ ذاتی قدر کی مطلق قدر اتنی ہی بڑی ہوتی ہے۔ ساختی ذاتی قدر مسئلے کے لیے $\lambda \geq 0$ اور $\sigma \geq 0$ ہیں، اس لیے سب سے کم ذاتی قدر سب سے بڑی مطلق قدر والی ذاتی قدر میں نقش ہو جاتی ہے۔ اس خاصیت کو استعمال کرتے ہوئے، مساوات $\eqref{eq:2.3.8}$ پر ایسا تکراری طریقہ لاگو کیا جائے جو پہلے بڑی مطلق قدر والی ذاتی اقدار کی طرف تقارب کرتا ہو، تو نچلے درجے کی ذاتی اقدار کو صعودی ترتیب میں مؤثر طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے۔

اس طریقے کو شفٹ شدہ معکوس تکرار کہتے ہیں۔

قیود والے تجزیوں میں FrontISTR، $\sigma = 0$ مقرر کرتا ہے، اور مساوات $\eqref{eq:2.3.8}$، $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$ بن جاتی ہے، یعنی بغیر شفٹ کی معکوس تکرار۔ بلا قید آزاد-آزاد تجزیے میں $K$ سنگولر ہوتا ہے کیونکہ اس میں صلب جسم کے موڈ سے متعلق صفر ذاتی اقدار ہوتی ہیں؛ $\sigma$ کو مثبت قدر دینے سے $K+\sigma M$ باقاعدہ ہو جاتا ہے۔ $\sigma$ کی قدر !EIGEN میں SIGMA کے ذریعے مقرر کی جاتی ہے۔

لانچوز طریقہ¶

انتخاب کی وجہ (جیکوبی طریقے سے موازنہ)¶

کلاسیکی طریقوں میں جیکوبی طریقہ معروف ہے۔

یہ طریقہ اس وقت مؤثر ہے جب میٹرکس چھوٹا اور کثیف ہو۔ لیکن HEC-MW میں استعمال ہونے والے میٹرکس بڑے اور سپارس ہوتے ہیں، اس لیے یہ طریقہ اختیار نہیں کیا جاتا اور تکراری لانچوز طریقہ استعمال کیا جاتا ہے۔

الگورتھم اور خصوصیات¶

1950 کی دہائی میں C. Lanczos کی تجویز کردہ یہ تکنیک میٹرکس کو سہ قطری شکل میں تبدیل کرنے کا الگورتھم ہے اور درج ذیل خصوصیات رکھتی ہے۔

یہ تکراری طریقہ ہے اور میٹرکس کو سپارس رکھتے ہوئے حساب کیا جا سکتا ہے۔
اس کے اعمال بنیادی طور پر میٹرکس-ویکٹر ضرب پر مشتمل ہیں، اس لیے یہ متوازی کاری کے لیے موزوں ہے۔
یہ محدود عنصری میش سے متعلق ہندسی ڈومین تقسیم کے لیے موزوں ہے۔
مطلوبہ ذاتی اقدار کی تعداد یا موڈ کی حد محدود کر کے مؤثر حساب کیا جا سکتا ہے۔

لانچوز طریقہ ابتدائی ویکٹر سے شروع ہوتا ہے، یکے بعد دیگرے متعامد ویکٹر بناتا ہے، اور کریلوف ذیلی فضا کی اساس حاصل کرتا ہے۔

محدود صحت کی حسابیات میں گولائی کی خطا سے ویکٹروں کی متعامدیت ختم ہو سکتی ہے۔ اس اثر کو دبانے کے لیے FrontISTR کا نفاذ ہر ویکٹر کو پہلے سے حاصل لانچوز اساس کے ویکٹروں کے لحاظ سے دوبارہ متعامد کرتا ہے۔

ہندسی مفہوم (کریلوف ذیلی فضا)¶

مساوات $\eqref{eq:2.3.8}$ میں درج ذیل متغیر تبدیلی کر کے

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

مسئلے کو دوبارہ لکھیں تو

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

مندرجہ بالا مساوات حاصل ہوتی ہے۔

کسی بھی غیر صفر ویکٹر $q_0$ کے لیے

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

ان ویکٹروں سے بننے والی فضا

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

کو کریلوف ذیلی فضا کہتے ہیں۔

لانچوز طریقہ اس کریلوف ذیلی فضا کی اساس کو یکے بعد دیگرے بناتا ہے۔

FrontISTR کمیت میٹرکس $M$ سے متعلق درج ذیل اندرونی حاصل ضرب

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

کو اساس کو متعامد اور اکائی لمبائی کا بنانے کے لیے استعمال کرتا ہے۔ درج ذیل شکلوں میں دکھائے گئے اندرونی حاصل ضرب $\langle x,y\rangle$ اور نارم $\|x\|$ کو FrontISTR کے حساب میں بالترتیب اسی $M$-اندرونی حاصل ضرب اور متعلقہ $M$-نارم

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

سمجھا جاتا ہے۔

شکل 2.3.2 کی طرح، میٹرکس $A$ سے متعین خطی تبدیلی کسی بھی ویکٹر $q_0$ پر لاگو کریں۔

$میٹرکس $A$ کے ذریعے $q_0$ کی خطی تبدیلی$

شکل 2.3.2　میٹرکس $A$ کے ذریعے $q_0$ کی خطی تبدیلی

تبدیل شدہ ویکٹر کو اس فضا میں متعامد کیا جاتا ہے جو وہ اصل ویکٹر کے ساتھ بناتا ہے۔ خصوصاً شکل 2.3.3 کی طرح گرام-شمٹ متعامد سازی کی جاتی ہے۔ حاصل ویکٹر کو $r_1$ مانیں؛ اسے معمول پر لانے سے $q_1$ حاصل ہوتا ہے۔

$q_0\) کے متعامد ویکٹر \(q_1$

شکل 2.3.3　 $q_0$ کے متعامد ویکٹر $q_1$

اسی طریقے سے $q_1$ سے $q_2$ حاصل کیا جاتا ہے۔ یہاں $q_2$، $q_1$ اور $q_0$ دونوں کے متعامد ہے، جیسا کہ شکل 2.3.4 میں دکھایا گیا ہے۔

$q_1\) اور $q_0$ کے متعامد ویکٹر \(q_2$

شکل 2.3.4　 $q_1$ اور $q_0$ کے متعامد ویکٹر $q_2$

اس طرح لانچوز طریقہ کریلوف ذیلی فضا کی متعامد اکائی اساس یکے بعد دیگرے بناتا ہے۔ نظری طور پر ذاتی قدر مسئلے کی تقارنیت اس تکرار کو تازہ ترین اساس ویکٹروں پر مشتمل تین جملی تکراری تعلق سے ظاہر کرنے کی اجازت دیتی ہے۔

تاہم محدود صحت کی حسابیات سے پیدا ہونے والی متعامدیت کی کمی کو دبانے کے لیے FrontISTR کا نفاذ ہر ویکٹر کو $M$-اندرونی حاصل ضرب استعمال کرتے ہوئے پہلے سے حاصل لانچوز اساس کے ویکٹروں کے لحاظ سے دوبارہ متعامد کرتا ہے۔

سہ قطری بنانا¶

FrontISTR کی لانچوز تکرار میں اساس ویکٹروں کو پچھلے حصے میں بیان کردہ $M$-اندرونی حاصل ضرب کے لحاظ سے متعامد اور اکائی لمبائی کا کیا جاتا ہے، لہٰذا

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

مندرجہ بالا تعلق قائم ہوتا ہے۔

مساوات $\eqref{eq:2.3.10}$ کے میٹرکس $A$ کو استعمال کرتے ہوئے نظری لانچوز تکرار

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

مندرجہ بالا تین جملی تکراری تعلق سے ظاہر ہوتی ہے۔

پہلے $\alpha_i$ کو درج ذیل طور پر متعین کیا جاتا ہے۔

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

پھر عارضی باقی ماندہ کو

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

مندرجہ بالا طور پر متعین کیا جاتا ہے۔

محدود صحت کی حسابیات سے پیدا ہونے والی متعامدیت کی کمی کو دبانے کے لیے FrontISTR کا نفاذ $\tilde{r}_{i+1}$ کو $M$-اندرونی حاصل ضرب استعمال کرتے ہوئے پہلے سے حاصل لانچوز اساس کے ویکٹروں کے لحاظ سے دوبارہ متعامد کرتا ہے۔ اگر $r_{i+1}$ دوبارہ متعامد سازی کے بعد کا باقی ماندہ ہو تو

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

مندرجہ بالا تعلقات قائم ہوتے ہیں۔

لانچوز تکرار سے حاصل $m$ اساس ویکٹروں کو

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

میں جمع کریں۔ پھر محدود تعداد کی لانچوز تکراروں کے بعد

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

مندرجہ بالا تعلق قائم ہوتا ہے۔

یہاں $e_m$ ایک $m$-بعدی اکائی ویکٹر ہے جس کا $m$ واں جزو 1 اور باقی اجزا صفر ہیں، اور

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

ایک متقارن سہ قطری میٹرکس ہے۔

یوں سہ قطری میٹرکس $T_m$ کی ذاتی اقدار کا حساب کر کے اصل بڑے پیمانے کے ذاتی قدر مسئلے کی ذاتی اقدار کا تخمینہ لگایا جا سکتا ہے۔

موڈل تجزیہ¶

عمومی ذاتی قدر مسئلہ¶

میٹرکس کی خصوصیات اور مفروضے¶

شفٹ شدہ معکوس تکرار¶

لانچوز طریقہ¶

انتخاب کی وجہ (جیکوبی طریقے سے موازنہ)¶

الگورتھم اور خصوصیات¶

ہندسی مفہوم (کریلوف ذیلی فضا)¶

سہ قطری بنانا¶

متعلقہ موضوعات¶