تعددی ردِعمل تجزیہ¶

مسئلے کی ترتیب¶

تعددی ردِعمل تجزیہ اس وقت نظام کے مستحکم حالت کے ردِعمل کے حیطے اور مرحلے کو تعددی دائرے میں جانچتا ہے جب بیرونی قوت وقت کے ساتھ ہارمونک طور پر بدلتی ہو۔ چونکہ زیرِ غور حرکت کی مساوات ڈیمپنگ کے بغیر اور ڈیمپنگ کے ساتھ مختلف خاکہ رکھتی ہے، اس باب میں پہلے بغیر ڈیمپنگ آزاد ارتعاش سے ذاتی موڈ اخذ کیے جاتے ہیں، پھر انہیں موڈل بنیاد بنا کر ڈیمپنگ کے تحت ہارمونک ردِعمل پھیلایا جاتا ہے۔

بغیر ڈیمپنگ آزاد ارتعاش اور ذاتی موڈ¶

ڈیمپنگ کو نظرانداز کرنے کی صورت میں حرکت کی مساوات درج ذیل ہے۔

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

اسے ہر ذاتی موڈ کے مطابق پھیلانے پر،

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

ملتا ہے۔ اسے مساوات \(\eqref{eq:2.6.1}\) میں رکھنے سے،

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

حاصل ہوتا ہے۔ اس عمومی ذاتی قدر مسئلے کے عددی حل (شفٹ شدہ معکوس تکرار اور Lanczos طریقہ) کو موڈل تجزیہ میں بیان کیا گیا ہے۔ یہاں حاصل ہونے والی ذاتی تعدد اور ذاتی موڈ کی وہ خصوصیات منظم کی جاتی ہیں جو بعد کے ہارمونک ردِعمل کے پھیلاؤ میں استعمال ہوتی ہیں۔

ذاتی تعدد کا حقیقی ہونا¶

ذیل میں ثابت کیا جاتا ہے کہ ذاتی تعدد حقیقی ہے۔ \(\omega_j^2 = \lambda_j\) رکھ کر مساوات \(\eqref{eq:2.6.3}\) کا مختلط مرافق لینے سے مساوات \(\eqref{eq:2.6.4}\) ملتی ہے۔

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

اسے \(\overline{U}_J^T\) سے ضرب دینے پر،

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

حاصل ہوتا ہے۔ مساوات \(\eqref{eq:2.6.5}\) سے،

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

ملتا ہے۔ چونکہ کمیتی میٹرکس مثبت معین متقارن ہے، اس لیے غیر صفر ذاتی ویکٹر کے لیے

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

درست ہے۔ لہٰذا،

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

اور \(\omega_j^2 = \lambda_j\) حقیقی ہے۔

ذاتی موڈ کی عمودیت اور معیار بندی¶

اب دو مختلف موڈوں پر غور کریں۔

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

اس سے،

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

ملتا ہے، اور مختلف ذاتی قدروں کی صورت میں،

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

ہوتا ہے۔ یعنی مختلف ذاتی موڈ کمیتی میٹرکس کے لحاظ سے عمودی ہیں۔ اسی موڈ کو کمیتی میٹرکس کے لحاظ سے معیار بند کرنے (مساوات \(\eqref{eq:2.6.12}\)) سے حساب آسان ہو جاتا ہے۔

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

ڈیمپنگ کے تحت ہارمونک ردِعمل¶

اب ڈیمپنگ شامل کرنے والے تعددی ردِعمل تجزیے کی تشکیل دکھائی جاتی ہے۔ زیرِ غور حرکت کی مساوات مساوات \(\eqref{eq:2.6.13}\) میں ہے۔

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

یہاں ڈیمپنگ جزو کو Rayleigh قسم فرض کیا جاتا ہے اور اسے \(\eqref{eq:2.6.14}\) کی طرح ظاہر کیا جاتا ہے۔

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

ذاتی قدر تجزیے سے حاصل شدہ ذاتی ویکٹروں کے ذریعے نقل مکانی ویکٹر کو وقت t پر مساوات \(\eqref{eq:2.6.15}\) کی طرح پھیلایا جا سکتا ہے۔

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

جب بیرونی قوت کا جزو ہارمونک ارتعاشی صورت

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

میں ہو، تو \(b_{j}(t)\) متعین کیا جاتا ہے۔ چونکہ حرکت کی مساوات \(\eqref{eq:2.6.13}\) جبری ارتعاش کی صورت اختیار کرتی ہے،

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

درست ہے۔ \(b_{j}(t)\) کے پھیلاؤ کے ضریب کے حقیقی اور خیالی حصے نکالنے پر مساوات \(\eqref{eq:2.6.18}i\) اور مساوات \(\eqref{eq:2.6.19}\) کی صورت ملتی ہے۔

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

حاصل ہوتے ہیں۔