غیر مستقل حرارت ترسیل تجزیہ
محدود عنصر طریقے (محدود عنصر طریقہ) سے ٹھوس جسم میں حرارت ترسیل کے وقتی گسست سازی اور تکراری حل کو بیان کیا گیا ہے۔ مسلسل محیط کی حاکم مساوات اور حدی شرائط کے لیے حرارت ترسیل مساوات دیکھیں۔
منفصل کیا گیا مساوات (ابتدائی نقطہ)
حرارت-ترسیل مساوات (حرارت ترسیل مساوات، مساوات (gov_he_main)) کو Galerkin طریقہ سے منفصل کرنے پر:
\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]
جہاں:
\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]
یہاں \(K\)، \(M\)، \(F\) اور \(N\) بالترتیب حرارت-ترسیل میٹرکس (حد پر حمل اور اشعاع کے حصوں سمیت)، کمیتی میٹرکس، حرارتی-بوجھ سمتیہ اور شکلی تفاعل میٹرکس ہیں۔ \(\rho\)، \(c\)، \(k_x, k_y, k_z\)، \(Q\)، \(hc\)، \(hr\) وغیرہ کی تعریفیں حرارت ترسیل مساوات کے مطابق ہیں۔
وقتی گسست سازی اور تکراری حل
مساوات \(\eqref{eq:2.4.8}\) غیر خطی اور غیر مستقل ہے۔ وقت میں پس رو اویلر طریقہ استعمال کر کے، اگر \(t=t_0\) پر درجۂ حرارت معلوم ہو تو \(t=t_0+\Delta t\) پر درجۂ حرارت درج ذیل سے حاصل کیا جاتا ہے۔
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]
اب مساوات \(\eqref{eq:2.4.13}\) کو تقریباً پورا کرنے والے درجۂ حرارت سمتیہ \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) کو بہتر کر کے زیادہ درست \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) حاصل کرنے پر غور کیا جاتا ہے۔
اس کے لیے پہلے درجۂ حرارت سمتیہ کو درج ذیل طرح ظاہر کیا جاتا ہے۔
\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]
حرارت-ترسیل میٹرکس اور درجۂ حرارت سمتیہ کے حاصل ضرب اور کمیتی میٹرکس کو درج ذیل طور پر خطی تقریب میں ظاہر کرتے ہیں:
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]
مساواتوں \(\eqref{eq:2.4.14}\)، \(\eqref{eq:2.4.15}\) اور \(\eqref{eq:2.4.16}\) کو مساوات \(\eqref{eq:2.4.13}\) میں رکھ کر دوسرے اور اس سے بلند مرتبے کی حدود چھوڑنے سے:
\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]
مزید، بائیں طرف کے ضریب میٹرکس کو درج ذیل مساوات سے تقریباً جانچا جاتا ہے۔
\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]
یہاں \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) مماسی سختی میٹرکس ہے۔
آخرکار درج ذیل تکرار استعمال کر کے \(t=t_0+\Delta t\) پر درجۂ حرارت حاصل کیا جا سکتا ہے۔
\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]
خصوصاً مستقل حالت کے تجزیے میں تکرار کے لیے:
\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]
غیر مستقل تجزیے میں وقتی اضافہ \(\Delta t\) کے انتخاب پر، چونکہ وقتی گسست سازی میں ضمنی طریقہ استعمال ہوتی ہے، عام طور پر اس کی قدر کی سخت استحکام پابندی نہیں ہوتی۔ تاہم وقتی اضافہ \(\Delta t\) بہت بڑا ہو تو تکراری حساب میں تقارب تکرارات بڑھ جاتے ہیں۔ عمومی طور پر، وقتی اضافہ \(\Delta t\) بہت بڑا ہو تو تکرار تعداد بڑھتا ہے۔ نفاذ باقیہ سمتیہ کی قدر دیکھتی ہے؛ تقارب سست ہو تو \(\Delta t\) کم اور تکرارات کم ہوں تو \(\Delta t\) بڑھانے والا خودکار اضافہ کنٹرول استعمال ہوتا ہے؛ تفصیل مرحلہ کنٹرول میں ہے۔
متعلقہ موضوعات