براہِ راست مواد پر جائیں

ہندسی حدی شرائط کی تطبیق

Newton-Raphson طریقے میں ہر تکرار پر حل کی جانے والی خطی مساوات \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) میں ابھی ہندسی حدی شرائط، یعنی نقل مکانی قیود، شامل نہیں ہوتیں۔ اس باب میں دکھایا گیا ہے کہ جن درجاتِ آزادی پر \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) کی قید ہو، وہاں سختی میٹرکس \(\boldsymbol{K}\) اور باقیہ سمتیہ \(\boldsymbol{R}\) کو کس طرح بدلا جائے تاکہ تکرار کے بعد نقل مکانی مقررہ قدر تک پہنچے۔ کثیر-نقطہ قید (MPC) اور تماس کی غیر خطی قیود الگ طریقے سے سنبھالی جاتی ہیں؛ ان کے لیے کثیر-نقطہ قید اور تماس دیکھیں۔

مقید نقل مکانی کو سمتیہ میں برقرار رکھنے کی حکمتِ عملی

ہندسی حدی شرط والے نوڈ کی نقل مکانی اب آزاد نامعلوم نہیں رہتی بلکہ مقررہ قدر \(\bar{u}_i\) پر طے ہوتی ہے۔ انہیں مستقلات سمجھ کر \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) سے حذف کیا جا سکتا ہے، لیکن FrontISTR مقید درجاتِ آزادی کو بھی دوسرے درجاتِ آزادی کے ساتھ تصحیح سمتیہ \(d\boldsymbol{u}\) میں برقرار رکھتا ہے اور \(\boldsymbol{K}\) اور \(\boldsymbol{R}\) کو تبدیل کر کے قید نافذ کرتا ہے۔

اس طریقے میں عددی سر میٹرکس کی ابعاد اور درجاتِ آزادی کی ترتیب قیود کے ہونے یا نہ ہونے سے تبدیل نہیں ہوتی، اس لیے متغیرات حذف کرنے کے بعد خالی سطریں/ستون کو دوبارہ ترتیب دینا کرنے کی ضرورت نہیں پڑتی۔ اسپارس میٹرکس نفاذ میں یہ دوبارہ ترتیب پیچیدہ ہو سکتا ہے؛ اسی لیے FrontISTR میٹرکس اور دائیں جانب کی تازہ کاری سے قید نافذ کرتا ہے۔

Newton-Raphson تصحیح کی مطلوبہ قدر

مقید درجۂ آزادی \(i\) کے لیے Newton-Raphson تکرار میں حاصل ہونے والی تصحیح \(du_i\) کو

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{پہلی تکرار}) \\ 0 & (\text{دوسری اور بعد کی تکرارات}) \end{cases} \]

ہونے کے لیے \(\boldsymbol{K}\) اور \(\boldsymbol{R}\) کو تبدیل کیا جاتا ہے۔ اس طرح پہلی تکرار میں نقل مکانی اضافہ مقررہ قدر \(\bar{u}_i\) تک پہنچتا ہے، اور بعد کی تکرارات میں تصحیح \(0\) رہنے سے وہ قدر برقرار رہتی ہے۔

میٹرکس اور باقیہ سمتیہ کی تبدیلی

اوپر بیان کردہ مطلوبہ قدر کو خطی مساوات \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) کی صورت برقرار رکھتے ہوئے درج ذیل دو تبدیلیوں سے نافذ کیا جاتا ہے۔

  1. سطر \(i\) کو قطری بنانا: \(du_i\) کے عددی سر، یعنی قطری حد \(K_{ii}\)، کو \(1\) اور باقی تمام \(K_{ij}\ (j \not= i)\) کو \(0\) سے بدلیں، اور دائیں جانب کو \(R_i \to d\bar{u}_i\) کریں۔ اس سے سطر \(i\) کی مساوات \(du_i = d\bar{u}_i\) بن جاتی ہے۔
  2. سطریں \(j(\not= i)\) سے حد منتقل کرنا: اگر سطر \(j(\not= i)\) میں \(K_{ji} \not= 0\) ہو تو \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) کو دائیں جانب پر منتقل کریں۔ یعنی دائیں جانب سے \(K_{ji} d\bar{u}_i\) منہا کریں اور \(du_i\) کا عددی سر \(K_{ji}\) کو \(0\) کریں۔

اجزا کی شکل میں، تبدیلی سے پہلے اور بعد کی مساواتیں یوں ہیں۔

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

تبدیل شدہ عددی سر میٹرکس اور دائیں جانب کو بالترتیب \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) لکھنے پر آخری خطی مساوات

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

بنتی ہے۔ اگر کئی مقید درجاتِ آزادی موجود ہوں تو ہر \(i\) کے لیے اوپر کی تبدیلیاں 1 اور 2 باری باری نافذ کی جاتی ہیں۔

اسپارس میٹرکس نفاذ میں کارروائی کا دائرہ

نفاذ میں عددی سر میٹرکس \(\boldsymbol{K}\) اسپارس میٹرکس کی صورت میں رکھی جاتی ہے۔ اس لیے طریقۂ کار 2 میں سطر \(j(\not= i)\) کی تازہ کاری صرف ان سطریں پر کی جاتی ہے جن کے ستون \(i\) میں غیر صفر جزو ہو، یعنی ان نوڈز کے درجاتِ آزادی پر جو عناصر کے ذریعے مقید درجۂ آزادی \(i\) سے منسلک ہوں۔ غیر مربوط درجاتِ آزادی کے لیے \(K_{ji} = 0\) ہوتا ہے، لہٰذا حد منتقل کرنے سے دائیں جانب نہیں بدلتا۔ اس پابندی سے قید عمل کاری کل نوڈز کی تعداد کے بجائے صرف مقامی اعمال سے مکمل ہو جاتی ہے۔

متعلقہ موضوعات