براہِ راست مواد پر جائیں

سادہ جیومیٹری ماڈل سے تصدیق

لچکیلا جامد تجزیہ

اس تصدیق میں شکل 9.1.1 کے مطابق میش کیے گئے کینٹی لیور بیم کو موضوع بنایا گیا ہے۔ تصدیقی شرائط کے لیے شکل 9.1.2 میں دکھائی گئی مختلف بوجھ شرائط کے تحت exA تا exG، کل 7 کیسوں کا تجزیہ کیا گیا۔ exG میں بوجھ کی شرط exA جیسی ہے، لیکن یہ براہ راست طریقے کے سولور کی تصدیق کا کیس ہے۔

جدول 9.1.1 تا جدول 9.1.7 میں ہر کیس کے تصدیقی نتائج دکھائے گئے ہیں۔

کینٹی لیور بیم کی میش تقسیم کی مثال (شش پہلو عنصر) شکل 9.1.1　کینٹی لیور بیم کی میش تقسیم کی مثال (شش پہلو عنصر)
(a) exA,G：مرکوز بوجھ
(b) exD：ثقل
(c) exB：سطحی تقسیم شدہ بوجھ
(d) exE：مرکز گریز قوت
(e) exC：حجمی بوجھ
(f) exF：حرارتی بوجھ
آئٹم قدر
ینگ ماڈیولس \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
لمبائی \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
پوآسن تناسب \(\nu = 0.3\)
مقطع رقبہ \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
کمیتی کثافت \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
مقطع کا دوسرا مومنٹ \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
ثقلی تعجیل \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
خطی حرارتی پھیلاؤ کا ضریب \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

شکل 9.1.2　کینٹی لیور بیم ماڈل کی تصدیقی شرائط

جدول 9.1.1　exA：مرکوز بوجھ مسئلے کے تصدیقی نتائج

کیس نام عناصر کی تعداد پیش گوئی قدر：\(\delta_{max}= -1.000\) نوٹ
NASTRAN تجارتی سافٹ ویئر FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 نوڈ
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 نوڈ
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 نوڈ
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 نوڈ
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 نوڈ
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 نوڈ
A731 40 - - -0.991 33 نوڈ / براہ راست طریقہ
A741 20 - - -0.996 33 نوڈ / براہ راست طریقہ

جدول 9.1.2　exB：سطحی تقسیم شدہ بوجھ مسئلے کے تصدیقی نتائج

کیس نام عناصر کی تعداد پیش گوئی قدر：\(\delta_{max}= -3.750\) نوٹ
NASTRAN تجارتی سافٹ ویئر FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 نوڈ
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 نوڈ
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 نوڈ
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 نوڈ
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 نوڈ
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 نوڈ
B731 40 - - -3.722 33 نوڈ / براہ راست طریقہ
B741 20 - - -3.743 33 نوڈ / براہ راست طریقہ

جدول 9.1.3　exC：حجمی بوجھ مسئلے کے تصدیقی نتائج

کیس نام عناصر کی تعداد پیش گوئی قدر：\(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) نوٹ
NASTRAN تجارتی سافٹ ویئر FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 نوڈ
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 نوڈ
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 نوڈ
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 نوڈ
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 نوڈ
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 نوڈ
C731 40 - - -2.922e-5 33 نوڈ / براہ راست طریقہ
C741 20 - - -2.938e-5 33 نوڈ / براہ راست طریقہ

جدول 9.1.4　exD：ثقلی مسئلے کے تصدیقی نتائج

کیس نام عناصر کی تعداد پیش گوئی قدر：\(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) نوٹ
NASTRAN تجارتی سافٹ ویئر FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 نوڈ
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 نوڈ
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 نوڈ
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 نوڈ
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 نوڈ
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 نوڈ
D731 40 - - -2.922e-5 33 نوڈ / براہ راست طریقہ
D741 20 - - -2.938e-5 33 نوڈ / براہ راست طریقہ

جدول 9.1.5　exE：مرکز گریز قوت مسئلے کے تصدیقی نتائج

کیس نام عناصر کی تعداد پیش گوئی قدر：\(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) نوٹ
NASTRAN تجارتی سافٹ ویئر FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 نوڈ
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 نوڈ
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 نوڈ
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 نوڈ
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 نوڈ
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 نوڈ
E731 40 - - 2.619e-3 33 نوڈ / براہ راست طریقہ
E741 20 - - 2.622e-3 33 نوڈ / براہ راست طریقہ

جدول 9.1.6　exF：حرارتی تناؤ بوجھ مسئلے کے تصدیقی نتائج

کیس نام عناصر کی تعداد پیش گوئی قدر：\(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) نوٹ
NASTRAN تجارتی سافٹ ویئر FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 نوڈ
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 نوڈ
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 نوڈ
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 نوڈ
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 نوڈ
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 نوڈ

جدول 9.1.7　exG：براہ راست طریقے کے تصدیقی نتائج (مرکوز بوجھ مسئلہ)

کیس نام عناصر کی تعداد پیش گوئی قدر：δmax= -1.000 نوٹ
NASTRAN تجارتی سافٹ ویئر FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 نوڈ
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 نوڈ
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 نوڈ
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 نوڈ
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 نوڈ
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 نوڈ
G731 40 - - -0.991 33 نوڈ / براہ راست طریقہ
G741 20 - - -0.996 33 نوڈ / براہ راست طریقہ

غیر خطی جامد تجزیہ

(2-1) exnl1: جیومیٹریائی غیر خطی تجزیہ

تصدیقی کیس exI کا ماڈل exA تا exG کے ماڈل کے عین مطابق ہے۔ شکل 9.1.3 میں تصدیقی ماڈل کا خاکہ دکھایا گیا ہے۔ اس ماڈل پر جیومیٹریائی غیر خطی تجزیہ کیا جاتا ہے۔ تصدیقی نتائج جدول 9.1.8 میں دکھائے گئے ہیں۔

غیر خطی حساب، مرجعی بوجھ \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\) کے لیے، بوجھ میں اضافہ \(0.1P\) رکھ کر 10 اسٹیپس میں کیا جاتا ہے۔

تصدیقی ماڈل شکل 9.1.3　تصدیقی ماڈل

جدول 9.1.8　exI：تصدیقی نتائج (زیادہ سے زیادہ انحراف کی تاریخ)

کیس نام 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 خطی حل
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: الاستوپلاسٹک تبدیلیِ شکل کا تجزیہ

یہ تصدیقی مسئلہ National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) کے NAFEMS Test NL1 کو حوالہ بناتا ہے، اور جیومیٹریائی غیر خطیت کے ساتھ متعدد سخت کاری قوانین شامل کرکے الاستوپلاسٹک تبدیلیِ شکل کا تجزیہ کیا گیا۔ شکل 9.1.4 میں تجزیاتی ماڈل دکھایا گیا ہے۔

الاستوپلاسٹک تبدیلیِ شکل کا تجزیاتی ماڈل

شکل9.1.4　الاستوپلاسٹک تبدیلیِ شکل کا تجزیاتی ماڈل

(1) تصدیقی شرائط

آئٹم قدر
مادہ Mises الاستوپلاسٹک مادہ
ینگ ماڈیولس \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
پوآسن تناسب \(\nu=0.25\)
ابتدائی ییلڈ تناؤ \(5\ \mathrm{MPa}\)
ابتدائی ییلڈ کرنش \(0.25\times10^{-4}\)
ہم سمتی سخت کاری ضریب \(H_i = 0\) یا \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) حدی شرائط

آئٹم حدی شرائط قدر
اسٹیپ1 نوڈ 2 اور 3 پر مقررہ نقل مکانی \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
اسٹیپ2 نوڈ 2 اور 3 پر مقررہ نقل مکانی \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
اسٹیپ3 نوڈ 3 اور 4 پر مقررہ نقل مکانی \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
اسٹیپ4 نوڈ 3 اور 4 پر مقررہ نقل مکانی \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
اسٹیپ5 نوڈ 2 اور 3 پر مقررہ نقل مکانی \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
اسٹیپ6 نوڈ 2 اور 3 پر مقررہ نقل مکانی \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
اسٹیپ7 نوڈ 3 اور 4 پر مقررہ نقل مکانی \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
اسٹیپ8 نوڈ 3 اور 4 پر مقررہ نقل مکانی \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

یہاں درج نہ کیے گئے تمام نوڈ مکمل طور پر مقید ہیں۔ اس مسئلے کا نظری حل درج ذیل ہے۔

کرنش (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 مساوی تناؤ (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

اس کے مقابلے میں حسابی نتائج درج ذیل ہیں۔

کرنش (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 مساوی تناؤ (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

تماسی تجزیہ (1)

یہ تصدیقی مسئلہ National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) کے تماسی پیچ آزمائش مسئلہ CGS-4 کو حوالہ بناتا ہے، اور رگڑ کے ساتھ محدود پھسلاؤ تماسی مسئلے کی فعالیت کی جانچ کرتا ہے۔ شکل 9.1.5 میں تجزیاتی ماڈل دکھایا گیا ہے۔

تماسی تجزیاتی ماڈل

شکل9.1.5　تماسی تجزیاتی ماڈل

اس مسئلے کی توازن شرط درج ذیل ہے۔

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

چپکنے والی رگڑ کے مرحلے میں رگڑی قوت

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

ہے، جبکہ پھسلنے والی رگڑ کے مرحلے میں

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

ہوتی ہے۔

حسابی نتیجے اور تحلیلی حل کا موازنہ درج ذیل ہے۔

\(\mu\) \(F/G\) تحلیلی حل \(F/G\) حسابی نتیجہ
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

تماسی تجزیہ (2): Hertz تماسی مسئلہ

اس تصدیق میں لامحدود لمبائی کے سلنڈر اور لامحدود مستوی کے Hertz تماسی مسئلے کا تجزیہ کیا گیا۔ سلنڈر کا رداس \(R = 8\ \mathrm{mm}\) ہے، جبکہ قابلِ تبدیلی جسم کا ینگ ماڈیولس \(E\) اور پوآسن تناسب \(\mu\) بالترتیب \(1100\ \mathrm{MPa}\) اور \(0.0\) ہیں۔ مزید یہ فرض کیا گیا ہے کہ تماس کا رقبہ سلنڈر کے رداس کے مقابلے میں کافی چھوٹا ہے؛ مسئلے کی تقارن کو ملحوظ رکھتے ہوئے سلنڈر کے ایک چوتھائی ماڈل سے تجزیہ کیا گیا۔

Hertz تماسی مسئلے کا تجزیاتی ماڈل شکل9.1.6　Hertz تماسی مسئلے کا تجزیاتی ماڈل

(1) تماسی رداس کے تصدیقی نتائج

تماسی رداس کے حساب کا نظری مساوات درج ذیل ہے۔

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

جہاں

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

ہے۔ اس حساب میں دباؤ \(F=100\) پر تماسی رداس \(a=1.36\) بنتا ہے۔

شکل 9.1.7 تماسی نقطے پر مساوی نوڈی قوت دکھاتی ہے۔ اس نوڈی قوت کی تقسیم کو آگے بڑھا کر تماسی رداس اخذ کیا جاتا ہے۔

تماسی نقطے پر مساوی نوڈی قوت کی تقسیم

شکل9.1.7　تماسی نقطے پر مساوی نوڈی قوت کی تقسیم

(2) زیادہ سے زیادہ قینچی تناؤ کے تصدیقی نتائج

نظری حل کے مطابق، تماس کی جگہ

\[ z = 0.78a \]

پر زیادہ سے زیادہ قینچی تناؤ

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

ہے۔ ان حسابی شرائط میں

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

ہوتی ہے۔ اس کے مقابلے میں،

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

کا حسابی نتیجہ حاصل ہوا۔

قینچی تناؤ کی تقسیم (زیادہ سے زیادہ قدر=15.6 شکل9.1.8　قینچی تناؤ کی تقسیم (زیادہ سے زیادہ قدر=15.6)

(3) موڈل تجزیہ

تصدیقی کیس exJ تا exK کے ماڈل exA تا exG کے ماڈل کے عین مطابق ہیں۔ شکل 9.1.9 میں تصدیقی ماڈل کا خاکہ دکھایا گیا ہے۔ اس ماڈل پر موڈل تجزیہ کیا جاتا ہے۔ پہلے تین موڈز کی قدرتی تعددات نکالی جاتی ہیں۔ exJ میں تکراری طریقے کا سولور اور exK میں براہ راست طریقے کا سولور استعمال کیا جاتا ہے۔ تصدیقی نتائج جدول 9.1.9 تا جدول 9.1.12 میں دکھائے گئے ہیں۔

تصدیقی ماڈل شکل 9.1.9　تصدیقی ماڈل

کینٹی لیور بیم کی قدرتی تعددات درج ذیل مساوات سے حاصل ہوتی ہیں۔

پہلا موڈ

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

دوسرا موڈ

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

تیسرا موڈ

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

تصدیقی ماڈل کی خصوصیتی قدریں

آئٹم قدر
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

ہیں۔ لہٰذا تیسرے موڈ تک کی قدرتی تعددات درج ذیل ہیں۔

موڈ نمبر قدر
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

جدول 9.1.9　exJ：تکراری طریقے کے تصدیقی نتائج (پہلی قدرتی تعدد)

کیس نام عناصر کی تعداد پیش گوئی قدر：n1=3.609e3 نوٹ
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 نوڈ
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 نوڈ
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 نوڈ
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 نوڈ
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 نوڈ
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 نوڈ

جدول 9.1.10　exJ：تکراری طریقے کے تصدیقی نتائج (دوسری قدرتی تعدد)

کیس نام عناصر کی تعداد پیش گوئی قدر：n2=2.262e4 نوٹ
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 نوڈ
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 نوڈ
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 نوڈ
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 نوڈ
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 نوڈ
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 نوڈ

نوٹ: سہ جہتی ماڈل میں پہلا اور دوسرا موڈ ایک ہی قدرتی تعدد سے متعلق ہوتے ہیں، اس لیے تیسری حساب شدہ قدرتی تعدد کو جدول میں دوسری قدرتی تعدد کے طور پر درج کیا گیا ہے۔

جدول 9.1.11　exK：براہ راست طریقے کے تصدیقی نتائج (پہلی قدرتی تعدد)

کیس نام عناصر کی تعداد پیش گوئی قدر：n1=3.609e3 نوٹ
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 نوڈ
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 نوڈ
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 نوڈ
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 نوڈ
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 نوڈ
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 نوڈ
J731 40 - 3.606e3 220 نوڈ
J741 20 - 3.594e3 220 نوڈ

جدول 9.1.12　exK：براہ راست طریقے کے تصدیقی نتائج (دوسری قدرتی تعدد)

کیس نام عناصر کی تعداد پیش گوئی قدر：n2=2.262e4 نوٹ
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 نوڈ / مستوی تناؤ مسئلہ
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 نوڈ
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 نوڈ
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 نوڈ
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 نوڈ
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 نوڈ
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 نوڈ
J731 40 - 2.156e4 220 نوڈ
J741 20 - 2.153e4 220 نوڈ

نوٹ: سہ جہتی ماڈل میں پہلا اور دوسرا موڈ ایک ہی قدرتی تعدد سے متعلق ہوتے ہیں، اس لیے تیسری حساب شدہ قدرتی تعدد کو جدول میں دوسری قدرتی تعدد کے طور پر درج کیا گیا ہے۔

(4) حرارت ترسیل تجزیہ

مستقل حالت حرارت ترسیل تجزیے کی مشترک شرائط شکل 9.1.10 میں دکھائی گئی ہیں۔ تصدیقی کیس exM تا exT کی انفرادی شرائط شکل 9.1.11 میں دکھائی گئی ہیں۔ میش تقسیم exA کے مساوی استعمال کی جاتی ہے۔

جدول 9.1.13 تا جدول 9.1.20 میں ہر کیس کے تصدیقی نتیجے کے طور پر درجۂ حرارت کی تقسیم دکھائی گئی ہے۔

حرارت ترسیل تجزیہ
AB کے درمیان لمبائی \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
مقطع رقبہ \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

حرارتی ترسیلیت کا درجۂ حرارت پر انحصار

حرارتی ترسیلیت \(\lambda\) (W/(m·K)) درجۂ حرارت (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

شکل 9.1.10　مستقل حالت حرارت ترسیل تجزیے کی تصدیقی شرائط
exM:خطی مادہ
exN:مقررہ درجۂ حرارت مسئلہ
exO:مرکوز حرارتی بہاؤ مسئلہ
exP:تقسیم شدہ حرارتی بہاؤ مسئلہ
exQ:حملی حرارت منتقلی مسئلہ
exR:اشعاعی حرارت منتقلی مسئلہ
exS:حجمی حرارت پیداوار مسئلہ
exT:اندرونی خلا کا مسئلہ

شکل 9.1.11　ہر تصدیقی کیس کی تجزیاتی شرائط

جدول 9.1.13　exM：خطی مادے کے ساتھ مستقل حالت حساب کے تصدیقی نتائج

کیس نام عنصر ٹائپ عناصر/نوڈ کی تعداد A سرے سے فاصلہ (m)
A سرا 2.0 4.0 6.0 8,0 B سرا
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

جدول 9.1.14　exN：مقررہ درجۂ حرارت مسئلے کے تصدیقی نتائج

کیس نام عنصر ٹائپ عناصر/نوڈ کی تعداد A سرے سے فاصلہ (m)
A سرا 2.0 4.0 6.0 8,0 B سرا
تجارتی سافٹ ویئر 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

جدول 9.1.15　exO：مرکوز حرارتی بہاؤ مسئلے کے تصدیقی نتائج

کیس نام عنصر ٹائپ عناصر/نوڈ کی تعداد A سرے سے فاصلہ (m)
A سرا 2.0 4.0 6.0 8,0 B سرا
تجارتی سافٹ ویئر 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

جدول 9.1.16　exP：تقسیم شدہ حرارتی بہاؤ مسئلے کے تصدیقی نتائج

کیس نام عنصر ٹائپ عناصر/نوڈ کی تعداد A سرے سے فاصلہ (m)
A سرا 2.0 4.0 6.0 8,0 B سرا
تجارتی سافٹ ویئر 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

جدول 9.1.17　exQ：حملی حرارت منتقلی مسئلے کے تصدیقی نتائج

کیس نام عنصر ٹائپ عناصر/نوڈ کی تعداد A سرے سے فاصلہ (m)
A سرا 2.0 4.0 6.0 8,0 B سرا
تجارتی سافٹ ویئر 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

جدول 9.1.18　exR：اشعاعی حرارت منتقلی مسئلے کے تصدیقی نتائج

کیس نام عنصر ٹائپ عناصر/نوڈ کی تعداد A سرے سے فاصلہ (m)
A سرا 2.0 4.0 6.0 8,0 B سرا
تجارتی سافٹ ویئر 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

جدول 9.1.19　exS：حجمی حرارت پیداوار مسئلے کے تصدیقی نتائج

کیس نام عنصر ٹائپ عناصر/نوڈ کی تعداد A سرے سے فاصلہ (m)
A سرا 2.0 4.0 6.0 8,0 B سرا
تجارتی سافٹ ویئر 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

جدول 9.1.20　exT：اندرونی خلا کے مسئلے کے تصدیقی نتائج

کیس نام عنصر ٹائپ عناصر/نوڈ کی تعداد A سرے سے فاصلہ (m)
A سرا 2.0 4.0 6.0 8,0 B سرا
تجارتی سافٹ ویئر 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

خطی حرکی تجزیہ

exW میں شق (1) کے اسی کینٹی لیور بیم پر خطی حرکی تجزیہ کیا گیا۔ شکل 9.1.12 میں تصدیقی شرائط دکھائی گئی ہیں۔ یہاں ایک ہی میش تقسیم کے لیے نتائج پر زمانی اضافے کے اثر کی تصدیق کی گئی۔ حرکی تجزیے کے لیے ضمنی اور صریح دونوں طریقے استعمال کیے گئے، جبکہ عنصر ٹائپ 361 اور 342 استعمال ہوئے۔ تصدیقی نتائج جدول 9.1.22 اور شکل 9.1.13 تا شکل 9.1.15 میں دکھائے گئے ہیں۔

تجزیاتی ماڈل تجزیاتی ماڈل

بیرونی قوت F کی زمانی تاریخ بیرونی قوت F کی زمانی تاریخ

تحریکی نقطے کی نقل مکانی کا نظری حل:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

جہاں

\[ \(F_0:\ \text{مستقل ویکٹر}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

شکل 9.1.12　خطی حرکی تجزیے کی تصدیقی شرائط

تصدیقی شرائط:
لمبائی \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
مقطع چوڑائی \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
مقطع اونچائی \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
ینگ ماڈیولس \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
پوآسن تناسب \(\nu\) \(0.3\)
کثافت \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
ثقلی تعجیل \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
بیرونی قوت \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
عنصر پہلے درجے کا شش پہلو عنصر
دوسرے درجے کا ٹیٹراہیڈرل عنصر
حل کا طریقہ ضمنی طریقہ
Newmark-\(\beta\) طریقے کا پیرامیٹر \(\gamma\) 1/2
Newmark-\(\beta\) طریقے کا پیرامیٹر \(\beta\) 1/4
صریح طریقہ
تخمید نہیں

جدول 9.1.21　خطی حرکی تجزیے کی تصدیقی شرائط (جاری)

کیس نام عنصر ٹائپ نوڈ کی تعداد عناصر کی تعداد حل کا طریقہ وقت کا اضافہ \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 ضمنی طریقہ 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 ضمنی طریقہ 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 ضمنی طریقہ 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 ضمنی طریقہ 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 ضمنی طریقہ 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 ضمنی طریقہ 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 صریح طریقہ 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 صریح طریقہ 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 صریح طریقہ 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 صریح طریقہ 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 صریح طریقہ 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 صریح طریقہ 1.0E-07

جدول 9.1.22　exW：کینٹی لیور بیم کے خطی حرکی تجزیے کے تصدیقی نتائج

کیس نام عنصر ٹائپ نوڈ کی تعداد عناصر کی تعداد حل کا طریقہ وقت \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) پر z سمت نقل مکانی (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 ضمنی طریقہ 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 ضمنی طریقہ 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 ضمنی طریقہ 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 ضمنی طریقہ 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 ضمنی طریقہ 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 ضمنی طریقہ 1.9753 عدم تقارب
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 صریح طریقہ 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 صریح طریقہ 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 صریح طریقہ 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 صریح طریقہ 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 صریح طریقہ 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 صریح طریقہ 1.9753 عدم تقارب

کینٹی لیور بیم کی تبدیلیِ شکل اور مساوی تناؤ کی تقسیم شکل 9.1.13　کینٹی لیور بیم کی تبدیلیِ شکل اور مساوی تناؤ کی تقسیم

(a) عنصر ٹائپ 361:ضمنی طریقہ (a) عنصر ٹائپ 361:ضمنی طریقہ

(b) عنصر ٹائپ 361:صریح طریقہ (b) عنصر ٹائپ 361:صریح طریقہ

شکل9.1.14 تحریکی نقطے کی نقل مکانی \(u_z\) کی زمانی تاریخ

(a) عنصر ٹائپ 342:ضمنی طریقہ (a) عنصر ٹائپ 342:ضمنی طریقہ

(b) عنصر ٹائپ 342:صریح طریقہ (b) عنصر ٹائپ 342:صریح طریقہ

شکل 9.1.15　تحریکی نقطے کی نقل مکانی \(u_z\) کی زمانی تاریخ

تعددی ردِعمل تجزیہ

اس تصدیق میں کینٹی لیور بیم کا تعددی ردِعمل تجزیہ کیا گیا اور اس کا موازنہ عمومی تجارتی سافٹ ویئر کے نتائج سے کیا گیا۔ تجزیاتی ماڈل اور تصدیقی شرائط ذیل میں دکھائی گئی ہیں۔

تجزیاتی شرائط:
ینگ ماڈیولس \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
پوآسن تناسب \(\nu\) \(0.3\)
کثافت \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
ثقلی تعجیل \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
بوجھ \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Rayleigh تخمید پیرامیٹر \(R_m\) \(0.0\)
Rayleigh تخمید پیرامیٹر \(R_k\) \(7.2E-07\)

شکل 9.1.16　تجزیاتی ماڈل (پہلے درجے کا ٹیٹراہیڈرل عنصر؛ 126 عناصر، 55 نوڈ)

موڈل تجزیے سے حاصل شدہ پہلی پانچ قدرتی تعددات اور تحریکی نقطے کا تعدد ردِعمل دکھایا گیا ہے۔

موڈ FrontISTR تجارتی سافٹ ویئر
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

تحریکی نقطے کی نقل مکانی کی شدت کا تعدد پر انحصار شکل 9.1.17　تحریکی نقطے کی نقل مکانی کی شدت کا تعدد پر انحصار