Tarkibga o'tish

Chiziqli elastiklik

Ushbu bobda chiziqli elastik materiallarning konstitutiv qonuni (Hooke qonuni) ko‘rib chiqiladi. Modelni tanlash va kirish sozlamalari tafsilotlari uchun funksiyalar bo‘limidagi 03_material ga qarang.

Hodisa (chiziqli elastik javob)

Chiziqli elastik jism — yuk ta’sirida nisbiy deformatsiya yetarlicha kichik bo‘lgan sohada kuchlanish va nisbiy deformatsiya orasida chiziqli munosabat mavjud bo‘lib, yuk olib tashlanganda barcha nisbiy deformatsiya dastlabki holatga qaytadigan, qaytar va tarixga bog‘liq bo‘lmagan javob ko‘rsatadigan materialdir. Plastiklik va kripdan farqli ravishda, u holatni ifodalovchi ichki o‘zgaruvchilarga (plastik nisbiy deformatsiya yoki viskoz nisbiy deformatsiya kabi) ega emas va kuchlanish faqat joriy nisbiy deformatsiya bilan yagona tarzda aniqlanadi.

Kichik deformatsiya sohasida Cauchy kuchlanishi \(\boldsymbol{\sigma}\) va kichik nisbiy deformatsiya \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ishlatiladi; chekli deformatsiya sohasida (katta aylanishlar mavjud, lekin nisbiy deformatsiyaning o‘zi kichik bo‘lgan masalalarda) ikkinchi Piola-Kirchhoff kuchlanishi \(\boldsymbol{S}\) va Green-Lagrange deformatsiyasi \(\boldsymbol{E}\) ishlatiladi (St.Venant-Kirchhoff materiali).

Konstitutiv qonun

Izotrop chiziqli elastik material

Kichik deformatsiya sohasidagi izotrop Hooke qonuni Lamé konstantalari \(\lambda, \mu\) yordamida

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

ko‘rinishida ifodalanadi. Komponent ko‘rinishida

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

bo‘ladi va nisbiy deformatsiya bilan ikki karra qisqartirish \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) ni beradi. Lamé konstantalari Young moduli \(E\) va Poisson koeffitsiyenti \(\nu\) bilan quyidagicha bog‘langan:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt belgilanishida nisbiy deformatsiya vektori \(\hat{\varepsilon}\) va kuchlanish vektori \(\hat{\sigma}\) orasidagi munosabat \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) deb yoziladi va 3D material matritsasi \(D\)

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

bilan beriladi (amalga oshirishda shu matritsaviy ko‘rinish ishlatiladi).

Ortotrop chiziqli elastik material

Asosiy o‘qlar bo‘yicha elastik konstantalari turlicha bo‘lgan materiallar uchun to‘qqizta mustaqil konstantaga ega ortotrop model qo‘llanadi: asosiy yo‘nalishlardagi Young modullari \(E_1, E_2, E_3\), asosiy o‘qlar orasidagi Poisson koeffitsiyentlari \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) va siljish modullari \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). \(D\) matritsasining aniq shakli standart adabiyotlarda berilgan.

Chekli deformatsiya sohasi: St.Venant-Kirchhoff materiali

Katta aylanishlar mavjud, ammo nisbiy deformatsiyaning o‘zi kichik bo‘lgan masalalarda ikkinchi Piola-Kirchhoff kuchlanishi \(\boldsymbol{S}\) va Green-Lagrange deformatsiyasi \(\boldsymbol{E}\) orasidagi chiziqli elastik qonun sifatida St.Venant-Kirchhoff materiali qo‘llanadi:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé konstantalari \(\lambda, \mu\) ning ta’rifi kichik deformatsiya holatidagidek. Biroq kuchlanish va nisbiy deformatsiya juftining ta’rifi boshqacha bo‘lgani uchun bu kichik deformatsiyadagi Hooke qonunidan farqli konstitutiv qonun ekaniga e’tibor bering.

Hypoelastik material

Updated Lagrange usulida nisbiy Kirchhoff kuchlanish tenzorining Jaumann tezligi \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) va deformatsiya tezligi tenzori \(\boldsymbol{D}\) orasidagi chiziqli elastik qonun

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

ni qabul qiladigan hypoelastik material ishlatiladi. Bu yerda ham \(\boldsymbol{C}\) ning Lamé konstantalari orqali ta’rifi yuqoridagidek, ammo kuchlanish–nisbiy deformatsiya jufti farq qilgani uchun konstitutiv qonun ham boshqacha. Vaqt bo‘yicha integrallash tartibi (oldinga Euler integrallashi va markaziy ayirmali approksimatsiya) orqali \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) ning yangilanish tafsilotlari uchun tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex ga qarang.

Ikki o‘lchamli tahlil va qobiq elementlari uchun qisqartirish

Tekis kuchlanish (\(\sigma_{33} = 0\))

Yupqa plastina va qobiq yuklanishini ifodalovchi tekis kuchlanish holatida \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) deb faraz qilinadi va tekislikdan tashqari nisbiy deformatsiya komponenti \(\varepsilon_{33}\) algebraik ravishda chiqarib tashlangan \(D\) ishlatiladi:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Tekis nisbiy deformatsiya (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Qalinlik yo‘nalishi cheklangan uzun strukturaning kesimini ifodalovchi tekis nisbiy deformatsiyada \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) deb faraz qilinadi:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

O‘q-simmetrik

Silindrik koordinatalarda \((r, \theta, z)\), \(\theta\) yo‘nalishda bir jinsli masalalarni ko‘radigan o‘q-simmetrik tahlilda \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) va \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) ning to‘rtta komponenti saqlanadi va

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

hosil bo‘ladi.

Qobiq elementlari (tekis kuchlanish + ko‘ndalang siljish)

Qobiq elementlarida tekislik ichidagi kuchlanish tekis kuchlanish sifatida qaraladi; bundan tashqari, ko‘ndalang siljish nisbiy deformatsiya komponentlari \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) uchun siljishni tuzatish koeffitsiyenti \(\kappa\) (odatda \(\kappa = 5/6\)) bilan \(\kappa\, G\) ishlatiladi. Har bir elementning aniq formulirovkasi uchun Yuqori samarali element formulatsiyalari ga qarang. Funksiyalar bo‘limi 03_material dagi “qobiq elementlari faqat chiziqli elastiklikni qo‘llaydi” degan spetsifikatsiya tekislik ichidagi holatni tekis kuchlanish sifatida soddalashtirishga asoslangan.

Haroratga bog‘liqlik

Young moduli \(E\), Poisson koeffitsiyenti \(\nu\) va chiziqli issiqlik kengayish koeffitsiyenti \(\alpha\) odatda harorat \(T\) funksiyalari sifatida beriladi. FrontISTR da bu xossalarning qiymatlari cheklangan harorat nuqtalari ketma-ketligi \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) uchun kiritiladi; hisoblashdagi \(T\) haroratga mos xossa qiymatlari qo‘shni nuqtalar orasida chiziqli interpolatsiya bilan baholanadi. Diapazondan tashqaridagi haroratlar (\(T < T_1\) yoki \(T > T_n\)) uchun eng yaqin chekka nuqta \(T_1\) yoki \(T_n\) qiymati ishlatiladi (doimiy ekstrapolyatsiya).

Issiqlik xossalarining (zichlik, solishtirma issiqlik va issiqlik o‘tkazuvchanligi) haroratga bog‘liqligi uchun Issiqlik xossalari ga qarang. Interpolatsiya qoidalari ular bilan bir xil.

Tegishli mavzular