Tarkibga o'tish

Elastoplastiklik

Ushbu bobda FrontISTR qo‘llaydigan elastoplastik konstitutiv qonun doirasi bayon qilinadi. Tanlash va kiritish spetsifikatsiyasi tafsilotlari uchun funksiyalar bo‘limidagi 03_material ga qarang.

Hodisa (plastik deformatsiya)

TBD (keyingi bosqichda matn yoziladi).

Konstitutiv qonun doirasi

FrontISTR bog‘langan oqim qoidasiga asoslangan elastoplastik konstitutiv tenglamani qo‘llaydi. Bundan tashqari, bu konstitutiv tenglama Kirchhoff kuchlanishining Jaumann tezligi bilan deformatsiya tezligi tenzori orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi va deformatsiya tahlilida updated Lagrange usuli qo‘llanadi.

Elastoplastik materialning oqish mezoni quyidagicha berilgan deb faraz qilamiz.

Boshlang‘ich oqish mezoni:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Keyingi oqish mezoni:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

bu yerda,

  • \(F\): oqish funksiyasi
  • \(\sigma_{y_0}\): boshlang‘ich oqish kuchlanishi
  • \(\sigma_y\): keyingi oqish kuchlanishi
  • \(\sigma\): kuchlanish tenzori
  • \(e\): kichik nisbiy deformatsiya tenzori
  • \(e^p\): plastik nisbiy deformatsiya tenzori
  • \(\overline{e}^p\): ekvivalent plastik nisbiy deformatsiya

Oqish kuchlanishi–ekvivalent plastik nisbiy deformatsiya bog‘lanishi bir o‘qli holatdagi kuchlanish–plastik nisbiy deformatsiya bog‘lanishiga mos keladi deb faraz qilinadi.

Bir o‘qli holatdagi kuchlanish–plastik nisbiy deformatsiya bog‘lanishi

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

Bu yerda \(H'\) deformatsion qattiqlashish modulidir.

Ekvivalent kuchlanish–ekvivalent plastik nisbiy deformatsiya munosabati

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Umuman olganda, keyingi oqish funksiyasi harorat va plastik nisbiy deformatsiya ishining funksiyasidir, biroq soddalik uchun bu yerda faqat ekvivalent plastik nisbiy deformatsiya \(\overline{e}^p\) ning funksiyasi deb olinadi. Plastik deformatsiya davomida \(F = 0\) sharti saqlanishi kerak, shuning uchun quyidagi tenglama bajarilishi lozim.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Bu yerda \(\dot{F}\) — \(F\) ning vaqt bo‘yicha hosilasi. Bundan keyin biror \(A\) kattalikning vaqt bo‘yicha hosilasi \(\dot{A}\) bilan belgilanadi.

Plastik potensial \(\Theta\) mavjud deb faraz qilamiz va plastik nisbiy deformatsiya tezligini quyidagi tenglama bilan ifodalaymiz.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Bu yerda \(\dot{\lambda}\) koeffitsiyentdir.

Bundan tashqari, plastik potensial \(\Theta\) oqish funksiyasi \(F\) ga teng deb olib, quyidagi bog‘langan oqim qoidasini faraz qilamiz.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Ushbu tenglamani moslik shartiga qo‘yib, quyidagi tenglamani olamiz.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Bu yerda \(D\) elastiklik matritsasidir va

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Elastoplastik kuchlanish–nisbiy deformatsiya bog‘lanishini quyidagicha yozish mumkin.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Elastoplastik materialning oqish funksiyasi \(F\) ma’lum bo‘lsa, ushbu ifodadan uning konstitutiv tenglamasi olinadi.

Oqish funksiyalari

Quyida FrontISTR qo‘llaydigan elastoplastik oqish funksiyalari keltiriladi.

Von Mises oqish funksiyasi

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Bu yerda \(J_2\) deviatorik kuchlanish tenzorining ikkinchi invariantidir.

Mohr-Coulomb oqish funksiyasi

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Bu yerda \(\sigma_1, \sigma_3\) — mos ravishda maksimal va minimal bosh kuchlanishlar, \(c\) — koheziya, \(\phi\) — ichki ishqalanish burchagi.

Drucker-Prager oqish funksiyasi

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Bu yerda material konstantalari \(\alpha\) va \(\sigma_y\) materialning koheziyasi va ishqalanish burchagidan quyidagicha hisoblanadi.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Tegishli mavzular